Seat Reversals and Candidate Status Changes under Biproportional Representation

あなたは、すべての生徒が自分のお気に入りのクラブに投票できる、大規模な学校選挙を運営していると想像してください。標準的な選挙では、学校は小さな近隣地域（選挙区）に分かれています。各地域は独自の票を集め、一定数の代表者を大きな生徒会に送ります。これは地域的には公平ですが、ややこしくなることがあります。もし、ある人気のクラブが特定の地域でほとんどの票を獲得した場合、そのクラブは全体としてあまりにも多くの議席を獲得してしまう可能性があります。一方で、あらゆる場所で着実に支持されているクラブは、議席が少なすぎるかもしれません。それは、まるで「科学部」が科学棟のすべての議席を勝ち取った一方で、芸術棟ではゼロの議席しか得られなかったようなものです。彼らは両方の棟にファンがいたとしてもです。

これを解決するために、一部の学校では「二段階」のルールである**二比例代表制（biproportional representation）**という特別なルールを使用しています。まず、学校全体のすべての票を集計し、各クラブが正確に合計でいくつの議席を得るべきかを決定します。次に、各地域が送る総議席数を変えることなく、それらの数字を特定の地域に当てはめようと試みます。これは数学的なパズルです。「どうすれば、学校全体の公平なシェアを科学部に与えつつ、同時に『芸術棟は正確に5人を送る必要がある』というルールも尊重できるだろうか？」という問題です。このシステムは、最終的な評議会が学生全体の姿と全く同じになるように設計されています。しかし、ここがトリッキーなところです。大きな絵を公平にするために、ルールは時として、たとえその地域が異なる投票を行ったとしても、特定の地域における議席の持ち主を入れ替えなければならないことがあります。この論文は、全体像を固定したとき、どれだけの個々の生徒が評議会から押し出されるのか、そしてそれは「公平な入れ替え」と感じられるのか、それとも「困惑するサプライズ」なのかを問うています。

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座席の偉大なるシャッフル：公平性がゴールポストを動かすとき

サンドロ・リュッシャーによるこの論文は、この「二段階」の公平性のルールを使用した場合に何が起こるのかを正確に把握するために、スイスのチューリッヒ州で行われた2023年の選挙を詳しく分析しています。著者は、実際の選挙を巨大な、録画済みのビデオゲームのように扱っています。彼は、人々が投じた実際の票、実際の候補者リスト、そして実際のランキングを取り込み、それらを2回実行します。一度目は、実際の「二段階」ルール（二比例代表制）を用いて、二度目は、より単純なルール（各地域が独立して独自の票を集計する、標準的な地域選挙のようなもの）を用いて実行します。

他のすべてを全く同じに保ち、数学的ルールだけを変更することで、彼は、全体数を公平にするためにどれだけの議席が入れ替わっているのかを正確に観察することができます。

主な発見：それは単なる「逆転」ではない

長い間、専門家たちは**「議席の逆転（seat reversal）」**と呼ばれる特定の奇妙な現象を懸念してきました。これは、ある地域でより多くの票を得た政党が、より少ない票を得た政党よりも少ない議席を得てしまう現象です。これはバグのように聞こえます！例えば、あなたの地域で「ゲーミング・クラブ」が「アート・クラブ」よりも多くの票を得たのに、アート・クラブが議席を獲得する状況を想像してみてください。それは不合理に感じられます。

この論文は、それが実際に起こることを裏付けています。2023年のチューリッヒ選挙では、より少ない票を得た政党が、より多くの票を得た政党よりも多くの議席を得た場所が2箇所ありました。これが、誰もが話題にする「議席の逆転」です。

しかし、この論文の大きな「アハ体験（発見）」は、議席の逆転は物語の半分に過ぎないということです。

著者は、二比例代表制によって合計で14人の異なる候補者に影響が出たことを発見しました。しかし、それらの変化のうち、あの奇妙な「議席の逆転」によるものはわずか4人でした。残りの10人の変化は、票の多い政党が依然としてより多くの議席を得ている場合でも発生していました！

例えとして考えてみましょう。ある政党のリストを「梯子（はしご）」だとします。有権者は誰が梯子を登り、どのような順番で登るかを決定します。「二段階」のルールは、登る順番を変えるのではなく、単にその梯子の高さを変えるだけです。

• もしルールが、その政党に3つの議席を与えると決めたら、上位3人の登り手が評議会に座ることができます。
• もし（全体的な数学的要請により）その政党に2つの議席しか与えないと決まったら、3番目の登り手は、たとえ彼らが他の誰よりも高い位置にいたとしても、追い出されてしまいます。

この論文は、チューリヒにおいて、7つの議席が政党間で入れ替わったことを示しています。これは、14人の候補者のステータスが変わったことを意味します（7人が当選し、7人が議席を失いました）。しかし、これらの議席の入れ替えのうち、「議席の逆転」を伴うものはわずか2つでした。残りの5つの入れ替えは、単に政党が議席を獲得したり失ったりしたものの、通常の順位を維持していたケースでした。

「票差」のサプライズ

著者はまた、押し出された人々について、レースが「どれほど接戦だったか」についても調査しました。彼は「票差（vote gap）」、つまり議席を得た人と、惜しくも逃した人の間の票数の差を測定しました。

彼は、驚くほど多様な結果を見出しました：

• あるケース（ディールスドルフという地区）では、差は極めて小さく、当選者と落選者を分けたのはわずか40票でした。これは非常に僅差な境界線です！
• 他のケースでは、差は非常に大きく、数百票、あるいは千票を超えることもありました。

これは重要です。なぜなら、この「二段階」のルールが、単に接戦の最中にいる人に対してだけでなく、その政党の中で明らかに最も人気があった候補者の結果さえも変えてしまう可能性があることを示しているからです。ルールは、利用可能な議席の「数」を変えるため、それは梯子の「ゴールライン」を上下に動かすことになります。ゴールラインが動けば、たとえその人がどれほど大きくリードしていたとしても、誰がゴールするかが変わってしまうのです。

トレードオフ：公平性 vs 地域の安定性

では、それは価値のあることだったのでしょうか？論文は、2つの有名な数学的スコア（ゲラガー指数とルースモア＝ハンビー指数）を使用して、選挙の「公平性」を測定しています。

• このルールなしの場合、不公平度スコアは、ゲラガー指数で2.64、ルースモア＝ハンビー指数で4.81でした。
• この特別なルールを使用すると、スコアはそれぞれ1.73と2.55に低下しました。

この特別なルールは、政党全体としては選挙をはるかに公平にしました。しかし、その代償として、180議席のうち7議席（約3.9%）が、単純な地域選挙が行われた場合とは異なる人物によって保持されることになりました。

著者は、これが偶然ではないかどうかを確認するために、コンピュータ・シミュレーションを行いました。彼は投票数をわずかに変動させ（少し異なる日のシミュレーションのように）、結果として7つの議席の入れ替えが発生することは、実際には非常に正常で平均的な結果であることを発見しました。それは災難ではなく、単に数学の仕組み通りなのです。「議席の逆転」（あの奇妙な現象）も同様に正常であり、これらのシミュレーションにおける平均的な発生数は、およそ2つの選挙区でした。

これがあなたにとって何を意味するか

論文は、結論として、「議席の逆転」は、このシステムの最も劇的で目に見える部分ではありますが、それが物語のすべてではないと述べています。このシステムは、単なるあの劇的な逆転現象よりも、ずっと多くの方法で議会の構成を変化させます。

これはトレードオフです。あなたは、地域全体の総得票数と完璧に一致する評議会を手に入れますが、その代わりに、地域の特定のランキングが常に尊重されるという保証を少し失います。論文は、これが「悪い」あるいは「良い」と言っているのではなく、有権者や候補者は、自分たちのローカルなランキングは方程式の一部に過ぎないということを理解しておく必要がある、と述べています。「グローバルな数学」は、たとえ地元の有選者が意見を変えていなくても、ゴールラインを調整し、誰が勝つかを変えてしまうことがあるのです。

要するに、このシステムは、大きな絵を公平にするために機能していますが、それは有名な「議席の逆転」をはるかに超えて、個々の候補者のゴールラインを調整するという、時に驚くような方法で行われているのです。