Generated outcomes as generated regressors: Equivalences in recursive causal estimation

Resumo Técnico: "Resultados Gerados como Regressores Gerados: Equivalências na Estimação Causal Recursiva"

Autores: Wisse Rutgers e Rahul Singh
Data: Junho de 2026

1. Definição do Problema

A pesquisa empírica em efeitos de tratamento variantes no tempo, efeitos de tratamento identificados por surrogados e análise de mediação frequentemente depende de regressões recursivas. Nesses cenários, o parâmetro alvo (por exemplo, uma média contrafactual) é identificado por uma recursão reversa de expectativas condicionais, onde o valor previsto de um estágio serve como o "resultado gerado" para o próximo. Inversamente, esses parâmetros podem ser identificados via uma recursão direta de pesos de ponderação de probabilidade inversa (pesos de balanceamento), onde os pesos de um estágio servem como "regressores gerados" para o próximo.

Embora a equivalência numérica entre estimadores de regressão, peso de balanceamento e duplamente robustos seja bem estabelecida na inferência causal transversal (configurações de período único), permanece incerto se essa equivalência se estende a configurações longitudinais (recursivas). Além disso, a literatura recente sobre casos transversais sugere que o debiasamento via pesos de balanceamento é algebricamente equivalente ao "sub-suavizamento" (undersmoothing — encolher um estimador regularizado em direção ao Mínimos Quadrados Ordinários, OLS). O artigo investiga se essa intuição de "encolhimento" (shrinkage) se mantém quando o número de períodos de tempo ($T$) aumenta.

2. Metodologia e Estrutura

Os autores formalizam uma classe de funcionais recursivos definidos por $T \ge 1$ estágios. A estrutura engloba modelos causais padrão:

• Efeitos de tratamento variantes no tempo: $g$-computação com tratamentos dinâmicos.
• Surrogacia: Configurações de duas amostras onde um índice surrrogado liga o tratamento aos resultados de longo prazo.
• Análise de mediação: Contrafactuais de mundos cruzados envolvendo mediadores.

O estudo opera dentro de uma estrutura de estimação linear onde as funções de ruído (regressões de desfecho $f_t$ e representadores de Riesz $\alpha_t$) são lineares em um dicionário de funções de base. Os autores comparam três estimadores:

1. Plug-in Recursivo ($\hat{\theta}_P$): Recursão reversa de regressões de desfecho regularizadas.
2. Peso de Balanceamento Recursivo ($\hat{\theta}_Q$): Recursão direta de regressões de Riesz regularizadas (pesos de balanceamento).
3. Duplamente Robusto Recursivo ($\hat{\theta}_{DR}$): Uma combinação dos estimadores de plug-in e de peso de balanceamento usando momentos ortogonais.

A análise abrange três regimes de regularização:

• Sem Regularização (OLS): Mínimos quadrados não penalizados.
• Regularização de Ridge: Penalidades quadráticas nos coeficientes.
• Regularização Convexa Geral: Penalidades convexas arbitrárias (ex: Lasso, elastic net).

3. Principais Contribuições e Resultados

A. Equivalência de Estimadores sob OLS
O artigo estabelece um resultado primário positivo: A estimação por regressão recursiva de resultados gerados é numericamente equivalente à estimação por balanceamento recursivo de regressores gerados.

• Teorema 1: Quando todos os estágios são ajustados por OLS (sem regularização), o estimador de plug-in recursivo, o estimador de peso de balanceamento recursivo e o estimador duplamente robusto coincidem exatamente em qualquer amostra finita, independentemente de os modelos lineares estarem corretamente especificados ou não.
• Mecanismo: No caso do OLS, cada termo de correção de debiasamento no estimador duplamente robusto desaparece individualmente. Além disso, todo produto interno entre estágios é igual ao parâmetro alvo. Isso implica que adicionar pesos de balanceamento lineares a um modelo de desfecho OLS (ou vice-versa) não altera o estimador.

B. Regularização de Ridge e Decaimento Geométrico do Peso OLS
O artigo fornece uma resposta matizada e parcialmente negativa em relação à generalização da intuição de "encolhimento" (shrinkage).

• Equivalência de Formas de Ridge: Se a mesma penalidade de ridge for aplicada tanto às regressões de desfecho quanto às de Riesz em cada estágio, o estimador de peso de balanceamento é igual ao estimador de plug-in (Lema 2).
• Decomposição do Estimador Duplamente Robusto: Quando os representadores de Riesz são regularizados por ridge, mas as regressões de desfecho são gerais (ou também ridge), o estimador duplamente robusto pode ser escrito como um único estimador de plug-in recursivo com coeficientes aumentados.
• Decaimento Geométrico (Teorema 2 & Corolário 1): Os coeficientes aumentados são uma mistura recursiva das estimativas penalizadas e das estimativas OLS. Crucialmente, o peso atribuído ao estimador de plug-in puro de OLS deca de forma geométrica com o número de períodos de tempo $T$.
  • Em um caso escalar diagonal, o peso âncora OLS é $\prod_{t=1}^T a_t$, onde $a_t \in (0,1)$ é o fator de encolhimento em cada estágio $t$.
  • Implicação: À medida que $T$ aumenta, a influência da âncora OLS diminui rapidamente. Portanto, a intuição transversal de que "o debiasamento move o estimador em direção ao OLS" torna-se cada vez mais fraca em configurações longitudinais. O número de períodos de tempo é central para entender os efeitos de regularização.

C. Regularização Convexa Geral
Para penalidades convexas gerais (onde não existem soluções de forma fechada), os autores derivam identidades algébricas:

• Identidade Telescópica (Lema 3 & Teorema 3): O estimador de peso de balanceamento e o estimador duplamente robusto podem ser decompostos no estimador OLS mais uma soma de termos de correção.
• Cada termo de correção é o produto interno do resíduo de Riesz (o desbalanceamento naquele estágio) e a diferença entre os coeficientes de desfecho penalizados e os coeficientes OLS.
• Isso confirma que, embora os estimadores permaneçam algebricamente relacionados, o "encolhimento em direção ao OLS" não é um puxão simples e uniforme, mas uma acumulação complexa de correções estágio a estágio que depende da penalidade específica e da estrutura recursiva.

4. Significância e Alegações

Os autores afirmam dois pontos principais:

1. Extensão da Equivalência: A equivalência algébrica fundamental entre a estimação baseada em regressão e a baseada em peso de balanceamento, anteriormente documentada para inferência transversal, estende-se à inferência causal longitudinal envolvendo funcionais recursivos.
2. Limitação da Intuição de Encolhimento: A interpretação do debiasamento como "sub-suavizamento" (undersmoothing — encolhimento em direção ao OLS) não se generaliza de forma direta. Em configurações recursivas, o puxão em direção ao OLS enfraquece geometricamente conforme o número de períodos de tempo cresce. Consequentemente, na inferência causal de múltiplos períodos, o debiasamento e o sub-suavizamento não são "dois lados da mesma moeda" da mesma forma que em configurações de período único.

O artigo conclui que a estrutura algébrica da estimação causal recursiva é robusta, mas a intuição estatística derivada de configurações transversais sobre regularização e correção de viés requer modificações significativas quando aplicada a problemas dinâmicos de múltiplos estágios.