Classification of ternary maximal self-orthogonal codes of length 25

技术摘要：长度为 25 的三元极大自正交码的分类

问题陈述
本文致力于三元极大自正交码的分类。定义在域 $\mathbb{F}_3$ 上的三元码 $C$ 若满足 $C \subseteq C^\perp$，则称为自正交码。若该码不被任何其他自正交码真包含，则称为极大的。尽管长度不超过 24 的极大自正交码此前已被分类，但长度 $n=25$ 的情形此前尚未解决。具体而言，作者旨在分类所有不等价的长度为 25 的三元极大自正交码，这些码的维数必然为 $k=12$（由于 $n$ 为奇数，维数为 $(n-1)/2$）。

方法论
该分类采用基于缩短（shortening）和延长（lengthening）操作的构造性方法，并结合严格的等价性测试与质量公式（mass formula）验证。

1. 延长构造：作者利用缩短操作的逆运算。通过扩展三元自正交 $[24, 11]$ 码来构造三元极大自正交 $[25, 12]$ 码。给定一个 $[24, 11]$ 码的生成矩阵，附加一个新的列向量 $b$ 以形成 $[25, 12]$ 码。向量 $b$ 必须满足特定的权重和正交性条件：$\text{wt}(b) \ge d-1$，$\text{wt}(b) \equiv 2 \pmod 3$，且 $Ab^T = 0$，其中 $A$ 是生成矩阵的校验部分。为避免冗余，仅考虑第一个非零分量为 1 的向量。
2. 源码：该构造依赖于两个不同的来源：
   • 对偶距离为 1：直接通过在已知的三元自对偶 $[24, 12]$ 码后附加一个零坐标得到的码。
   • 对偶距离大于 1：源自三元自正交 $[24, 11]$ 码的完整分类。这些子码是通过从所有不等价的三元自对偶 $[24, 12]$ 码中提取而枚举出来的。
3. 等价性测试：为了判断两个构造出的码是否等价，作者采用图同构方法。他们基于特定权重（通常为权重 9、12 或 24）的码字构建顶点着色的有向图 $\Gamma_{W(C)}(C)$。同构测试和自同构群计算使用软件 nauty 和 Magma 执行。
4. 质量公式验证：利用三元自正交码的质量公式验证分类的完备性。将所有找到的不等价码的 $2^n n! / |\text{Aut}(C)|$ 之和与理论总数 $T(n, k)$ 进行比较。

主要结果
本文确立了以下定理：

• 定理 1：恰好存在 139,613 个不等价的三元极大自正交 $[25, 12]$ 码。
  • 最小权重分布：
    • 26 个码的最小权重为 $d=9$。
    • 118,984 个码的最小权重为 $d=6$。
    • 20,603 个码的最小权重为 $d=3$。
• 子分类：
  • 作者提供了三元自正交 $[24, 11]$ 码的完整分类，发现 $d=9$ 的码有 1,373 个，$d=6$ 的码有 2,745,294 个，$d=3$ 的码有 339,492 个。
  • 质量公式在 $[24, 11]$ 和 $[25, 12]$ 的分类中均得到了成功验证，确认没有遗漏任何码。
• 自同构群：提供了详细表格，列出了所得 $[25, 12]$ 码的自同构群阶数，并按其最小权重进行分类。

意义与主张
这项工作的主要意义在于完成了所有长度 $n$ 直至 25 的三元极大自正交码的分类。作者指出，这一结果是此前长度为 24 的三元自对偶码分类的直接推论。

此外，本文利用质量公式推导出了长度 $n=26$ 至 $n=30$ 的不等价三元极大自正交码数量的非紧下界。具体而言，确立了 $N(26) \ge 757,009,213$ 以及 $N(30) \ge 4.9 \times 10^{15}$。

最后，作者指出了其分类的一个具体应用：它作为未来项目的基石，旨在利用此前应用于长度 24 的方法，完成权重为 9 的 25 阶称重矩阵（weighing matrices）的分类。完整的码列表已通过大学存储库以电子形式提供。