Comment on Statistical mechanics from quantum envariance and exchange symmetry

想象一个繁忙的舞池，粒子就是其中的舞者。多年来，物理学家一直有一套计数这些舞者的规则手册：如果他们是同卵双胞胎（不可区分），你不能仅仅计算他们交换位置的所有可能方式，否则你会得到一个在数学上不可能实现的拥挤人群。你必须除以一个巨大的数字 $N!$（N 的阶乘）才能得到正确答案。这就是著名的“吉布斯因子”（Gibbs factor），它维持了热力学定律不至于崩溃。

最近，一组研究人员提出了一个华丽的新方法来解释为什么我们需要除以 $N!$。他们建议宇宙保留了一个“秘密日记”（环境），记录了每一次两个粒子交换位置的情况。他们声称，如果你观察这个日记，它所造成的纯粹混乱会增加特定的“熵”（无序度），其量级为 $k_B \ln N!$。他们认为这种额外的无序度自然地抵消了重复计数，从而无需手动除以 $N!$ 就能修正数学问题。他们甚至尝试利用这个新技巧来修正一个关于恒星如何将氢转化为等离子体的著名方程（萨哈方程，Saha equation）。

然而，一位名叫 Ridha Horchani 的物理学家带着一副非常锐利的眼镜来看待这一提议，结论很明确：这个新解释行不通。

以下是 Horchani 的发现，通过简单的术语进行了解析：

1. “秘密日记”并不存在（或者至少不是他们想的那样）

这篇新论文试图使用一种叫做“偏迹”（partial trace）的数学工具来计算这个“秘密日记”产生的“无序度”。你可以把它想象成试图只观察舞者而忽略日记。Horchani 指出，新论文使用的数学方法在执行此操作时是错误的。它并没有真正只观察舞者，而是又观察了整个房间。

即使我们修正了数学，结果仍然是一败涂地。新论文声称，无论你拥有什么样的舞者，日记总是会产生特定量的混沌（$k_B \ln N!$）。Horchani 表明这是错误的。

• 类比： 想象两名同卵双胞胎在跳舞。如果他们交换位置，一切都没有变化。 “日记”可能会记录一次交换，但舞池看起来完全一样。在这种情况下，零额外混沌产生。新论文的数学预测了并不存在的混沌。
• 现实： 只有当舞者处于完全不同、互不重叠的状态时，你才会得到那种巨大的混沌。但对于相同粒子（如玻色子）而言，它们通常确实处于相同的状态。因此，新论文所依赖的“普遍性”混沌根本不存在。

2. “魔法减法”技巧

新论文试图通过这样来修正数学：“好吧，既然我们从日记中得到了正向的混沌，那我们就从总能量中减去它，以得到正确的答案。”
Horchani 说，这就像仅仅因为你想让账目看起来正确，就在“支出”栏里写下一个负数来平衡支票簿。量子力学中没有任何物理规则规定你可以直接从真实的的热力学熵中减去这种“日记混沌”。数学的正负号是错的。新论文通过翻转一个符号来强行使答案成立，但自然界并不这样运作。

3. “恒星方程”（萨哈方程）失效了

新论文试图将他们的“日记”理念应用于萨哈方程，该方程预测了恒星中有多少氢会转化为自由电子和质子。他们建议将答案乘以一个微小的分数：$1/(N_e! N_p!)$。
Horchani 发现了三个致命缺陷：

• 数学是空洞的： 他们开始使用的方程实际上是一个“积态”（product state），这意味着系统和日记是完全分离的。如果它们是分离的，那么它们之间就没有联系，且“日记”增加的熵为零。整个计算直接坍塌为零。
• 它不会消失： 他们声称，在稀薄气体（稀释极限）中，这个新因子会消失并变为 1，从而让旧物理学保持原样。但 Horchani 表明，因子 $1/N!$ 并不会消失。如果你有 2 个粒子，因子是 $1/4$。如果你有 100 个粒子，它是一个极小的数字。它永远不会趋于 1。
• 它破坏了尺度： 这个新公式取决于你所选容器中的总粒子数。如果你将容器的大小增加一倍（增加了更多气体），答案会发生剧烈变化。但真实的物理学不应该关心你那个想象中的盒子有多大；它应该只关心密度（有多拥挤）。新公式会对同一份气体给出不同的答案，仅仅因为你观察了更大的一块区域。这是一个原则性的错误。

4. 双重计算了“双胞胎”

最后，Horchani 指出，新论文对粒子的“不可区分性”进行了双重计数。标准的萨哈方程已经包含了粒子不可区分的规则（$1/N!$ 因子已经包含在化学势中了）。通过在此之上再添加一个 $1/N!$ 因子，新论文实际上是在说：“这些粒子是相同的，而且，它们又是相同的。”这会导致荒谬的结果，比如预测恒星中的能量量取决于你测量时选择的盒子的任意大小。

总结

Ojha、Sardana 和 Ghosh 的论文试图利用“环境记录”来解释为什么相同的粒子会表现得像它们那样。Horchani 的分析表明：

1. 用于计算“记录”熵的数学是错误的。
2. 即便使用修正后的数学，熵也并不总是他们所声称的那样。
3. 针对萨哈方程提出的修正方案在数学上是不一致的，依赖于任意的盒子大小，并且双重计算了已经存在的规则。

什么仍然是正确的？
描述气体行为（萨库尔-特特罗公式，Sackur–Tetrode）和恒星电离（萨哈方程）的标准公式仍然是正确的。新论文试图用一个华丽的“纠缠”故事来取代标准的“除以 $N!$”规则的尝试已被证明是有缺陷的。旧的规则依然有效，而新的“日记”解释行不通。