Cooling rate and glassy behavior in the Fermi--Pasta--Ulam system

거대한 빙결: 너무 추워져서 진정할 수 없을 때

당신이 직접 아이스크림을 한 통 만들고 있다고 상상해 보세요. 만약 천천히 저으면서 부드럽게 식힌다면, 크림 분자들은 완벽하고 질서 정연한 자리를 찾을 충분한 시간을 갖게 되어 매끄럽고 단단한 얼음 덩어리로 변할 것입니다. 하지만 그 똑같은 크림을 초저온 냉동실에 던져 넣고 팬으로 강하게 바람을 불게 한다면, 분자들은 겁을 먹고 혼란에 빠질 것입니다. 분자들은 자리를 잡으려고 노력하지만, 너무 빠르게 움직이는 나머지 자리를 찾기도 전에 서로 충돌하고 맙니다. 그 결과는 완벽한 결정이 아니라, '유리 같은(glassy)' 고체, 즉 겉보기에는 고체처럼 보이지만 실제로는 무질서하고 혼란스러운 상태에 갇혀 있는 얼어붙은 엉망진창인 상태가 됩니다. 이것이 사물이 얼어붙는 방식에 대한 이야기이며, 물리학 세계의 거대한 미스터리 중 하나입니다.

과학자들은 왜 어떤 물질들이 완벽한 결정을 만드는 대신 이 '유리 같은' 상태에 갇히게 되는지 오랫동안 궁금해해 왔습니다. 일반적인 원인은 사물이 차가워짐에 따라 원자들이 스스로를 재배열하여 질서를 찾는 데 걸리는 시간이 점점 더 길어진다는 것입니다. 즉, 원자들이 결코 자리를 잡기도 전에 냉각 과정이 끝나버릴 정도로 길어지는 것이죠. 값비싼 화학 물질로 가득 찬 실험실 없이도 이를 연구하기 위해, 물리학자들은 페르미-파스타-우람(Fermi–Pasta–Ulam, FPU) 시스템이라는 유명한 수학적 장난감을 사용합니다. 이 시스템을 스프링으로 연결된 구슬들의 긴 줄이라고 생각하면 됩니다. 이것은 고체 결정의 가장 단순한 모델입니다. 과학자들은 이 구슬들이 어떻게 흔들리고 상호작용하는지를 관찰함으로써, 에너지가 어떻게 이동하고 사물이 어떻게 식어가는지에 대한 규칙을 테스트할 수 있습니다. 핵심 질문은 이것입니다. 만약 이 시스템을 가능한 한 빨리 냉각시킨다면, 과연 진정한 제로 에너지 상태에 도달할 수 있을까요, 아니면 떠나기를 거부하는 잔여 에너지를 남긴 채 갇히게 될까요?

논문의 발견: 놓아주지 않는 "유령" 에너지

이 연구에서 연구자들은 구슬들의 줄을 가지고 '추위 쫓기' 게임을 하기로 했습니다. 그들은 FPU 시스템(스프링에 연결된 구슬들)이 하나의 '가스'(사방으로 튀어 다니는 다른 입자들)와 접촉하고 있는 시뮬레이션을 설정했습니다. 그러고 나서 그들은 가스를 식히기 시작하여, 효과적으로 시스템에서 열을 빼앗았습니다. 그들은 무엇이 일어나는지 보기 위해 다양한 속도(냉각 속도)와 다양한 구슬의 개수(시스템 크기)를 사용하여 이 작업을 수행했습니다.

그들이 발견한 결과는 꽤 놀라웠습니다. 시스템을 냉각시키면서, 그들은 구슬의 에너지가 온도와 함께 바로 떨어져서 온도가 0에 도달할 때 에너지도 0에 도달할 것이라고 예상했습니다. 그러나 그들은 '확률론적 임계값(stochastic threshold)'—일종의 보이지 않는 혼돈의 속도 제한—을 발견했습니다. 특정 온도 아래에서 구슬들은 정상적이고 차분한 평형 상태의 시스템처럼 행동하기를 멈췄습니다. 대신, 그들은 갇혀 버렸습니다. 주변 가스의 온도를 절대 영도까지 낮추더라도, FPU 시스템은 움직임을 멈추지 않았습니다. 그것은 제거되기를 거부하는 아주 작고 끈질긴 양의 에너지를 계속 유지했습니다. 저자들은 이 남겨진 에너지를 '영점 에너지($E_0$)'라고 부릅니다. 이는 마치 구슬들이 추워서 떨고 있는 것이 아니라, 무질서한 상태에 갇혀서 움직임을 멈출 출구를 찾지 못해 떨고 있는 것과 같습니다.

이 발견의 가장 흥미로운 부분은 이 남겨진 에너지가 어떻게 행동하느냐 하는 점입니다. 연구진은 수천 번의 컴퓨터 시뮬레이션을 실행했고, 이 '유령' 에너지가 무작위가 아니라는 것을 발견했습니다. 그것은 매우 특정한 패턴을 따릅니다. 남겨진 에너지의 양은 두 가지, 즉 얼마나 빨리 시스템을 식혔는지(냉각 속도, $\xi$)와 줄에 있는 구슬이 몇 개인지(입자 수, $N$)에 따라 달라집니다.

데이터를 통해, 그들은 남겨진 에너지가 멱법칙(power law)에 따라 스케일링된다고 제안합니다. 구체적으로, 에너지 $E_0$는 냉각 속도와 입자 수를 곱한 값에 $2/3$ 승을 한 것에 비례하는 것처럼 보입니다. 저자들의 표현을 빌리면, 관계식은 다음과 같습니다:
$$E_0 \sim (\xi N)^{2/3}$$

이는 만약 당신이 거대한 시스템(큰 $N$)을 가지고 있고 빠르게 냉각시킨다면(큰 $\xi$), 상당한 양의 갇힌 에너지가 남겨질 수밖에 없음을 의미합니다. 설령 냉각 속도를 늦춘다 하더라도, 시스템이 충분히 크다면 그 에너지는 사라지지 않을 것입니다. 저자들은 이 남겨진 에너지가 실제 거시적인 세상에서 완전히 사라지려면, 냉각 속도가 $1/N$보다 더 빨라야 할 정도로 불가능하게 느려야 한다고 언급합니다.

이 논문은 왜 이런 현상이 발생하는지에 대한 미스터리를 해결했거나, 우주의 모든 물질에 적용되는 새로운 자연 법칙을 찾아냈다고 주장하지 않습니다. 대신, 저자들은 이러한 행동이 단순한 모델에서도 평형 상태로의 전이가 진정한 열적 평형에 도달하는 것을 방해한다는 강력한 힌트라고 제안합니다. 그들은 수학적으로는 시뮬레이션에서 명확하지만, 왜 냉각 속도와 시스템 크기에 대한 지수가 서로 매우 유사한지(둘 다 $2/3$에 가까움)에 대한 이유는 여전히 수수께집로 남아 있다고 지적합니다. 그들은 만약 이 행동이 가스와 상호작용하는 실제 세계의 고체에도 적용된다면, 우리가 수행하는 그 어떤 실제 냉각 과정도 항상 무시할 수 없는 양의 에너지를 남겨두게 될 것이며, 이는 우리가 차가운 물체의 열역학을 이해하는 방식을 근본적으로 바꿀 수 있다고 결론짓습니다.