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Estimation of Neutrosophic Population Mean Incorporating Auxiliary Information under Simple Random Sampling

Cet article propose et valide un estimateur neutrosophique presque non biaisé de la moyenne de population qui incorpore des informations auxiliaires afin d'obtenir une erreur quadratique moyenne plus faible et une efficacité supérieure par rapport aux méthodes traditionnelles lorsqu'on traite des données ambiguës ou indéterminées.

Auteurs originaux : Singh Akansha Ravindrabahadur, Rajesh Singh

Publié 2026-10-05

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CC BY 4.0

Auteurs originaux : Singh Akansha Ravindrabahadur, Rajesh Singh

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Dans le monde de la statistique, les chercheurs tentent souvent de deviner la valeur moyenne de quelque chose à travers un groupe entier, comme le revenu moyen d'une ville ou la température moyenne d'une région. Pour rendre ces suppositions plus précises, ils utilisent souvent des « informations auxiliaires », qui sont simplement une seconde donnée connue pour être liée à la première. Par exemple, si vous voulez estimer le nombre total d'arbres dans une forêt, vous pourriez utiliser la superficie connue de la forêt comme aide, car les surfaces plus grandes contiennent généralement plus d'arbres. Les méthodes traditionnelles fonctionnent bien lorsque les données sont claires et exactes. Cependant, le monde réel est souvent désordonné. Les mesures peuvent être vagues, incomplètes ou incertaines. Une lecture de température pourrait être « entre 20 et 22 degrés » parce que le capteur est imprécis, ou une réponse à un sondage peut être ambiguë. Les outils statistiques standards ont du mal avec ce genre de flou, produisant souvent des estimations biaisées ou peu fiables. Pour gérer cela, les scientifiques ont développé une branche des mathématiques appelée la statistique neutrosophique, qui est conçue spécifiquement pour travailler avec des données contenant de l'incertitude et de l'indétermination, en traitant les parties inconnues comme une partie naturelle du calcul plutôt que comme une erreur à ignorer.

Une équipe de chercheurs de l'Université de Banaras Hindu et de l'Université de Symbiosis International a récemment relevé le défi d'estimer les moyennes de population lorsque les données sont incertaines et qu'une information utile et liée est disponible. Ils ont entrepris de créer un nouvel outil mathématique, ou estimateur, qui pourrait mieux naviguer dans cette ambiguïté que les méthodes existantes. Leur objectif était de construire un système qui utilise des informations incertaines connues sur une variable liée pour améliorer la supposition d'une moyenne inconnue, même lorsque les chiffres eux-mêmes ne sont pas précis. Les chercheurs ont proposé un nouvel estimateur « presque sans biais ». En termes simples, cela signifie que leur méthode est conçue pour être extrêmement proche de la réponse réelle, avec une quantité de l'erreur systématique très petite, presque négligeable. Ils ont construit ce nouvel outil en combinant différentes approches mathématiques, incluant des méthodes de ratio et des ajustements exponentiels, mais en les adaptant pour fonctionner dans le cadre neutrosophique où les valeurs sont exprimées sous forme de plages plutôt que de points uniques.

Pour tester si leur nouvel outil fonctionnait réellement, les chercheurs l'ont soumis à deux essais rigoureux. D'abord, ils l'ont appliqué à quatre ensembles de données réels où l'incertitude était présente. Ceux-ci comprenaient les prix boursiers quotidiens de grandes entreprises technologiques comme NVIDIA et ServiceNow, des enregistrements historiques de température s'étendant sur plus d'un siècle, et des données démographiques concernant les taux de croissance naturelle dans diverses régions. Dans chaque cas, le nouvel estimateur a surpassé les méthodes traditionnelles. Pour les données boursières de NVIDIA, la nouvelle méthode a réduit l'erreur d'estimation de manière significative, atteignant un niveau d'efficacité plus de cinq fois supérieur à l'approche standard. De même, pour les enregistrements de température, le nouvel outil était presque deux fois plus efficace que la méthode suivante. Les chercheurs ont mesuré ce succès à l'aide d'une métrique appelée efficacité relative en pourcentage, qui compare à quel point une méthode est meilleure qu'une autre ; leur nouvel estimateur a systématiquement obtenu le score le plus élevé, prouvant qu'il pouvait extraire des informations plus précises à partir des mêmes données désordonnées.

L'équipe ne s'est pas arrêtée aux données réelles ; elle a également lancé une simulation informatique massive pour voir comment l'outil se comporterait sous différentes conditions. Ils ont généré des milliers de jeux de données artificiels imitant trois types différents de distributions réelles : certains étaient parfaitement équilibrés et symétriques, et d'autres étaient asymétriques ou disproportionnés, ce qui est courant dans les phénomènes naturels. Ils ont testé des tailles d'échantillons allant de petits groupes à de grandes populations. À travers tous ces scénarios simulés, le nouvel estimateur a continué à démontrer une performance supérieure. Il a systématiquement produit des erreurs plus faibles et une efficacité plus élevée par rapport aux méthodes établies, que les données sous-jacentes soient normales, asymétriques ou suivaient un motif logarithmique spécifique. Les simulations ont confirmé que l'outil est robuste, ce qui signifie qu'il tient bon même lorsque les données se comportent de manière inattendue.

Les conclusions suggèrent que lorsqu'on traite des données qui sont vagues, ambiguës ou incomplètes, s'appuyer sur les méthodes statistiques traditionnelles peut conduire à des conclusions moins précises. Les chercheurs ont découvert qu'en reconnaissant explicitement et en modélisant mathématiquement l'incertitude au sein des données, plutôt qu'en essayant de les forcer dans des nombres exacts, ils pouvaient dériver une image beaucoup plus claire de la moyenne de la population. Leurs travaux indiquent que cette nouvelle approche est particulièrement précieuse dans des domaines où la précision est difficile à atteindre, tels que la surveillance environnementale, les prévisions économiques et les évaluations de systèmes complexes. En utilisant ce nouvel estimateur presque sans biais, les analystes peuvent prendre des décisions plus fiables même lorsque l'information dont ils disposent n'est pas parfaitement claire, transformant l'incertitude inhérente du monde réel en une partie gérable du calcul plutôt qu'en une barrière à la précision.

Résumé Technique : Estimation de la moyenne de population neutrosophique intégrant des informations auxiliaires sous échantillonnage aléatoire simple

Énoncé du problème
Les méthodes statistiques traditionnelles pour estimer les moyennes de population reposent sur des données exactes et nettes. Cependant, les données du monde réel contiennent souvent de l'incertitude, du vague, de l'ambiguïté ou de l'indétermination (par exemple, les prévisions météorologiques, le suivi de la croissance économique ou les mesures de température). Si la logique floue traite l'imprécision, elle ne modélise pas explicitement l'indétermination. Les statistiques neutrosophiques, une extension des statistiques classiques introduite par Smarandache (2014), comblent cette lacune en permettant aux observations de contenir à la fois des composantes déterminées et indéterminées. Malgré le potentiel des statistiques neutrosophiques, leur application dans la théorie de l'échantillonnage pour estimer les paramètres de population reste moins explorée que les méthodes classiques. Les estimateurs existants souffrent souvent de biais ou d'une efficacité sous-optimale lorsqu'ils sont appliqués à des données indéterminées. Cette recherche répond au besoin d'un estimateur qui intègre des informations auxiliaires pour estimer la moyenne de population neutrosophique avec un biais et une erreur quadratique moyenne (MSE) réduits.

Méthodologie
L'étude opère dans le cadre d'un échantillonnage aléatoire simple sans remise (SRSWOR) au sein d'un environnement neutrosophique. Les auteurs définissent les variables neutrosophiques (variable d'étude $Y_N$ et variable auxiliaire $X_N$ ) comme des intervalles $[L, U]$ pour représenter l'indétermination.

Formulation de l'estimateur proposé :
Les auteurs proposent une nouvelle classe d'estimateurs neutrosophiques « presque sans biais » ( $t_N^*$ ). Cet estimateur est construit comme une combinaison linéaire de trois composantes :
- La moyenne de l'échantillon neutrosophique standard ( $\bar{y}_N$ ).
- Un estimateur exponentiel de type ratio modifié impliquant des paramètres auxiliaires ( $a_N, b_N$ ) et des constantes ( $K_{1N}, K_{2N}$ ).
- Un estimateur de type ratio logarithmique impliquant une constante ( $K_{3N}$ ).
La forme générale est :
$t_N^* = l_{0N}\bar{y}_N + l_{1N}\bar{y}_N \left(\frac{a_N\bar{X}_N + b_N}{a_N\bar{x}_N + b_N}\right)^{K_{1N}} \exp\left(K_{2N}\left[\frac{(a_N\bar{X}_N + b_N) - (a_N\bar{x}_N + b_N)}{(a_N\bar{X}_N + b_N) + (a_N\bar{x}_N + b_N)}\right]\right) + l_{2N}\bar{y}_N\left(1 + \log\left(\frac{\bar{x}_N}{\bar{X}_N}\right)^{K_{3N}}\right)$
où $l_{0N}, l_{1N}, l_{2N}$ sont des constantes statistiques déterminées pour minimiser le biais et la MSE.
Dérivation théorique :
En utilisant des approximations de premier ordre, les auteurs dérivent les expressions du biais et de la MSE de l'estimateur proposé.
- Biais : L'estimateur est conçu pour être « presque sans biais », ce qui signifie que son biais de premier ordre est extrêmement faible. Les auteurs appliquent une contrainte linéaire ( $\sum l_{iN} \text{Biais}(t_{iN}^*) = 0$ ) pour éliminer le terme de biais de premier ordre.
- MSE : La MSE est dérivée et minimisée par rapport à la valeur optimale de la constante combinée $l_N$ . La MSE minimale est montrée comme étant équivalente à celle de l'estimateur de régression linéaire traditionnel dans le contexte neutrosophique : $MSE_{min}(t_N^*) = f_N \bar{Y}_N^2 C_{yN}^2 (1 - \rho_{yxN}^2)$ .
Variantes :
L'article démontre que l'estimateur proposé englobe divers estimateurs neutrosophiques existants (ratio, produit, ratio exponentiel, produit exponentiel, ainsi que ceux utilisant les coefficients de variation et le kurtosis) en tant que cas particuliers en ajustant les constantes $a_N, b_N, K_{1N}, K_{2N}, K_{3N}$ .

Principales contributions

Nouvel estimateur : Développement d'un estimateur neutrosophique généralisé, presque sans biais, qui intègre des informations auxiliaires (moyennes, coefficients de variation, corrélation et kurtosis) pour estimer la moyenne de la population sous incertitude.
Cadre théorique : Dérivation mathématique du biais et de la MSE de l'estimateur proposé sous approximation de premier ordre, prouvant son efficacité par rapport aux méthodes existantes.
Évaluation complète : L'étude valide les conclusions théoriques par deux approches distinctes :
- Étude empirique : Analyse de quatre ensembles de données réels présentant de l'indétermination : les cours de l'action NVIDIA, les cours de l'action ServiceNow, les enregistrements de température saisonnière et les taux de croissance naturelle.
- Étude de simulation : Une simulation robuste impliquant 10 000 réplications à travers des distributions Normale, Gamma et Lognormale avec des tailles d'échantillon variables ( $n=100, 200, 300$ ) pour tester les performances sous des structures de population symétriques et asymétriques.

Résultats
La performance de l'estimateur proposé ( $t_N^*$ ) a été comparée à 13 estimateurs neutrosophiques existants ( $t_{1N}$ à $t_{13N}$ ) en utilisant l'erreur quadratique moyenne (MSE) et l'efficacité relative en pourcentage (PRE).

Résultats empiriques : Sur les quatre ensembles de données réels, l'estimateur proposé a systématiquement produit la MSE la plus faible et la PRE la plus élevée.
- Jeu de données 1 (NVDA) : Plage de MSE $[94,39, 105,88]$ contre des plages existantes allant jusqu'à $[1710, 1808]$ ; PRE $[547, 558]$ .
- Jeu de données 4 (Taux de croissance) : Plage de MSE $[0,06, 0,22]$ contre des plages existantes allant jusqu'à $[2,70, 8,15]$ ; PRE $[1230, 1462]$ .
Résultats de simulation : Sous les distributions Normale, Gamma et Lognormale, l'estimateur proposé a maintenu une efficacité supérieure.
- Dans la population Lognormale (fortement asymétrique), l'estimateur proposé a atteint des valeurs de PRE allant jusqu'à $248,86$, surpassant nettement ses concurrents.
- L'estimateur a démontré sa robustesse à travers différentes tailles d'échantillon et formes de distribution, minimisant systématiquement l'intervalle de la MSE neutrosophique.

Signification et affirmations
L'article affirme que l'estimateur proposé utilise efficacement les informations auxiliaires pour estimer la moyenne de la population finie même lorsque les données sont peu claires, vagues, ambiguës ou indéterminées. Les auteurs affirment que :

L'estimateur est presque sans biais avec un biais de premier ordre négligeable.
Il offre une performance supérieure par rapport aux estimateurs traditionnels et neutrosophiques existants en termes de MSE et de PRE.
Le cadre neutrosophique est particulièrement avantageux pour les domaines impliquant l'incertitude, tels que la surveillance environnementale, les prévisions et l'évaluation de systèmes complexes.

L'étude conclut que la méthode proposée offre une approche plus flexible et précise pour l'analyse statistique en présence d'indétermination, comblant ainsi une lacune dans la littérature actuelle sur la théorie de l'échantillonnage neutrosophique.

Résumé Technique : Estimation de la moyenne de population neutrosophique intégrant des informations auxiliaires sous échantillonnage aléatoire simple

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