Estimation of Neutrosophic Population Mean Incorporating Auxiliary Information under Simple Random Sampling

기술 요약: 단순 무작위 추출 하에서 보조 정보를 포함한 뉴트로소픽 모집단 평균의 추정

문제 정의
모집단 평균을 추정하기 위한 전통적인 통계적 방법들은 정확하고 명확한 데이터에 의존한다. 그러나 현실 세계의 데이터는 종종 불확실성, 모호함, 양의성 또는 부정성(예: 기상 예보, 경제 성장 모니터링, 온도 측정 등)을 포함한다. 퍼지 논리(Fuzzy logic)는 불정밀성을 다루지만, 부정성(Indeterminacy)을 명시적으로 모델링하지는 못한다. 스마란디(Smarandache, 2014)가 도입한 뉴트로소픽 통계학은 클래식 통계학의 확장으로서, 관측치가 결정론적 성분과 부정론적 성분을 모두 포함할 수 있도록 허용함으로써 이 간극을 메운다. 뉴트로소픽 통계학의 잠재력에도 불구하고, 모집단 파라미터를 추정하기 위한 샘플링 이론에서의 적용은 클래식 방법론에 비해 여전히 미개척 영역으로 남아 있다. 기존의 추정량들은 부정론적 데이터에 적용될 때 편향(Bias)이나 최적화되지 않은 효율성 문제를 겪는 경우가 많다. 본 연구는 편향과 평균 제곱 오차(MSE)를 줄이면서 보조 정보를 통합하여 뉴트로소픽 모집단 평균을 추정하는 추정량의 필요성을 다룬다.

방법론
본 연구는 뉴트로소픽 환경 내에서 단순 무작위 추출 없는 추출(SRSWOR) 프레임워크 하에서 수행된다. 저자들은 뉴트로소픽 변수(연구 변수 $Y_N$ 및 보조 변수 $X_N$)를 부정성을 나타내기 위해 구간 $[L, U]$로 정의한다.

1. 제안된 추정량 공식:
   저자들은 새로운 클래스의 "거의 불편(almost unbiased)" 뉴트로소픽 추정량($t_N^*$)을 제안한다. 이 추정량은 세 가지 구성 요소의 선형 결합으로 구축된다:

• 표준 뉴트로소픽 표본 평균($\bar{y}_N$).
• 보조 파라미터($a_N, b_N$)와 상수($K_{1N}, K_{2N}$)를 포함하는 수정된 비율형 지수 추정량.
• 상수($K_{3N}$)를 포함하는 로그 비율형 추정량.

일반적인 형태는 다음과 같다:
$$t_N^* = l_{0N}\bar{y}_N + l_{1N}\bar{y}_N \left(\frac{a_N\bar{X}_N + b_N}{a_N\bar{x}_N + b_N}\right)^{K_{1N}} \exp\left(K_{2N}\left[\frac{(a_N\bar{X}_N + b_N) - (a_N\bar{x}_N + b_N)}{(a_N\bar{X}_N + b_N) + (a_N\bar{x}_N + b_N)}\right]\right) + l_{2N}\bar{y}_N\left(1 + \log\left(\frac{\bar{x}_N}{\bar{X}_N}\right)^{K_{3N}}\right)$$
여기서 $l_{0N}, l_{1N}, l_{2N}$은 편향과 MSE를 최소화하기 위해 결정되는 통계적 상수이다.

2. 이론적 유도:
   1차 근사(First-order approximations)를 사용하여, 저자들은 제안된 추정량의 편향(Bias)과 MSE를 유도한다.

• 편향(Bias): 이 추정량은 "거의 불편"하도록 설계되었으며, 이는 1차 편향이 매우 작음을 의미한다. 저자들은 1차 편향 항을 제거하기 위해 선형 제약 조건($\sum l_{iN} \text{Bias}(t_{iN}^*) = 0$)을 적용한다.
• MSE: MSE는 결합 상수 $l_N$의 최적값에 대해 유도되고 최소화된다. 최소 MSE는 뉴트로소픽 맥락에서의 전통적인 선형 회귀 추정량과 동일함을 보여준다: $MSE_{min}(t_N^*) = f_N \bar{Y}_N^2 C_{yN}^2 (1 - \rho_{yxN}^2)$.

3. 변형 모델:
   본 논문은 상수 $a_N, b_N, K_{1N}, K_{2N}, K_{3N}$을 조정함으로써 제안된 추정량이 다양한 기존 뉴트로소픽 추정량(비율, 곱, 지수 비율, 지수 곱, 그리고 변동 계수 및 첨도를 사용하는 모델들)을 특수 사례로서 포괄함을 입증한다.

주요 기여

• 새로운 추정량: 불확실성 하에서 모집단 평균을 추정하기 위해 보조 정보(평균, 변동 계수, 상관계수 및 첨도)를 통합하는 일반화된 거의 불편 뉴트로소픽 추정량을 개발하였다.
• 이론적 프레임워크: 1차 근사 하에서 제안된 추정량의 편향과 MSE에 대한 수학적 유도를 수행하여, 기존 방법론 대비 효율성을 증명하였다.
• 포괄적 평가: 연구는 다음 두 가지 구별된 접근 방식을 통해 이론적 발견을 검증한다:
  • 실증 연구: 부정성을 가진 4가지 실제 데이터셋(NVIDIA 주가, ServiceNow 주가, 계절적 기온 기록, 자연 성장률)을 분석하였다.
  • 시뮬레이션 연구: 정규 분포, 감마 분포, 로그 정규 분포를 대상으로 10,000회의 반복 시행을 포함하는 강력한 시뮬레이션을 통해, 대칭적 및 왜도(skewed)가 있는 모집단 구조에서의 성능을 테스트하였다(표본 크기 $n=100, 200, 300$).

결과
제안된 추정량($t_N^*$)의 성능을 MSE와 백분율 상대 효율(PRE)을 사용하여 13개의 기존 뉴트로소픽 추정량($t_{1N}$ ~ $t_{13N}$)과 비교하였다.

• 실증적 결과: 4가지 실제 데이터셋 전체에서 제안된 추정량은 일관되게 가장 낮은 MSE와 가장 높은 PRE를 나타냈다.
  • 데이터셋 1 (NVDA): 기존 범위인 $[1710, 1808]$ 대비 MSE 범위 $[94.39, 105.88]$; PRE 범위 $[547, 558]$.
  • 데이터셋 4 (성장률): 기존 범위인 $[2.70, 8.15]$ 대비 MSE 범위 $[0.06, 0.22]$; PRE 범위 $[1230, 1462]$.
• 시뮬레이션 결과: 정규, 감마, 로그 정규 분포 하에서 제안된 추정량은 우수한 효율성을 유지하였다.
  • 로그 정규 모집단(고도의 왜도 발생)에서 제안된 추정량은 경쟁 모델들을 크게 압도하며 최대 $248.86$의 PRE 값을 달성하였다.
  • 이 추정량은 다양한 표본 크기와 분포 형태에 대해 강건성을 입증하였으며, 일관되게 뉴트로소픽 MSE 구간을 최소화하였다.

의의 및 주장
본 논문은 제안된 추정량이 데이터가 불분명하거나, 모호하거나, 양적이거나, 부정적일 때도 유한 모집단 평균을 추정하기 위해 보조 정보를 효과적으로 활용한다고 주장한다. 저자들의 주장은 다음과 같다:

1. 제안된 추정량은 1차 편향이 무시할 수 있는 수준인 거의 불편(almost unbiased) 추정량이다.
2. MSE와 PRE 측면에서 전통적 및 기존 뉴로소픽 추정량보다 우수한 성능을 제공한다.
3. 뉴트로소픽 프레임워크는 환경 모니터링, 예측, 복잡한 시스템 평가와 같이 불확실성이 수반되는 분야에 특히 유리하다.

본 연구는 제안된 방법이 부정성(indeterminacy)이 존재하는 상황에서 통계적 분석을 위한 더 유연하고 정확한 접근 방식을 제공하며, 현재의 뉴트로소픽 샘플링 이론 문헌의 공백을 메운다고 결론짓는다.