Seat Reversals and Candidate Status Changes under Biproportional Representation

당신이 모든 학생이 자신이 가장 좋아하는 클럽에 투표하는 거대한 학교 선거를 조직하고 있다고 상상해 보세요. 일반적인 선거에서는 학교가 작은 이웃(구역)들로 나뉩로집니다. 각 이웃은 자체적으로 표를 집계하고 정해진 수의 대표를 큰 학생 의회로 보냅니다. 이는 지역적으로는 공정하지만, 매우 복잡해질 수 있습니다. 만약 어떤 인기 있는 클럽이 단 하나의 이웃에서 대부분의 표를 얻었다면, 그 클럽은 전체적으로 너무 많은 의석을 차지하게 될 수도 있고, 반대로 여러 곳에서 꾸준한 지지를 받은 클병은 너무 적은 의석을 갖게 될 수도 있습니다. 이는 마치 "과학 클럽"이 과학동에서는 모든 좌석을 차지했지만, 예술동에서는 단 하나의 좌석도 얻지 못한 것과 같습니다.

이를 해결하기 위해, 일부 학교에서는 **이중 비례 대표제(biproportional representation)**라는 특별한 "2단계" 규칙을 사용합니다. 먼저, 학교 전체의 모든 표를 집계하여 각 클럽이 정확히 몇 개의 의석을 가져야 하는지 결정합니다. 그다음, 각 구역이 보내야 하는 총 의석수를 바꾸지 않으면서 특정 이웃에 그 숫자들을 어떻게 맞출지 고민합니다. 이것은 수학적인 퍼즐입니다. "어떻게 하면 과학 클럽이 학교 전체에서 가져야 할 공정한 몫을 주면서도, 동시에 예술동이 정확히 5명의 인원을 보내야 한다는 규칙을 존중할 수 있을까?" 이 시스템은 최종 의회가 전체 학생 사회와 똑같이 보이도록 설계되었습니다. 하지만 까다로운 점은, 큰 그림을 공정하게 만들기 위해 규칙이 때때로 특정 이웃의 투표 결과가 달랐더라도 그 이웃의 의석을 조정해야 할 수도 있다는 것입니다. 이 논문은 이 질문을 던집니다: "전체적인 그림을 고정했을 때, 얼마나 많은 개별 학생들이 의회에서 밀려나게 되며, 그것이 공정한 교체처럼 느껴지는가 아니면 혼란스러운 뜻밖의 사건처럼 느껴지는가?"

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거대한 좌석의 뒤섞임: 공정함이 목표치를 옮길 때

산드로 루셔(Sandro Lüscher)가 작성한 이 논문은 2023년 스위스 취리히 선거를 통해 이 "2단계" 공정성 규칙을 사용할 때 정확히 어떤 일이 일어나는지 파헤칩니다. 저자는 선거를 거대한, 미리 녹화된 비디오 게임처럼 다룹니다. 그는 사람들이 던진 실제 표, 실제 후보자 명단, 그리고 실제 순위를 가져온 뒤, 숫자를 두 번 실행합니다. 한 번은 실제 "2단계" 규칙(이중 비례성)을 사용하여, 또 한 번은 모든 이웃이 독립적으로 자신의 표를 집계하는 더 단순한 규칙(일반적인 지역 선거와 같은 방식)을 사용하여 실행합니다.

다른 모든 조건은 동일하게 유지한 채 오직 수학적 규칙만 바꿈으로써, 그는 전체 숫자를 공정하게 만들기 위해 얼마나 많은 의석이 서로 바뀌는지 정확히 볼 수 있습니다.

주요 발견: 단순히 "역전"의 문제가 아니다

오랫동안 전문가들은 **"의석 역전(seat reversal)"**이라 불리는 특이한 현상을 우려해 왔습니다. 이는 어떤 정당이 특정 지역에서 더 많은 표를 얻었음에도 불구하고, 표를 더 적게 얻은 정당보다 더 적은 의석을 갖게 되는 상황을 말합니다. 이는 마치 오류처럼 들립니다! 예를 들어, 우리 동네에서 "게이밍 클럽"이 "아트 클럽"보다 더 많은 표를 얻었는데, 아트 클럽이 의석을 가져가는 상황을 상상해 보세요. 이는 불합리하게 느껴집니다.

이 논문은 이러한 현상이 실제로 발생한다는 점을 확인해 줍니다. 2023년 취리히 선거에서, 표를 더 적게 얻은 정당이 더 많은 의석을 가져간 사례가 두 곳 있었습니다. 이것이 바로 모두가 이야기하는 "의석 역전"입니다.

하지만 이 논문의 진짜 "아하!" 모먼트는 의석 역전이 이야기의 절반에 불과하다는 점입니다.

저자는 이중 비례제가 총 14명의 후보자에게 결과를 변화시킨다는 것을 발견했습니다. 그러나 그 변화 중 오직 4명만이 그 기이한 "의석 역전" 때문에 발생한 것이었습니다. 나머지 10명의 변화는 표를 더 많이 얻은 정당이 여전히 더 많은 의석을 가진 상태에서도 발생했습니다!

이렇게 생각해 보세요. 하나의 정당 리스트가 사다리라고 가정해 봅시다. 유권자들은 누가 사다리를 오를지, 그리고 어떤 순서로 오를지를 결정합니다. "2단계" 규칙은 등반가들의 순서를 바꾸는 것이 아니라, 단지 사다리의 높이를 조절하는 것입니다.

• 만약 규칙이 그 정당에 3석을 준다고 하면, 상위 3명의 등반가가 의회에 앉게 됩니다.
• 만약 (전체적인 수학적 계산에 따라) 그 정파에 2석만 주어야 한다면, 3번째 등반가는 설령 다른 누구보다 높은 위치에 있었더라도 의회에서 밀려나게 됩니다.

논문은 취리히에서 7개의 의석이 정당 간에 자리를 바꿨음을 보여줍니다. 이는 14명의 후보자의 상태가 변했음을 의미합니다(7명은 당선되었고, 7명은 탈락했습니다). 하지만 이 좌석 교체 중 "의석 역전"이 포함된 것은 단 2건뿐이었습니다. 나머지 5건의 교체는 정당이 의석을 얻거나 잃긴 했지만, 여전히 기존의 순위를 유지하고 있는 상태에서의 교체였습니다.

"득표 차이"의 놀라움

저자는 또한 낙선한 사람들의 경합이 얼마나 치열했는지도 살펴보았습니다. 그는 당선자와 아깝게 탈락한 사람 사이의 차이인 "득표 차이(vote gap)"를 측정했습니다.

그는 매우 다양한 결과를 발견했습니다:

• 한 사례(디엘스도르프 지역)에서는 차이가 매우 작았습니다. 당선자와 낙선자 사이의 차이는 단 40표였습니다. 이는 정말 종이 한 장 차이의 격차입니다!
• 다른 사례에서는 그 격차가 수백 표, 심지어 천 표 이상으로 매우 컸습니다.

이것이 중요한 이유는 "2단계" 규칙이 단순히 접전 중인 사람뿐만 아니라, 자기 정당 내에서 가장 인기 있는 후보의 결과까지도 바꿀 수 있음을 보여주기 때문입니다. 이 규칙은 가용한 의석의 수를 바꾸며, 이는 "결승선"을 위나 아래로 이동시킵니다. 결승선이 움직이면, 그 사람이 얼마나 앞서 있었는지와 상관없이 결승선을 통과하는 사람이 바뀌게 됩니다.

트레이드오프: 공정성 대 지역적 안정성

그렇다면 그럴 가치가 있었을까요? 논문은 두 가지 유명한 수학적 지표(갤러거 지수와 루스모어-한비 지수)를 사용하여 선거의 "공정성"을 측정합니다.

• 특수 규칙을 사용하지 않았을 때, 불공정성 점수는 갤러거 지수 2.64, 루스모어-한비 지수 4.81이었습니다.
• 특수 규칙을 적용했을 때, 이 점수들은 각각 1.73과 2.55로 떨어졌습니다.

특수 규칙은 정당 전체에 대해 선거를 훨씬 더 공정하게 만들었습니다. 하지만 그 대가로, 180석 중 7석(약 3.9%)이 단순 지역 선거를 했을 때와는 다른 사람에 의해 차지하게 되었습니다.

저자는 컴퓨터 시뮬레이션을 통해 이것이 우연인지 확인했습니다. 그는 투표 수 숫자를 약간씩 흔들어(마치 약간 다른 날의 상황을 시뮬레이션하듯) 실행해 보았고, 7개의 좌석 교체가 발생하는 것이 매우 정상적이고 평균적인 결과임을 발견했습니다. 이는 재앙이 아니라, 단지 수학이 작동하는 방식입니다. "의석 역전"(기이한 경우) 역시 시뮬레이션에서 평균적으로 약 2개의 구역에서 발생하는 것으로 나타나, 매우 정상적인 수준이었습니다.

이것이 당신에게 의미하는 바

논문은 "의석 역전"이 이 시스템에서 가장 극적이고 눈에 띄는 부분이지만, 그것이 전부가 아니라고 결론짓습니다. 이 시스템은 단순히 그 극적인 역전 현상보다 훨씬 더 많은 방식으로 의회의 인적 구성을 변화시킵니다.

이것은 트레이드오프입니다. 당신은 지역 전체의 총 득표수에 완벽하게 부합하는 의회를 얻는 대신, 지역 사회의 구체적인 순위가 항상 존중받을 것이라는 보장은 조금 잃게 됩니다. 논문은 이것이 "나쁘다"거나 "좋다"고 말하지는 않지만, 유권자와 후보자들이 자신의 지역적 순위가 방정식의 일부일 뿐이라는 점을 이해해야 한다고 말합니다. "글로벌 수학"이 결승선을 조정하여, 유서들이 마음을 바꾸지 않았더라도 누가 승리할지를 바꿀 수 있기 때문입니다.

요약하자면, 이 시스템은 큰 그림을 공정하게 만드는 데 효과적이지만, 그 과정에서 개별 후보를 위한 결승선을 조정하며, 때로는 유명한 "의석 역전"을 훨씬 뛰어넘는 놀라운 방식으로 결과를 바꿉니다.