Generated outcomes as generated regressors: Equivalences in recursive causal estimation

기술 요약: "생성된 결과로서의 생성된 회귀 변수: 재귀적 인과 추정에서의 등가성"

저자: Wisse Rutgers 및 Rahul Singh
날짜: 2026년 6월

1. 문제 제기

시변 처치 효과(time-varying treatment effects), 대리 지표로 식별된 처치 효과(surrogate-identified treatment effects), 그리고 매개 분석(mediation analysis)에 관한 실증 연구는 빈번하게 **재귀적 회귀(recursive regressions)**에 의존한다. 이러한 설정에서 타겟 파라미터(예: 반사실적 평균)는 조건부 기댓값의 역방향 재귀(backward recursion)를 통해 식별되며, 이때 한 단계의 예측값은 다음 단계의 "생성된 결과(generated outcome)" 역할을 한다. 반대로, 이 파라미터들은 역확률 가중치(balancing weights)의 순방향 재귀(forward recursion)를 통해서도 식별될 수 있으며, 이때 한 단계의 가중치는 다음 단계의 "생성된 회귀 변수(generated regressors)" 역할을 한다.

회귀(regression), 균형 가중치(balancing weight), 그리고 이중 강건(doubly robust) 추정량 사이의 수치적 등가성은 횡단면적 인과 추론(단일 시점 설정)에서는 잘 확립되어 있으나, 이것이 종단적(재귀적) 설정에서도 확장되는지는 여전히 불분clear하다. 또한, 최근의 횡단면 연구들은 균형 가중치를 통한 디바이어싱(debiasing)이 "언더스무딩(undersmoothing, 정규화된 추정량을 OLS 쪽으로 축소시키는 것)"과 대수적으로 동일하다는 점을 시사하고 있다. 본 논문은 이러한 "축소(shrinkage)" 직관이 시계열($T$)이 증가함에 따라 유지되는지 조사한다.

2. 방법론 및 프레임워크

저자들은 $T \ge 1$ 단계를 갖는 재귀적 범함수(recursive functionals) 클래스를 공식화한다. 이 프레임워크는 다음과 같은 표준 인과 모델들을 포괄한다:

• 시변 처치 효과: 동적 처치를 포함하는 $g$-computation.
• 대리 지표(Surrogacy): 대리 지표 인덱스가 처치와 장기적 결과를 연결하는 이-표본(two-sample) 설정.
• 매개 분석: 매개 변수를 포함하는 교차 세계(cross-world) 반사실적 상황.

본 연구는 노이즈 함수(결과 회귀 $f_t$ 및 리에스 표현자 $\alpha_t$)가 기저 함수의 딕셔너리에 대해 선형인 선형 추정 프레임워크 내에서 작동한다. 저자들은 세 가지 추정량을 비교한다:

1. 재귀적 플러그인 ($\hat{\theta}_P$): 정규화된 결과 회귀의 역방향 재귀.
2. 재귀적 균형 가중치 ($\hat{\theta}_Q$): 정규화된 리에스 회귀의 순방향 재귀(균형 가중치).
3. 재귀적 이중 강건 ($\hat{\theta}_{DR}$): 직교 모멘트를 사용하여 플러그인 추정량과 균형 가중치 추정량을 결합한 것.

분석은 세 가지 정규화 체제를 다룬다:

• 정규화 없음 (OLS): 페널티가 없는 최소제곱법.
• 릿지 정규화 (Ridge Regularization): 계수에 대한 이차 페널티.
• 일반 볼록 정규화 (General Convex Regularization): 임의의 볼록 페널티 (예: Lasso, Elastic Net).

3. 주요 기여 및 결과

A. OLS 하에서의 추정량 간 등가성
본 논문은 주요한 긍정적 결과를 제시한다: 생성된 결과를 재귀적으로 회귀하여 추정하는 것은 생성된 회귀 변수를 재귀적으로 균형 잡는 것을 통해 추정하는 것과 수치적으로 동일하다.

• 정리 1: 모든 단계가 OLS(정규화 없음)로 적합될 때, 재귀적 플러간, 재귀적 균형 가중치, 그리고 재귀적 이중 강건 추정량은 선형 모델의 올바른 명세 여부와 관계없이 어떤 유한 표본에서도 정확히 일치한다.
• 메커니즘: OLS의 경우, 이중 강건 추정량의 모든 디바이어싱 수정 항이 개별적으로 소멸한다. 또한, 모든 중간 단계의 교차 단계 내적(cross-stage inner product)은 타겟 파라미터와 같다. 이는 OLS 결과 모델에 선형 균형 가중치를 더하거나 그 반대의 경우를 수행해도 추정량이 변하지 않음을 의미한다.

B. 릿지 정규화 및 OLS 가중치의 기하급수적 감소
본 논문은 "축소" 직관의 일반화에 대해 미묘하고 부분적으로 부정적인 답변을 제공한다.

• 릿지 형태의 등가성: 모든 단계에서 동일한 릿지 페널티가 결과 및 리에스 회귀에 적용된다면, 균형 가중치 추정량은 플러그인 추정량과 같다 (Lemma 2).
• 이중 강건 추정량의 분해: 리에스 표현자가 릿지 정규화되었으나 결과 회귀가 일반적이거나(또는 마찬가지로 릿지인) 경우, 이중 강건 추정량은 **증강된 계수(augmented coefficients)**를 가진 단일 재귀적 플러그인 추정량으로 쓰일 수 있다.
• 기하급수적 감소 (정리 2 및 따름정리 1): 증강된 계수는 페널티가 적용된 추정량과 OLS 추정량의 재귀적 혼합이다. 결정적으로, 순수 OLS 플러그인 추정량에 할당되는 가중치는 시간 기간 $T$에 따라 기하급수적으로 감소한다.
  • 스칼라 대각 행렬의 경우, OLS 앵커 가중치는 $\prod_{t=1}^T a_t$이며, 여기서 $a_t \in (0,1)$은 각 단계 $t$에서의 축소 계수이다.
  • 시사점: $T$가 증가함에 따라 OLS 앵커의 영향력은 급격히 감소한다. 따라서 "디바이어싱이 추정량을 OLS 쪽으로 축소시킨다"는 횡단면적 직관은 종단적 설정에서 점점 약해진다. 시간 기간의 수는 정규화 효과를 이해하는 데 핵심적인 요소이다.

C. 일반 볼록 정규화
폐쇄형 해(closed-form solution)가 존재하지 않는 일반 볼록 페널티의 경우, 저자들은 다음과 같은 대수적 항등식을 도출한다:

• 텔레스코핑 항등식 (Lemma 3 & Theorem 3): 균형 가중치 추정량과 이중 강건 추정량은 OLS 추정량과 수정 항들의 합으로 분해될 수 있다.
• 각 수정 항은 해당 단계의 리에스 잔차(Riesz residual)(해당 단계의 불균형)와 페널티가 적용된 결과 계수와 OLS 계수 사이의 차이의 내적이다.
• 이는 추정량들이 대수적으로 여전히 연관되어 있음을 확인시켜 주지만, "OLS를 향한 축소"는 단순하고 균일한 끌림이 아니라, 특정 페널티와 재귀적 구조에 의존하는 단계별 수정의 복잡한 축적임을 보여준다.

4. 의의 및 주장

저자들은 두 가지 주요 결론을 주장한다:

1. 등가성의 확장: 횡단면적 추론에서 이미 문서화된 회귀 기반 및 균형 가중치 기반 추정 사이의 근본적인 대수적 등가성이 재귀적 범함수를 포함하는 종단적 인과 추론으로 확장된다.
2. 축소 직관의 한계: 디바이어싱을 "언더스무딩"(OLS로의 축소)으로 해석하는 것은 직설적으로 일반화되지 않는다. 재귀적 설정에서는 $T$가 증가함에 따라 OLS를 향한 끌림이 기하급수적으로 약해진다. 결과적으로, 다기간 인과 추론에서 디바이어싱과 언더스무딩은 단일 기간 설정에서와 같이 "동전의 양면"과 같은 관계가 아니다.

본 논문은 재귀적 인과 추론의 대수적 구조는 견고하지만, 정규화 및 편향 수정에 관한 횡단면적 설정으로부터 얻은 통계적 직관은 동적, 다단계 문제에 적용할 때 상당한 수정이 필요하다고 결론짓는다.