Comment on Statistical mechanics from quantum envariance and exchange symmetry

活気あふれるダンスフロアを想像してみてください。そこでは粒子たちがダンサーです。長年、物理学者たちはこれらのダンサーを数えるためのルールブックを持ってきました。もし彼らが「同一の双子（区別がつかない存在）」である場合、単に彼らが入れ替わるあらゆる可能性を数えてしまうと、数学的に不可能な混雑状況を招いてしまいます。そのため、$N!$（N階乗）という巨大な数で割って、正しい答えを出す必要があります。これは有名な「ギブスの因子（Gibbs factor）」であり、これにより熱力学の法則が崩壊するのを防いでいます。

最近、ある研究グループが、なぜ $N!$ で割る必要があるのかを説明するための、非常に華やかな新しい方法を提案しました。彼らは、宇宙には「秘密の日記（環境）」が存在し、二つの粒子が入れ替わるたびにそれを記録していると示唆しました。彼らは、この日記を眺めると、そこから生じる「混乱」が特定の量の「エントロピー（無秩序さ）」を生み出し、それが $k_B \ln N!$ に等しいと主張しました。彼らは、この余分な無秩序さが、手動で $N!$ を割ることなく、カウントの重複を自然に解消すると論じました。彼らはこの新しいトリックを使って、恒星が水素をプラズマに変えるプロセスに関する有名な方程式（サハの方程式）を修正しようとさえ試みました。

しかし、リダ・ホルチャニ（Ridha Horchani）という物理学者が、非常に鋭い眼鏡をかけてこの提案を検証したところ、結論は明白でした。その新しい説明は機能しない、ということです。

ホルチャニが見つけた内容は、以下の通り、分かりやすく整理されています。

1. 「秘密の日記」は存在しない（あるいは、彼らが考えているものとは違う）

新しい論文は、「部分トレース」と呼ばれる数学的ツールを用いて、この「秘密の日記」によって生じる「無秩序」を計算しようとしました。これは、日記を無視してダンサーだけを見ようとする試みのようなものです。ホルチャニは、新しい論文がこの計算に使用した数学が、単に間違っていたのだと指摘しています。それは実際にはダンサーだけを見ているのではなく、部屋全体を再び見てしまっていたのです。

たとえ数学を修正したとしても、結果は失敗です。新しい論文は、どのような種類のダンサーであっても、日記は常に特定の量の混乱（$k_B \ln N!$）を生み出すと主張しています。しかし、ホルチャニはこれが間違いであることを示しました。

• 例え話： 二人の同一の双子が踊っていると想像してください。もし彼らが場所を入れ替えたとしても、何も変わりません。 「日記」は入れ替わりを記録しているかもしれませんが、ダンスフロアの見え方は全く同じです。この場合、追加の混乱はゼロです。新しい論文の数学は、混乱が存在しない場所にさえ、混乱があると予測してしまいます。
• 現実： この巨大な混乱が生じるのは、ダンサーたちが完全に異なる、重なり合わない状態にある時だけです。しかし、同一粒子（ボゾンなど）の場合、彼らはしばしば「同じ状態」にあります。したがって、新しい論文が依拠している「普遍的な」混乱は、そこには存在しないのです。

2. 「魔法の引き算」のトリック

新しい論文は、「よし、日記から正の混乱が生じているのだから、正しい答えを得るために、この混乱を我々の全エネルギーから差し引けばいいのだ」と説明することで、数学を修正しようとしました。
ホルチャ尼は、これは「帳尻を合わせるために、単に合計額を正しく見せようとして、支出欄に負の数を書き込むようなものだ」と述べています。量子力学には、実際の熱力学的エントロピーからこの「日記の混乱」を差し引くことができるという物理的なルールは存在しません。数学の符号が間違っています。新しい論文は、答えを無理やり成立させるために、符号を反転させているのです。しかし、自然界はそのようには動きません。

3. 「星の方程式（サハの方程式）」の崩壊

新しい論文は、この「日記」のアイデアを、恒星の中でどれだけの水素が自由電子と陽子に変わるかを予測するサハの方程式に適用しようとしました。彼らは、答えに $1/(N_e! N_p!)$ という極めて小さな分数を掛けることを提案しました。
ホルチャニは、ここに三つの致命的な欠陥があることを見出しました。

• 数学的な空虚さ： 彼らが出発点とした方程式は、実際には「積状態（product state）」、つまりシステムと日記が完全に分離している状態でした。もし両者が分離しているなら、そこには何の繋がりもなく、日記によるエントロピーはゼロになります。計算全体が崩壊してしまうのです。
• 消滅しない： 彼らは、希薄なガス（希薄限界）においては、この新しい因子が消えて1になり、古い物理学がそのまま残ると主張しました。しかし、ホルチャニは、この $1/N!$ という因子は決して消えず、1にはならないことを示しました。粒子が2つなら因子は $1/4$ です。粒子が100個あれば、それは極めて小さな数になります。決して1には向かいません。
• スケールの破壊： 彼らの新しい公式は、選んだ箱の中にある「全粒子数」に依存しています。もし、より多くのガスが入るように箱のサイズを2倍にすれば、答えは劇的に変わってしまいます。しかし、現実の物理学は、自分が選んだ想像上の箱の大きさに左右されるべきではなく、密度（どれほど混雑しているか）にのみ関心を持つべきです。新しい公式は、同じガスを見ているにもかかわらず、箱の大きさによって異なる答えを出してしまいます。これは決定的な問題です。

4. 双子の二重カウント

最後に、ホルチャニは、新しい論文が粒子の「不可識別性（区別がつかないこと）」を二重にカウントしていると指摘しました。標準的なサハの方程式には、すでに同一粒子を区別できないというルール（$1/N!$ の因子は化学ポテンシャルの中に組み込まれている）が含まれています。そこにさらに別の $1/N!$ という因子を加えることは、本質的に「これらの粒子は同一であり、かつ、また同一である」と言っているようなものです。これは、例えば「星の中のエネルギー量が、測定している箱の任意のサイズに依存する」といった、意味をなさない結果を導きます。

結論

オジャ、サルダナ、およびゴシュによる論文は、「環境の記録」を用いて、なぜ同一粒子がそのように振る舞うのかを説明しようとしました。しかし、ホルチャニの分析によれば：

1. 記録されたエントロピーを計算するために使用された数学は誤っていました。
2. 数学を修正したとしても、エントロピーは彼らが主張した通りにはなりません。
3. サハの方程式に対する提案された修正は、数学的に矛盾しており、任意の箱のサイズに依存し、すでに存在するルールを二重にカウントしています。

何が真実として残っているのか？
ガスがどのように振る舞うか（サック・トレトイド）や、恒星がどのように電離するか（サハ）という標準的な公式は、依然として正しいままです。標準的な「$N!$ で割る」というルールを、派手な「もつれ（エンタングルメント）」の物語に置き換えようとした新しい論文の試みは、欠陥があることが示されました。古いルールは今も有効であり、新しい「日記」による説明は機能しません。