Classification of ternary maximal self-orthogonal codes of length 25

기술적 요약: 길이 25 인 3 진법 최대 자기 직교 코드의 분류

문제 제기
본 논문은 3 진법 최대 자기 직교 코드의 분류를 다룬다. $\mathbb{F}_3$ 위의 3 진법 코드 $C$가 $C \subseteq C^\perp$를 만족하면 자기 직교 (self-orthogonal) 라고 한다. 다른 어떤 자기 직교 코드에도 진부분집합으로 포함되지 않을 때 이를 최대 (maximal) 라고 부른다. 길이가 24 이하인 최대 자기 직교 코드는 이전에 분류되었으나, 길이 $n=25$인 경우는 여전히 미해결 상태였다. 구체적으로, 저자들은 길이 25 인 모든 비동치 3 진법 최대 자기 직교 코드를 분류하는 것을 목표로 하며, 이는 필연적으로 차원 $k=12$를 갖는다 ( $n$이 홀수이므로 차원은 $(n-1)/2$임).

방법론
본 분류는 단축 (shortening) 과 연장 (lengthening) 연산을 기반으로 한 구성적 접근법을 사용하며, 엄격한 동치성 테스트와 질량 공식 (mass formula) 검증을 결합한다.

1. 연장 구성 (Lengthening Construction): 저자들은 단축 연산의 역을 활용한다. 3 진법 자기 직교 $[24, 11]$ 코드를 확장하여 3 진법 최대 자기 직교 $[25, 12]$ 코드를 구성한다. $[24, 11]$ 코드의 생성 행렬이 주어지면, 새로운 열 벡터 $b$를 추가하여 $[25, 12]$ 코드를 형성한다. 벡터 $b$는 특정 가중치와 직교성 조건을 만족해야 한다: $\text{wt}(b) \ge d-1$, $\text{wt}(b) \equiv 2 \pmod 3$, 그리고 $Ab^T = 0$ (여기서 $A$는 생성 행렬의 패리티 부분임). 중복을 피하기 위해 첫 번째 0 이 아닌 성분이 1 인 벡터들만 고려한다.
2. 소스 코드: 이 구성은 두 가지 서로 다른 소스에 의존한다:
   • 이중 거리 1: 0 좌표를 추가하여 알려진 3 진법 자기 쌍대 (self-dual) $[24, 12]$ 코드에서 직접 유도된 코드.
   • 이중 거리 > 1: 3 진법 자기 직교 $[24, 11]$ 코드의 완전한 분류에서 유도된 코드. 이러한 부분 코드들은 모든 비동치 3 진법 자기 쌍대 $[24, 12]$ 코드에서 추출하여 열거되었다.
3. 동치성 테스트: 구성된 두 코드가 동치인지 판단하기 위해 저자들은 그래프 동형사상 접근법을 사용한다. 특정 가중치 (일반적으로 가중치 9, 12 또는 24) 의 코드워드들을 기반으로 정점 색칠이 된 방향 그래프 $\Gamma_{W(C)}(C)$를 구성한다. 동형사상 테스트와 자동형상군 (automorphism group) 계산은 nauty 및 Magma 소프트웨어를 사용하여 수행된다.
4. 질량 공식 검증: 분류의 완전성은 3 진법 자기 직교 코드를 위한 질량 공식을 사용하여 검증된다. 발견된 모든 비동치 코드에 대한 $2^n n! / |\text{Aut}(C)|$의 합이 이론적 총계 $T(n, k)$와 비교된다.

주요 결과
본 논문은 다음과 같은 정리를 확립한다:

• 정리 1: 정확히 139,613개의 비동치 3 진법 최대 자기 직교 $[25, 12]$ 코드가 존재한다.
  • 최소 가중치 분포:
    • 26 개의 코드는 최소 가중치 $d=9$를 갖는다.
    • 118,984 개의 코드는 최소 가중치 $d=6$을 갖는다.
    • 20,603 개의 코드는 최소 가중치 $d=3$을 갖는다.
• 하위 분류:
  • 저자들은 3 진법 자기 직교 $[24, 11]$ 코드의 완전한 분류를 제공하며, $d=9$인 1,373 개, $d=6$인 2,745,294 개, $d=3$인 339,494 개의 코드를 발견했다.
  • 질량 공식은 $[24, 11]$ 및 $[25, 12]$ 분류 모두에 대해 성공적으로 검증되어 누락된 코드가 없음을 확인했다.
• 자동형상군: 결과적으로 얻어진 $[25, 12]$ 코드들의 자동형상군 순서를 최소 가중치별로 분류하여 나열한 상세한 표가 제공된다.

의의 및 주장
이 연구의 주요 의의는 길이 $n$이 25 이하인 모든 3 진법 최대 자기 직교 코드의 분류를 완성했다는 점이다. 저자들은 이 결과가 길이 24 인 3 진법 자기 쌍대 코드의 이전 분류에 대한 직접적인 결과임을 지적한다.

또한, 본 논문은 질량 공식을 사용하여 길이 $n=26$부터 $n=30$까지의 비동치 3 진법 최대 자기 직교 코드 수에 대한 비엄밀한 하한을 유도한다. 구체적으로, $N(26) \ge 757,009,213$ 및 $N(30) \ge 4.9 \times 10^{15}$임을 확립한다.

마지막으로, 저자들은 자신의 분류의 구체적인 응용 분야를 규명한다: 이는 길이 24 에 적용되었던 방법을 활용하여 차수 25 및 가중치 9 인 계량 행렬 (weighing matrices) 의 분류를 완성하기 위한 향후 프로젝트의 기초가 된다. 코드 전체 목록은 대학 저장소를 통해 전자적으로 제공된다.