Comment on Statistical mechanics from quantum envariance and exchange symmetry

활기찬 무도회장을 상상해 보세요. 그곳에서 입자들은 무용수들입니다. 수년 동안 물리학자들은 이 무용수들을 세는 규칙을 가지고 있었습니다. 만약 그들이 똑같이 생긴 쌍둥이(구별 불가능한 존재)라면, 단순히 그들이 자리를 바꾸는 모든 가능한 경우의 수를 다 세어서는 안 됩니다. 그렇지 않으면 수학적으로 불가능한 인파를 만들게 될 것입니다. 우리는 $N!$이라는 거대한 숫자로 나누어 주어야 합니다($N$ 팩토리얼). 이것이 바로 그 유명한 "깁스 인자(Gibbs factor)"이며, 이를 통해 열역학 법칙이 무너지는 것을 방지합니다.

최最近, 한 연구 그룹이 왜 우리가 $N!$으로 나누어야 하는지를 설명하기 위해 화려하고 새로운 방법을 제안했습니다. 그들은 우주가 두 입자가 자리를 바꿀 때마다 이를 기록하는 "비밀 일기장"(환경)을 보관하고 있다고 제안했습니다. 그들은 만약 이 일기장을 들여다본다면, 그로 인해 발생하는 엄청난 혼란이 $k_B \ln N!$과 같은 특정한 양의 "엔트로피"(무질서도)를 더하게 된다고 주장했습니다. 그들은 이 추가적인 무질서가 중복 계산을 자연스럽게 상쇄하여, 수동으로 $N!$을 나누지 않고도 수학적 문제를 해결한다고 주장했습니다. 심지어 그들은 이 새로운 기술을 사용하여 별이 수소를 플라스마로 바꾸는 과정을 설명하는 유명한 방정식인 사하 방정식(Saha equation)을 수정하려고 시도했습니다.

하지만 리다 호르차니(Ridha Horchani)라는 물리학자가 매우 날카로운 안경을 쓰고 그 제안을 들여다보았고, 판결은 명확했습니다: 새로운 설명은 작동하지 않습니다.

호르차니가 발견한 내용을 이해하기 쉽게 정리하면 다음과 같습니다:

1. "비밀 일기장"은 존재하지 않거나 (적어도 그들이 생각하는 것과는 다릅니다)

새 논문은 "부분 트레이스(partial trace)"라는 수학적 도구를 사용하여 이 비밀 일기장이 만드는 "무질서"를 계산하려고 했습니다. 이것은 마치 일기장은 무시하고 오직 무용수들만 관찰하려고 노력하는 것과 같습니다. 호르차니는 새 논문이 이 작업을 수행하기 위해 사용한 수학이 단순히 틀렸다고 지적합니다. 그것은 실제로 무용수들만 보고 있었던 것이 아니라, 방 전체를 다시 보고 있었던 것입니다.

설령 수학을 고친다 하더라도, 결과는 여전히 실패입니다. 새 논문은 어떤 종류의 무용수를 가졌든 상관없이 일기장이 항상 특정한 양의 혼란($k_B \ln N!$)을 만들어낸다고 주장합니다. 호르차니는 이것이 틀렸음을 보여줍니다.

• 비유: 똑같이 생긴 쌍둥이 두 명이 춤을 추고 있다고 상상해 보세요. 만약 그들이 자리를 바꾼다면, 아무것도 변하지 않습니다. "일기장"이 교체를 기록할 수는 있겠지만, 무도회장의 모습은 완전히 동일합니다. 이 경우, 추가적인 혼란은 **제로(0)**입니다. 새 논문의 수학은 혼란이 없는 곳에서도 혼란이 있다고 예측합니다.
• 실제: 오직 무용수들이 완전히 다른, 겹치지 않는 상태에 있을 때만 그 거대한 양의 혼란이 발생합니다. 하지만 동일 입자(보존, bosons)의 경우, 그들은 종종 같은 상태에 있습니다. 따라서 새 논문이 의존하는 "보편적인" 혼란은 존재하지 않습니다.

2. "마법의 뺄셈" 기술

새 논문은 "좋다, 우리에게 일는 일기장으로부터 오는 양(+)의 혼란이 있으니, 올바른 답을 얻기 위해 우리의 총 에너지에서 이만큼을 빼자"라고 말하며 수학을 고치려 했습니다.
호르차니는 이것이 단지 결과가 제대로 나오게 하려고 "지출" 항목에 음수를 적어 넣어 가계부를 맞추려는 것과 같다고 말합니다. 양자 역학에는 이 "일기장 혼란"을 실제 열역학적 엔트로피에서 그냥 빼버릴 수 있다는 물리적 규칙이 없습니다. 수학의 부호가 잘못되었습니다. 새 논문은 부호를 뒤집음으로써 답이 맞도록 강제했지만, 자연은 그런 식으로 작동하지 않습니다.

3. "별 방정식" (사하 방정식)의 붕괴

새 논문은 자신들의 "일기장" 아이디어를 별에서 수소가 자유 전자와 양성자로 변하는 과정을 예측하는 사하 방정식에 적용하려고 했습니다. 그들은 답에 $1/(N_e! N_p!)$라는 아주 작은 분수를 곱할 것을 제안했습니다.
호르차니는 여기서 세 가지 치명적인 결함을 발견했습니다:

• 수학적 공백: 그들이 시작한 방정식은 사실 "곱 상태(product state)"였습니다. 즉, 계(system)와 일기장이 완전히 분리되어 있었다는 뜻입니다. 만약 둘이 분리되어 있다면, 서로 연결될 수 없으며, "일기장"은 엔트로피를 **제로(0)**로 더하게 됩니다. 전체 계산이 0으로 붕괴됩니다.
• 사라지지 않는 인자: 그들은 매우 희박한 가스(희박 한계)에서는 이 새로운 인자가 사라져서 1이 될 것이며, 기존의 물리학을 그대로 남겨둘 것이라고 주장했습니다. 하지만 호르차니는 $1/N!$이 사라지지 않는다는 것을 보여주었습니다. 입자가 2개라면 인자는 $1/4$입니다. 입자가 100개라면, 그것은 아주 아주 작은 숫자입니다. 결코 1로 가지 않습니다.
• 규모의 붕괴: 이 새로운 공식은 당신이 선택한 상자의 전체 입자 수에 따라 달라집니다. 만약 당신이 상자의 크기를 두 배로 키운다면(가스를 더 추가한다면), 답은 크게 변합니다. 하지만 실제 물리학은 우리가 설정한 상자가 얼마나 큰지에 신경 써서는 안 되며, 오직 밀도(얼마나 붐비는지)에만 신경 써야 합니다. 새 공식은 동일한 가스에 대해서도 당신이 얼마나 큰 덩어리를 관찰하느냐에 따라 다른 답을 내놓습니다. 이는 결정적인 결함입니다.

4. 쌍둥이를 두 번 계산함

마지막으로, 호르차니는 새 논문이 입자의 "구별 불가능성"을 두 번 계산하고 있다고 지적합니다. 표준 사하 방정식은 이미 동일 입자를 구별할 수 없다는 규칙($1/N!$ 인자가 화학 퍼텐셜에 이미 포함되어 있음)을 포함하고 있습니다. 여기에 또 다른 $1/N!$ 인자를 추가함으로써, 새 논문은 본질적으로 "이 입자들은 동일하며, 또한 동일하다"라고 말하는 것과 같습니다. 이는 별의 에너지 양이 당신이 측정하는 상자의 임의적인 크기에 따라 달라진다는 식의 터무니없는 결과를 초래합니다.

결론

오자(Ojha), 사르다나(Sardana), 그리고 고쉬(Ghosh)의 논문은 "환경적 기록"을 사용하여 동일 입자들이 왜 그렇게 행동하는지를 설명하려 했습니다. 호르차니의 분석은 다음을 보여줍니다:

1. "기록된" 엔트로피를 계산하기 위해 사용된 수학이 틀렸습니다.
2. 수학을 바로잡더라도, 엔트로피는 그들이 주장한 대로 항상 존재하지 않습니다.
3. 사하 방정식을 위한 제안된 수정안은 수학적으로 일관성이 없으며, 임의의 상자 크기에 의존하고, 이미 적용되어 있는 규칙을 중복 계산합니다.

무엇이 여전히 유효한가?
가스의 거동(삭커-테트로드데, Sackur–Tetrode)이나 별의 이온화를 설명하는 표준 공식(사하, Saha)은 여전히 옳습니다. "나누기 $N!$" 규칙을 화려한 "얽힘(entanglement)" 이야기로 대체하려 했던 새 논문의 시도는 결함이 있는 것으로 드러났습니다. 기존의 규칙은 여전히 유효하며, 새로운 "일기장" 설명은 작동하지 않습니다.