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Experiments with Higher Order Sliding Mode Differentiators: Practical Considerations

본 연구는 불연속 부호 함수를 포화 함수로 대체하는 것이 낮은 샘플링 속도로 인해 발생하는 안정성 및 정확도 저하를 완화할 수 있음을 입증하기 위해 서보 모터에 고차 슬라이딩 모드 미분기를 경험적으로 평가하며, 이를 통해 하드웨어 제약이 있는 응용 분야를 위한 실질적인 구현 가이드라인을 제공한다.

원저자: Jessica Hamer, Farbod Fahimi

게시일 2026-09-01

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CC BY 4.0

원저자: Jessica Hamer, Farbod Fahimi

원본 논문은 CC BY 4.0 (https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) 라이선스로 제공됩니다. ✨ 이것은 아래 논문에 대한 AI 생성 설명입니다. 저자가 작성하거나 승인한 것이 아닙니다. 기술적 정확성을 위해서는 원본 논문을 참조하세요. 전체 면책 조항 읽기

로봇 공학 및 자동화 기계의 세계에서, 기계는 단순히 자신이 어디에 있는지뿐만 아니라 얼마나 빨리 움직이고 그 속도가 얼마나 빠르게 변하는지도 알아야 합니다. 이 정보는 로봇 팔을 안정적으로 유지하거나 드론이 제자리에 떠 있게 하는 데 매우 중요합니다. 그러나 기계에 위치를 알려주는 센서는 종종 노이즈가 섞여 있어, 튀거나 불완전한 신호를 보냅니다. 이러한 흔들리는 위치 데이터로부터 속도와 가속도를 얻기 위해 엔지니어들은 미분기라고 불리는 수학적 도구를 사용합니다. 이 도구들을 노이즈를 걸러내고 변화율을 계산하는 방법이라고 생각하면 됩니다. 수십 년 동안, 슬라이딩 모드 미분기(sliding mode differentiators)로 알려진 인기 있는 도구 군은 노이즈를 뚫고 거의 즉각적으로 정밀한 답을 제공하는 능력 덕분에 컴퓨터 시뮬레이션에서 찬사를 받아왔습니다. 그러나 이러한 시뮬레이션은 대개 데이터가 끊김 없이 흐르는 완벽하고 연속적인 세상에서 실행됩니다.

현실 세계는 그렇게 매끄럽지 않습니다. 실제 기계는 고정된, 종종 느린 간격으로 데이터를 포착하는 디지털 컴퓨터에서 작동합니다. 이러한 이상적인 수학적 도구들이 제한된 속도를 가진 실제 하드웨어에서 실행되도록 강제될 때, 결과는 처참할 수 있습니다. 이론적으로 이들을 강하게 만드는 바로 그 특징—상태 사이의 날카롭고 즉각적인 전환—이 '채터링(chattering)'이라 불리는 격렬한 떨림으로 변할 수 있기 때문입니다. 이 떨림은 속도 추정의 정확도를 파괴하여 기계의 제어 시스템을 무용지물로 만들 수 있습니다. 시뮬레이션의 완벽한 세계와 물리적 센서의 혼란스러운 현실 사이의 이 간극이 바로 연구자 제시카 헤이머(Jessica Hamer)와 파보드 파히미(Farbod Fahimi)가 해결하고자 했던 핵심 문제입니다. 그들은 어떤 수학적 설정이 시계가 느리게 흘러갈 때 실제로 작동하는지, 그리고 어떤 것이 빠른 컴퓨터가 만들어낸 환상에 불과한지를 알아내고자 했습니다.

진실을 찾기 위해, 연구진은 로봇 공학에 흔히 사용되는 일반적인 서보모터를 사용하여 테스트베드를 구축했습니다. 그들은 이 모터를 작은 컴퓨터 보드에 연결하고 모터가 정밀한 단계로 움직이도록 프로그래밍했습니다. 모터의 위치는 센서에 의해 측정되었으며, 연구진은 이 가공되지 않은 데이터를 모터의 속도를 추정하도록 설계된 세 가지 서로 다른 수학적 알고리즘에 입력했습니다. 그들은 컴퓨터가 모터의 위치를 얼마나 자주 스냅샷으로 찍는지, 즉 샘플링 주기를 변화시키며 다양한 조건에서 이 알고리즘들을 테스트했습니다. 그들은 고성능 산업용 로봇부터 더 느리고 제약이 많은 임베디드 시스템에 이르기까지 모든 범위를 아우르는 100, 50, 25, 10회/초의 샘플링 속도로 테스트를 수행했습니다.

또한 연구진은 알고리즘이 결정을 내리는 두 가지 서로 다른 방식을 테스트했습니다. 첫 번째는 마치 전등 스위치를 켜고 끄는 것처럼 한 값에서 다른 값으로 즉각적으로 점프하는 날카롭고 불연속적인 스위칭 방식이었습니다. 두 번째는 작은 완충 지대를 허용하여 점진적으로 변화를 주는 더 부드러운 접근 방식으로, 점프를 완화하는 방식입니다. 이 두 가지 스위칭 스타일을 다양한 샘플링 속도와 결합함으로써, 그들은 어떤 조합이 이론에서 실제 현장으로의 전환에서 살아남을 수 있는지 확인하기 위해 16가지의 서로 다른 시나리오 행렬을 만들었습니다. 그들은 추정된 속도를 모터의 알려진 이론적 속도와 비교함으로써 결과를 측정했으며, 두 가지 주요 요소, 즉 추정치가 실제 값 주변에서 얼마나 흔들리는지(노이즈)와 평균 추정치가 진릿값에서 얼마나 벗어나는지를 살펴보았습니다.

결과는 이론적으로 작동하는 것과 현실에서 작동하는 것 사이에 극명한 차이가 있음을 드러냈습니다. 컴퓨터가 초당 100회로 매우 빠르게 모터의 위치를 샘플링할 때, 날카로운 불연속 스위칭 방식은 테스트된 두 가지 알고리즘 모두에서 훌륭하게 작동했습니다. 이는 매우 빠르고 정확한 속도 추정을 제공하며 노이즈도 거의 없었습니다. 그러나 샘플링 속도가 느려짐에 따라 날카로운 스위칭 방식은 실패하기 시작했습니다. 초당 50회와 25회일 때, 추정치는 불안정하고 신뢰할 수 없게 되었으며 오차가 크게 증가했습니다. 가장 느린 속도인 초당 10회에서는 날카로운 스위칭 방식이 완전히 붕괴되어, 어떤 실제 제어 작업에도 사용할 수 없을 정도로 터무니없이 부정확한 추정치를 생성했습니다.

연구진이 발견한 해결책은 날카로운 스위치를 부드러운 완충 지대로 대체하는 것이었으나, 이는 완충 지대의 크기가 적절히 조정되었을 때만 가능했습니다. 샘플링 속도가 초당 50회 또는 25회로 떨어졌을 때, 매우 얇은 완충 지대를 가진 부드러운 방식을 사용하면 정확도를 고속 테스트와 거의 동일한 수준으로 회복할 수 있었습니다. 이는 중요한 발견이었습니다. 즉, 엔지니어들이 성능을 희생하지 않고도 파라미터를 조정함으로써 더 느리고 저렴하거나 성능이 낮은 하드웨어에서 이러한 강력한 알고리즘을 실행할 수 있다는 것을 의미합니다. 그러나 이 해결책에도 한계는 있었습니다. 가장 낮은 속도인 초당 10회에서는 아무리 부드러운 전환을 사용하더라도 알고리즘을 구할 수 없었습니다. 데이터가 너무 느리게 도착하여 수학적 계산이 따라잡지 못했고, 추정치는 여전히 좋지 않았습니다.

연구진은 또한 두 가지 서로 다른 알고리즘 군을 비교했습니다. 가네스(Ghanes) 방식이라고 알려진 한 계열은 다양한 동작 모드로 전환할 수 있는 유연한 설계를 제공했습니다. 연구진은 이 방식의 한 모드가 고속에서 잘 작동하는 반면, 완전 선형 버전은 테스트된 모든 속도에서 실행 가능한 솔루션을 제공하지 못한다는 것을 발견했습니다. 베이신(Basin)의 연구에 기반한 다른 계열에는 2차 및 3차 버전이 포함되었습니다. 속도를 추정하는 2차 버전은 고속에서는 잘 작동했지만, 완화 기술을 적용하지 않으면 저속에서 어려움을 겪었습니다. 가속도까지 추정하려는 3차 버전은 목표 속도를 크게 초과하는 경향을 보였는데, 이는 가속도 추정이 엄격히 요구되는 경우가 아니라면 급격한 속도 변화가 발생하는 응용 분야에는 적합하지 않음을 의미합니다.

궁극적으로, 이 논문은 실제 시스템을 구축하는 엔지니어들에게 명확한 가이드라인을 제공합니다. 이 연구는 교과서에서 흔히 보이는 고속의 날카로운 스위칭 방식이 항상 물리적 하드웨어에 최선은 아니라는 점을 확인해 줍니다. 대신, 이 연구는 중간 정도의 속도로 작동하는 시스템의 경우, 세심하게 조정된 완화 기술이 성능을 구제할 수 있으며, 이를 통해 컴퓨터가 데이터를 매우 빠르게 샘플링할 수 없는 상황에서도 정확한 속도 추정을 가능하게 한다는 점을 시사합니다. 하지만 여기에는 하한선이 존재합니다. 샘플링 속도가 너무 낮아지면, 어떤 수학적 미세 조정으로도 상실된 정확도를 회복할 수 없습니다. 이 연구는 제어 공학의 이론적 도구들을 어디에 안전하게 배치할 수 있고 어디에서 문제가 생길지를 보여주는 실질적인 지도로서 역할을 하며, 다음 세대의 로봇과 기계들이 센서에 의지하여 부드럽게 움직일 수 있도록 보장합니다.

기술 요약: 고차 슬라이딩 모드 미분기 실험

문제 정의

슬라이딩 모드 미분기(Sliding Mode Differentiators, SMDs)의 수치 시뮬레이션은 가변 타임스텝 적분과 킬로헤르츠(kHz) 범위의 초고속 샘플링 레이트를 사용하는 이상적인 연속 시간 조건에 의존하는 경우가 많다. 이러한 조건은 고정된 적분 단계, 낮은 센서 샘플링 레이트, 심각한 수치적 채터링(chattering)과 같은 실제적인 구현상의 핵심 과제들을 은폐한다. 결과적으로, 표준적인 불연속 스위칭 함수(예: sign())는 시뮬레이션에서는 완벽하게 작동할 수 있으나, 샘플링 주파수가 10~100 Hz 범위로 떨어질 수 있는 실제 하드웨어 응용 분야에서는 성능이 저하되거나 실패하게 된다. 따라서 하드웨어 제약 조건 하에서 실행 가능한 SMD 구성을 선택하기 위한 경험적 지침, 특히 샘플링 레이트와 스위칭 함수(불연속 sign() 대 연속 경계층 sat()) 사이의 트레이드오프에 관한 연구가 부족한 실정이다.

방법론

본 연구는 서보모터로부터 얻은 실시간 위치 측정을 사용하여 세 가지 미분 알고리즘의 성능을 경험적으로 평가한다. 실험 플랫폼은 Raspberry Pi 4, MyActuator X-6 서보모터, 그리고 ROS2 기반의 분산 제어 시스템으로 구성된다. 알고리즘은 다양한 샘별링 주파수(10 Hz, 25 Hz, 50 Hz, 100 Hz)와 스위칭 함수 설정에 걸쳐 테스트되었다.

구현된 알고리즘:

Ghanes의 하이브리드 알고리즘: 슈퍼 트위스팅(super-twisting) 동작과 선형 관측기 강인성을 결합한 2차 미분기이다. 본 연구에서는 원래의 공식을 단순화하여 적응형 하이패스 필터를 생략하고, 지수 $\alpha$ 를 0.5(슈퍼 트위스팅 모드) 또는 1.0(선형 모드)으로 고정하였다.
Basin의 고차 슬라이딩 모드(HOSM) 미분기: 유한 시간 수렴(fixed-time convergence) 공식을 기반으로 하며, 다음 두 가지 구성으로 구현되었다:
- 2차 ( $n=2$ ): 위치와 속도를 추정한다.
- 3차 ( $n=3$ ): 위치, 속도 및 가속도를 추정한다.

실험 설계:

적분: 고정 단계 수치 적분을 위해 5차 Adams-Bashforth 방법을 사용하였다.
스위칭 함수: 불연속 sign() 함수를 다양한 경계층 두께( $\phi = 0.001, 0.05, 0.1$ )를 가진 연속 포화 함수 sat(s, φ)와 비교하였다.
지표: 성능은 평균 제곱 오차(MSE), 채터링 측정을 위한 표준 편차(STD), 그리고 평균값 편차를 사용하여 정량화하였다. 분석은 초기 과도 상승 이후의 정상 상태 속도 추정에 집중하였다.
범위: 총 64회의 시험(4개 알고리즘 $\times$ 16개 테스트 시나리오)이 수행되었다.

주요 결과

1. Ghanes의 방법

비선형 모드 ( $\alpha = 0.5$ ):
- 100 Hz에서 sign() 함수는 빠른 수렴을 제공했으나 채터링이 발생했다. 이를 작은 경계층( $\phi = 0.001$ )을 가진 sat()로 대체하면 정확도를 해치지 않으면서 채터링(STD)과 MSE를 크게 줄일 수 있었다. 더 큰 $\phi$ 값은 상승 시간(rise time)과 오차를 증가시켰다.
- 50 Hz 및 25 Hz에서 sign() 함수는 100 Hz 베이스라인에 비해 정확도가 심각하게 저하되고 채터링이 증가했다. 그러나 $\phi = 0.001$ 인 sat()로 전환하면 100 Hz sat() 케이스와 거의 동일한 수준으로 성능이 회복되었다.
- 10 Hz에서는 성능이 붕괴되었다. $\phi = 0.001$ 인 sat() 함수조차 채터링을 감쇄하거나 정확도를 유지하는 데 실패하여, 10 Hz는 이 방법론에 부적합한 것으로 나타났다.
선형 모드 ( $\alpha = 1.0$ ): 이 구성은 모든 샘플링 레이트와 스위칭 함수에 대해 바람직하지 않은 결과를 생성하였으며, 실행 가능한 해결책을 제시하지 못했다.

2. Basin의 2차 방법

100 Hz: sign() 함수는 최소한의 채터링을 보였다. 경계층( $\phi = 0.001$ )을 도입하면 STD는 약간 개선되었으나 오버슈트로 인해 MSE는 악화되었다. 더 큰 $\phi$ 값은 성능을 크게 저하시켰다. 저자들은 100 Hz에서 경계층을 사용하는 것을 권장하지 않는다.
50 Hz: sign() 함수는 눈에 띄는 채터링과 좋지 않은 결과를 초래했다. 그러나 $\phi = 0.001$ 인 sat()를 사용하면 100 Hz sat() 베이스라인과 일치하는 수준으로 성능이 회복되었다.
25 Hz 및 10 Hz: 적분 알고리즘이 이 속도에서 발산하였으며, 이는 해당 방법론에 너무 낮은 속도임을 입증했다.

3. Basin의 3차 방법

100 Hz: sign() 함수는 뚜렷한 오버슈트를 보였으나 채터링은 최소 수준이었다. 경계층( $\phi = 0.001$ )을 추가하면 오버슈트가 증가하고 STD와 MSE 모두 악화되었다. 더 큰 $\phi$ 값은 상당한 변동을 일으켰다. 저자들은 100 Hz에서 경계층을 사용하는 것을 권장하지 않는다.
50 Hz: 2차 방법과 유사하게, sign() 함수는 극심한 채터링을 유발했다. $\phi = 0.001$ 인 sat() 함수를 사용하면 100 Hz sat() 베이스라인과 유사한 수준으로 성능이 회복되었다.
25 Hz 및 10 Hz: 적분 알고리즘이 발산하여 이 속도들은 부적합한 것으로 판명되었다.

의의 및 주장

본 논문은 높은 샘플링 레이트를 확보하기 어려운 실제 하드웨어 제약 환경에서 SMD를 구현하기 위한 구체적인 경험적 지침을 제공한다고 주장한다. 주요 기여는 다음과 같다:

낮은 샘플링 레이트에서의 정확도 회복: 본 연구는 Ghanes의 방법과 Basin의 방법(50 Hz의 경우)에서, 샘플링 레이트가 100 Hz에서 50 Hz로 떨어짐에 따라 발생하는 심각한 정확도 저하와 채터링을 작은 경계층 두께( $\phi = 0.001$ )를 가진 불연속 sign() 함수 대신 포화 함수 sat()로 대체함으로써 완화할 수 있음을 입증한다.
샘플링 레이트 한계: 본 연구는 이러한 알고리즘들의 실질적인 하한선을 설정한다. 50 Hz는 특정 튜닝을 통해 실행 가능하지만, 25 Hz와 10 Hz는 테스트된 구성에서 미분 정확도를 달성하기에 너무 낮은 것으로 확인되었으며, 이 속도에서 적분 알고리즘이 발산하였다.
알고리즘별 튜닝:
- Ghanes의 방법: 25 Hz에서 100 Hz 사이의 레이트에서는 $\phi = 0.001$ 인 sat()와 함께 비선형 모드( $\alpha = 0.5$ )를 사용하는 것이 가장 좋다.
- Basin의 방법: 100 Hz에서는 sign() 함수를 사용하는 것이 가장 좋다. 만약 100 Hz를 사용할 수 없다면, $\phi = 0.001$ 인 sat() 함수를 사용하는 조건 하에서만 50 Hz가 실행 가능하다.
차수 선택: 3차 Basin 방법은 2차 버전보다 현저히 높은 오버슈트를 보인다. 저자들은 속도 추정만을 필요로 하는 경우 2차 방법을 사용하고, 가속도 추정이 엄격히 필요한 경우에만 3차 방법을 사용할 것을 권장한다.

저자들은 본 연구의 결과가 테스트된 서보모터 설정 및 알고리즘 파라미터에 특화되어 있음을 강조하며, 추가 검증 없이 모든 시스템에 보편적으로 적용될 수 있다고 주장하지 않는 신중한 태도를 유지한다.