Cooling rate and glassy behavior in the Fermi--Pasta--Ulam system

大凍結：落ち着くにはあまりにも冷たすぎる時

手作りのアイスクリームを作っているところを想像してみてください。ゆっくりとかき混ぜながら穏やかに冷やしていけば、クリームの分子には完璧で秩序ある場所を見つけるための十分な時間が与えられ、滑らかで固い氷の塊へと変化します。しかし、もしその同じクリームを超低温の冷凍庫に投げ込み、ファンで猛烈に冷やしたとしたら、分子は怯え、混乱してしまいます。分子は落ち着こうと試みますが、動きが速すぎるため、適切な場所を見つける前に互いに衝突してしまうのです。その結果、得られるのは完璧な結晶ではなく、「ガラス状」の固体――つまり、見た目は固形に見えるものの、実際には混沌とした無秩序な状態に陥って動けなくなっている「凍った混乱」です。これは、物事がどのように凍結するかという物語であり、物理学の世界における大きな謎でもあります。

科学者たちは、なぜ一部の物質が完璧な結晶になる代わりに、このような「ガラス状」の状態に陥ってしまうのかについて、長い間疑問を抱いてきました。よくある原因は、温度が下がるにつれて、原子が再配置して秩序を見つけるのにかかる時間がどんどん長くなっていくことです。つまり、原子が落ち着く前に、冷却プロセスが終わってしまうのです。高価な化学薬品が詰まったラボを用意することなくこの現象を研究するために、物理学者はフェルミ・パスタ・ウラム（FPU）系と呼ばれる有名な数学的おもちゃを使用します。このシステムを、バネでつながれた一連のビーズの列だと考えてください。これは、固体の結晶の最も単純なモデルです。科学者たちは、これらのビーズがどのように揺れ動き、相互作用するかを観察することで、エネルギーがどのように移動し、どのように冷却されるかというルールをテストすることができます。大きな疑問は、もしこのシステムを可能な限り速く冷却した場合、本当にエネルギーがゼロの状態に到達するのか、それとも去ることを拒む余剰エネルギーを抱えたまま残ってしまうのか、ということです。

論文の発見：離れていかない「ゴースト」エネルギー

この研究において、研究者たちはビーズの列を使って「冷たさを追いかける」ゲームを行うことにしました。彼らは、FPU系（バネでつながれたビーズ）が「ガス」（周囲を跳ね回る他の粒子）と接触しているシミュレーションを設定しました。そして、熱をシステムから引き抜くために、ガスの温度を下げ始めました。彼らは、何が起こるかを見るために、異なる速度（冷却率）と異なる数のビード（システムサイズ）を用いて実験を行いました。

彼らが発見したことは、非常に驚くべきことでした。システムを冷却するにつれ、ビーズのエネルギーも温度とともに低下し、温度がゼロになったときにエネルギーもゼロになると予想されていました。しかし、彼らは「確率的閾値（stochastic threshold）」、つまりカオスの目に見えない速度制限のようなものを発見しました。ある一定の温度以下になると、ビーズは通常の穏やかな平衡状態にあるシステムとしては振る舞わなくなります。代わりに、彼らは行き詰まってしまったのです。周囲のガスの温度が絶対零度まで下げられたとしても、FPU系は動きを止めませんでした。それは、ごくわずかな、頑固なエネルギーを保持し続け、それが取り除かれることを拒んだのです。著者たちは、この残されたエネルギーを「ゼロ点エネルギー（$E_0$）」と呼んでいます。それはまるで、ビーズが暖かいからではなく、無秩序な状態に閉じ込められ、動きを止めるための出口を見つけられないために、寒さの中で震えているかのようです。

彼らの発見の最もエキサイティングな部分は、この残されたエネルギーがどのように振る舞うかという点です。研究者たちは何千回ものコンピュータ・シミュレーションを実行し、この「ゴースト」エネルギーがランダムではなく、非常に特定のパターンに従っていることを発見しました。残されたエネルギーの量は、2つの要素、すなわち、どれくらいの速さでシステムを冷却したか（冷却率 $\xi$）と、ビーズがいくつあったか（粒子数 $N$）に依存しています。

データを通じて、彼らは残されたエネルギーがべき乗則に従ってスケールすることを示唆しています。具体的には、エネルギー $E_0$ は、冷却率と粒子数を掛け合わせ、それを $2/3$ 乗したものに比例しているようです。彼らの言葉を借りれば、その関係性は次のようになります。
$$E_0 \sim (\xi N)^{2/3}$$

これは、巨大なシステム（大きな $N$）を持ち、急速に冷却（大きな $\xi$）する場合、かなりの量のこの閉じ込められたエネルギーが確実に残されることを意味します。たとえ冷却を遅くしたとしても、システムが十分に大きければ、そのエネルギーは消えません。著者たちは、この残されたエネルギーが現実のマクロな世界で完全に消失するためには、冷却率が $1/N$ よりも速いという、不可能に近いほど遅い速度である必要があると指摘しています。

この論文は、なぜこのようなことが起こるのかという謎を解明したり、宇宙のあらゆる物質に適用される新しい自然法則を見つけたりしたと主張しているわけではありません。むしろ、著者たちは、このような挙動は、単純なモデルであっても、ガラス状態への転移がシステムが真の熱平衡に達することを妨げるという強力なヒントであると考えています。彼らは、シミュレーションにおける数学的なプロセスは明確であるが、なぜ冷却率とシステムサイズの指数がこれほど似ている（どちらも $2/3$ に近い）のかという理由は、依然としてパズルであると指摘しています。彼らは、もしこの挙動が、ガスと相互作用する現実世界の固体にも当てはまるのであれば、私たちが試みるあらゆる現実世界の冷却プロセスは、常に無視できない量のエネルギーを後残すことになり、冷たい物体に関する熱力学の理解を根本的に変える可能性があると結論づけています。