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Experiments with Higher Order Sliding Mode Differentiators: Practical Considerations

本研究通过在伺服电机上对高阶滑模微分器进行实证评估，旨在证明利用饱和函数替代不连续的符号函数可以缓解由低采样率引起的稳定性与精度下降问题，从而为硬件受限的应用场景提供实际的实施指南。

原作者： Jessica Hamer, Farbod Fahimi

发布于 2026-09-01

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原作者： Jessica Hamer, Farbod Fahimi

原始论文采用 CC BY 4.0 许可（https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/）。 ✨ 这是对下方论文的AI生成解释。它不是由作者撰写或认可的。如需技术准确性，请参阅原始论文。阅读完整免责声明

在机器人技术和自动化机械领域，机器不仅需要知道它们在哪里，还需要知道它们移动得有多快以及速度变化的快慢。这些信息对于保持机械臂稳定或让无人机悬停在原处至关重要。然而，向机器传递位置信息的传感器通常存在噪声，会传回跳跃且不完美的信号。为了从这些抖动的位移数据中获取速度和加速度，工程师们使用了一种被称为“微分器”的数学工具。可以将这些工具想象成一种平滑噪声并计算变化率的方法。几十年来，一类被称为“滑模微分器”的流行工具系列因其在计算机仿真中能够穿透噪声并几乎瞬间提供精确答案的能力而备受赞誉。然而，这些仿真通常是在一个完美、连续的世界中运行的，在那里数据流传输没有中断。

现实世界并不如此平滑。真实的机器运行在数字计算机上，这些计算机以固定的、通常较慢的间隔对数据进行采样。当这些理想的数学工具被迫在具有有限速度的真实硬件上运行时，结果可能是灾难性的。这种在理论上使其具有鲁棒性的特性——即在不同状态之间进行尖锐、瞬间的切换——可能会演变成一种被称为“颤振”（chattering）的剧烈抖动。这种抖动会破坏速度估计的准确性，使机器的控制系统失效。这种模拟中的完美世界与物理传感器所呈现的混乱现实之间的差距，正是研究人员杰西卡·哈默（Jessica Hamer）和法博德·法希米（Farbot Fahimi）致力于解决的核心问题。他们想要找出哪些数学设置在时钟走得较慢时仍然有效，而哪些仅仅是快速计算机创造出的幻象。

为了寻找真相，研究人员使用了一个标准的伺服电机构建了一个测试平台，这是一种在机器人技术中常用的电动马达。他们将该电机连接到一个小型计算机板上，并对其进行了精确步进的编程。电机的位置由传感器测量，研究人员将这些原始数据输入到三种不同的旨在估计电机速度的数学算法中。他们在多种条件下测试了这些算法，特别是改变了计算机采集电机位置位置的频率。他们在每秒 100 次、50 次、25 次和 10 次的采样率下进行了测试，这一范围涵盖了从高性能工业机器人到较慢、受限的嵌入式系统的一切情况。

研究人员还测试了算法做出决策的两种不同方式。第一种是尖锐的、不连续的切换，它会在一个值和另一个值之间瞬间跳转，就像开关被反复拨动一样。第二种是更平滑的方法，它允许一个微小的、渐进的过渡带，从而软化了跳跃感。通过将这些不同的切换风格与不同的采样速度相结合，他们创建了一个包含 16 种不同场景的矩阵，以观察哪种组合能在从理论向实践的过渡中幸存下来。他们通过将估计速度与电机的已知理论速度进行比较来衡量结果，主要观察两个方面：估计值围绕真实值的波动程度，以及平均估计值偏离真实值的程度。

结果揭示了理论与现实之间的鲜明分歧。当计算机以每秒 100 次的高速采样电机位置时，测试的两种算法中的一种采用了尖锐的不连续切换方法，表现得非常出色。它提供了快速、准确的速度估计，且噪声极小。然而，随着采样率降低，这种尖锐的切换方法开始失效。在每秒 50 次和 25 次采样时，估计变得不稳定且不可靠，误差显著增加。在每秒 10 次的最慢速率下，尖锐切换方法彻底崩溃，产生的估计值极其不准确，无法用于任何实际的控制任务。

研究人员发现，解决方案是用平滑的过渡带取代尖锐的开关，但前提是必须正确调整该过渡带的大小。当采样率降至每秒 50 次或 25 次时，通过切换到具有极薄过渡带的平滑方法，可以将准确度恢复到接近高速测试时的水平。这是一个关键的发现：这意味着工程师可以在不牺牲性能的前提下，在更慢、更便宜或性能较低的硬件上运行这些强大的算法，只要调整好平滑参数即可。然而，这种修复是有极限的。在每秒 10 次的最低速度下，即使是最平滑的过渡也无法挽救算法；数据到达得太慢，导致数学运算无法跟上，估计结果依然很差。

研究还比较了两类不同的算法。其中一类被称为 Ghanes 方法，它提供了一种灵活的设计，可以在不同的操作模式之间切换。研究人员发现，虽然该方法的一种模式在高速度下表现良好，但其完全线性的版本在所有测试速度下都无法提供可行的方案。另一类基于 Basin 研究的方法则包含了二阶和三阶版本。二阶版本（用于估计速度）在高速度下表现良好，但在低速下除非应用平滑技术，否则会表现挣扎。三阶版本（试图同时估计加速度）表现出明显超过目标速度的倾向，这使得它在需要快速速度变化的场景中不太适用，除非严格要求进行加速度估计。

最终，这篇论文为构建现实世界的工程师提供了一套清晰的指南。它证实了教科书中常见的快速、尖锐切换方法并不总是物理硬件上的最佳选择。相反，研究表明，对于在中等速度下运行的系统，通过精心调优的平滑技术可以挽救性能，即使在计算机无法快速采样数据的情况下，也能实现准确的速度估计。然而，存在一个硬性底线：如果采样率降得过低，任何数学上的微调都无法找回丢失的准确性。这项工作提供了一份实用的地图，展示了控制工程中的理论工具在何处可以安全部署，又在何处会跌倒，从而确保下一代机器人和机器能够依靠其传感器实现平稳运行。

技术摘要：高阶滑模微分器实验研究

问题陈述

滑动模态微分器（SMD）的数值模拟通常依赖于理想化的连续时间条件，利用变步长积分和超高采样率（千赫兹量级）。这些条件掩盖了离散时间实现中固有的关键实际挑战，例如固定积分步长、低传感器采样率以及严重的数值抖振。因此，标准的非连续切换函数（如 sign()）在模拟中表现完美，但在采样频率可能降至 10–100 Hz 的现实硬件应用中，往往会出现性能下降或失效的情况。目前缺乏关于在这些硬件受限条件下选择可行 SMD 配置的经验性指导原则，特别是在采样率与切换函数选择（非连续 sign() 与连续边界层 sat()）之间的权衡方面。

研究方法

本研究通过使用伺服电机的实时位置测量数据，对三种微分算法进行实证评估。实验平台由树莓派 4（Raspberry Pi 4）、MyActuator X-6 伺服电机以及基于 ROS2 的分布式控制系统组成。研究测试了不同采样频率（10 Hz、25 Hz、50 Hz 和 100 Hz）及切换函数配置下的算法表现。

实现的算法：

Ghanes 混合算法： 一种结合了超螺旋行为与线性观测器鲁棒性的二阶微分器。研究简化了原始公式，跳过了自适应高通滤波器，并将指数 $\alpha$ 固定为 0.5（超螺旋模式）或 1.0（线性模式）。
Basin 高阶滑模（HOSM）微分器： 基于固定时间收敛公式，以两种配置实现：
- 二阶 ( $n=2$ )： 估计位置和速度。
- 三阶 ( $n=3$ )： 估计位置、速度和加速度。

实验设计：

积分： 使用五阶 Adams-Bashforth 方法进行固定步长数值积分。
切换函数： 将非连续 sign() 函数与具有不同边界层厚度（ $\phi = 0.001, 0.05, 0.1$ ）的连续饱和函数 sat(s, φ) 进行对比。
指标： 通过均方误差（MSE）、标准差（STD，用于衡量抖振）以及平均值偏差来量化性能。分析重点在于初始瞬态上升后的稳态速度估计。
范围： 总共进行了 64 组试验（4 种算法 $\times$ 16 种测试场景）。

关键结果

1. Ghanes 方法

非线性模式 ( $\alpha = 0.5$ )：
- 在 100 Hz 下，sign() 函数提供了快速收敛，但存在抖振。将 sign() 替换为在小边界层（ $\phi = 0.001$ ）下的 sat() 函数，可以在不牺牲精度的前提下显著降低抖振（STD）和 MSE。较大的 $\phi$ 值会增加上升时间和误差。
- 在 50 Hz 和 25 Hz 下，与 100 Hz 基准相比，sign() 函数导致精度严重下降且抖振增加。然而，切换到 $\phi = 0.001$ 的 sat() 函数后，其性能恢复到了与 100 Hz sat() 情况几乎一致的水平。
- 在 10 Hz 下，性能崩溃。即使是使用 $\phi = 0.001$ 的 sat() 函数也无法减轻抖振或维持精度，使得 10 Hz 对于该方法而言是不切实际的。
线性模式 ( $\alpha = 1.0$ )： 该配置在所有采样率和切换函数下均产生不利结果，无法提供可行的解决方案。

2. Basin 二阶方法

100 Hz： sign() 函数产生的抖振极小。引入边界层（ $\phi = 0.001$ ）虽略微改善了 STD，但由于过冲问题导致 MSE 恶化。较大的 $\phi$ 值会显著降低性能。作者得出结论：不建议在 100 Hz 时使用边界层。
50 Hz： sign() 函数导致明显的抖振和较差的结果。然而，使用 $\phi = 0.001$ 的 sat() 函数可以将性能恢复到与 100 Hz sat() 基准相当的水平。
25 Hz 和 10 Hz： 积分算法在这些速率下发生发散，证明这些速率对于该方法而言过低。

3. Basin 三阶方法

100 Hz： sign() 函数表现出明显的过冲，但抖振极小。添加边界层（ $\phi = 0.001$ ）会增加过冲并使 STD 和 MSE 同时恶化。较大的 $\phi$ 值会导致显著的波动。作者建议在 100 Hz 时不要使用边界层。
50 Hz： 与二阶情况类似，sign() 函数会导致极端的抖振。使用 $\phi = 0.001$ 的 sat() 函数可将性能恢复到与 100 Hz sat() 基准相当的水平。
25 Hz 和 10 Hz： 积分算法发生发散，使得这些速率变得不切实际。

意义与主张

本文声称为在无法实现高采样率的现实硬件受限应用中实现 SMD 提供了具体的经验指导原则。主要贡献如下：

恢复较低采样率下的精度： 研究表明，对于 Ghanes 方法和 Basin 方法（在 50 Hz 时），通过将非连续 sign() 函数替换为具有小边界层厚度（ $\phi = 0.001$ ）的饱和函数 sat()，可以缓解因采样率从 100 Hz 降至 50 Hz 而导致的严重精度下降和抖振。
采样率限制： 本工作确定了这些算法的实际下限。虽然 50 Hz 在特定调优下是可行的，但 25 Hz 和 10 Hz 被确定为过低，因为在这些速率下集成算法会发散，无法实现所测试配置下的导数精度。
针对特定算法的调优：
- Ghanes 方法： 在 25 Hz 至 100 Hz 频率范围内，最佳方案是采用非线性模式（ $\alpha=0.5$ ）配合 $\phi=0.01$ 的 sat() 函数。
- Basin 方法： 在 100 Hz 时，最佳方案是使用 sign() 函数。如果无法达到 100 Hz，则仅在配合使用 $\phi=0.001$ 的 sat() 函数时，50 Hz 才是可行的。
阶数选择： Basin 三阶方法比二阶版本表现出显著更高的过冲。作者建议：如果仅需要速度估计，应优先使用二阶方法；只有在必须进行加速度估计的情况下，才保留三阶方法。

作者保持了谦逊的语气，强调这些发现是针对所测试的伺服电机设置和算法参数而言，并不声称在未经进一步验证的情况下具有普适性。