Generated outcomes as generated regressors: Equivalences in recursive causal estimation

Resumen Técnico: "Resultados Generados como Regresores Generados: Equivalencias en la Estimación Causal Recursiva"

Autores: Wisse Rutgers y Rahul Singh
Fecha: Junio de 2026

1. Planteamiento del Problema

La investigación empírica en efectos de tratamiento variables en el tiempo, efectos de tratamiento identificados por sustitutos (surrogates) y análisis de mediación se basa frecuentemente en regresiones recursivas. En estos entornos, el parámetro objetivo (por ejemplo, una media contrafáctica) se identifica mediante una recursión hacia atrás de expectativas condicionales donde el valor predicho de una etapa sirve como el "resultado generado" para la siguiente. Por el contrario, estos parámetros pueden identificarse mediante una recursión hacia adelante de ponderaciones de probabilidad inversa (pesos de balanceo), donde los pesos de una etapa sirven como "regresores generados" para la siguiente.

Si bien la equivalencia numérica entre los estimadores de regresión, de peso de balanceo y de doble robustez está bien establecida en la inferencia causal transversal (entornos de un solo periodo), no está claro si esta equivalencia se extiende a los entornos longitudinales (recursivos). Además, la literatura transversal reciente sugiere que el debiasing (eliminación de sesgo) mediante pesos de balanceo es algebraicamente equivalente al "undersmoothing" (reducción del suavizado, o acercamiento al OLS) de un estimador regularizado. El artículo investiga si esta intuición de "encogimiento" (shrinkage) se mantiene cuando el número de periodos de tiempo ($T$) aumenta.

2. Metodología y Marco de Trabajo

Los autores formalizan una clase de funcionales recursivos definidos por $T \ge 1$ etapas. El marco engloba modelos causales estándar:

• Efectos de tratamiento variables en el tiempo: Computación-$g$ con tratamientos dinámicos.
• Sustitución (Surrogacy): Entornos de dos muestras donde un índice de sustituto vincula el tratamiento con los resultados a largo plazo.
• Análisis de mediación: Contrafácticos de mundo cruzado que involucran mediadores.

El estudio opera dentro de un marco de estimación lineal donde las funciones de perturbación (regresiones de resultados $f_t$ y representantes de Riesz $\alpha_t$) son lineales en un diccionario de funciones de base. Los autores comparan tres estimadores:

1. Plug-in Recursivo ($\hat{\theta}_P$): Recursión hacia atrás de regresiones de resultados regularizadas.
2. Peso de Balanceo Recursivo ($\hat{\theta}_Q$): Recursión hacia adelante de regresiones de Riesz regularizadas (pesos de balanceo).
3. Doble Robusto Recursivo ($\hat{\theta}_{DR}$): Una combinación de los estimadores de plug-in y de peso de balanceo utilizando momentos ortogonales.

El análisis cubre tres regímenes de regularización:

• Sin Regularización (OLS): Mínimos cuadrados no penalizados.
• Regularización Ridge: Penalizaciones cuadráticas sobre los coeficientes.
• Regularización Convexa General: Penalizaciones convexas arbitrarias (por ejemplo, Lasso, elastic net).

3. Contribuciones Clave y Resultados

A. Equivalencia de Estimadores bajo OLS
El artículo establece un resultado primario positivo: La estimación mediante la regresión recursiva de resultados generados es numéricamente equivalente a la estimación mediante el balanceo recursivo de regresores generados.

• Teorema 1: Cuando todas las etapas se ajustan mediante OLS (sin regularización), los estimadores de plug-in recursivo, de peso de balanceo recursivo y de doble robustez coinciden exactamente en cualquier muestra finita, independientemente de si los modelos lineales están correctamente especificados.
• Mecanismo: En el caso de OLS, cada término de corrección de debiasing en el estimador de doble robustez se anula individualmente. Además, cada producto interno entre etapas es igual al parámetro objetivo. Esto implica que añadir pesos de balanceo lineales a un modelo de resultados OLS (o viceversa) no altera el estimador.

B. Regularización Ridge y Decaimiento Geométrico del Peso OLS
El artículo proporciona una respuesta matizada y parcialmente negativa respecto a la generalización de la intuición de "encogimiento" (shrinkage).

• Equivalencia de Formas Ridge: Si se aplica el mismo penalizador ridge tanto a las regresiones de resultados como a las de Riesz en cada etapa, el estimador de peso de balanceo es igual al estimador de plug-in (Lema 2).
• Descomposición del Estimador de Doble Robustez: Cuando los representantes de Riesz están regularizados por ridge pero las regresiones de resultados son generales (o también ridge), el estimador de doble robustez puede escribirse como un único estimador de plug-in recursivo con coeficientes aumentados.
• Decaimiento Geométrico (Teorema 2 y Corolario 1): Los coeficientes aumentados son una mezcla recursiva de las estimaciones penalizadas y las estimaciones OLS. Crucialmente, el peso asignado al estimador de plug-in OLS puro decae geométricamente con el número de periodos de tiempo $T$.
  • En un caso escalar diagonal, el peso ancla de OLS es $\prod_{t=1}^T a_t$, donde $a_t \in (0,1)$ es el factor de encogimiento en la etapa $t$.
  • Implicación: A medida que $T$ aumenta, la influencia del ancla OLS disminuye rápidamente. Por lo tanto, la intuición transversal de que "el debiasing mueve el estimador hacia OLS" se debilita cada vez más en entornos longitudinales. El número de periodos de tiempo es central para entender los efectos de la regularización.

C. Regularización Convexa General
Para penalizaciones convexas generales (donde no existen soluciones de forma cerrada), los autores derivan identidades algebraicas:

• Identidad Telescópica (Lema 3 y Teorema 3): El estimador de peso de balanceo y el estimador de doble robustez pueden descomponerse en el estimador OLS más una suma de términos de corrección.
• Cada término de corrección es el producto interno del residuo de Riesz (el desbalance en esa etapa) y la brecha entre los coeficientes de resultado penalizados y los coeficientes OLS.
• Esto confirma que, si bien los estimadores siguen estando algebraicamente relacionados, el "encogimiento hacia OLS" no es un tirón simple y uniforme, sino una acumulación compleja de correcciones etapa por etapa que depende de la penalización específica y la estructura recursiva.

4. Significado y Reivindicaciones

Los autores sostienen dos conclusiones principales:

1. Extensión de la Equivalencia: La equivalencia algebraica fundamental entre la estimación basada en regresión y la basada en pesos de balanceo, documentada previamente para la inferencia transversal, se extiende a la inferencia causal longitudinal que involucra funcionales recursivos.
2. Limitación de la Intuición de Encogimiento: La interpretación del debiasing como "undersmoothing" (reducción del suavizado o acercamiento al OLS) no se generaliza de manera directa. En entornos recursivos, la atracción hacia OLS se debilita geométricamente a medida que crece el número de periodos de tiempo. En consecuencia, en la inferencia causal de múltiples periodos, el debiasing y el undersmoothing no son "dos caras de la misma moneda" de la misma forma que en los entornos de un solo periodo.

El artículo concluye que la estructura algebraica de la estimación causal recursiva es robusta, pero la intuición estadística derivada de los entornos transversales respecto a la regularización y la corrección de sesgo requiere una modificación significativa cuando se aplica a problemas dinámicos de múltiples etapas.