On general divisor functions over Piatetski-Shapiro sequences

Titel: Over algemene delerfuncties over Piatetski-Shapiro-rijen

Auteur: Wei Zhang (Universiteit van Henan, China)

---

1. Probleemstelling en Achtergrond

Het artikel richt zich op de analyse van Piatetski-Shapiro-rijen, gedefinieerd als de rij van gehele getallen $[n^c]$ waarbij $n$ doorloopt over de natuurlijke getallen en $c > 1$ een reële parameter is. De fundamentele vraag in dit domein is het tellen van priemgetallen of het bestuderen van de verdeling van arithmetische functies binnen deze rijen.

Historisch gezien is bewezen dat er voor $c \in (1, 12/11)$ oneindig veel priemgetallen van de vorm $[n^c]$ bestaan. De bereik van $c$ is door de jaren heen uitgebreid (tot $c < 2817/2425$ voor priemgetallen). Echter, de meeste bestaande resultaten over delerfuncties (zoals $\tau_k(n)$, het aantal manieren om $n$ te schrijven als een product van $k$ natuurlijke getallen) over deze rijen zijn beperkt tot specifieke gevallen of vereisen zeer diepe, gespecialiseerde resultaten (zoals die van Jutila) om een breed bereik voor $c$ te bereiken.

De kernproblematiek in dit artikel is het uitbreiden van de theorie naar algemene delerfuncties $f(n)$ over Piatetski-Shapiro-rijen, zonder uitsluitend afhankelijk te zijn van de specifieke diepe resultaten die nodig zijn voor de standaard delerfunctie $\tau(n)$. Het doel is om een uniforme asymptotische formule af te leiden voor een brede klasse van functies $f(n)$, waarbij het bereik van $c$ wordt uitgebreid tot $(1, 6/5)$.

2. Methodologie

De auteur hanteert een analytische benadering die gebaseerd is op de theorie van exponentiële sommen. De methode omvat de volgende stappen:

1. Omzetting naar Exponentiële Sommen:
   De som $\sum_{n \le x} f([n^c])$ wordt herschreven door gebruik te maken van de relatie $[n^c] = m \iff -m\gamma < n \le -(m+1)\gamma$ (met $\gamma = 1/c$). Dit leidt tot een hoofdbestanddeel (geïntegreerd via partiële summatie) en een foutterm die afhankelijk is van de fractie $t - [t]$.

2. Voorstelling van de Foutterm:
   De fractie $t - [t]$ wordt benaderd met behulp van de Vaughan-lemma (Lemma 2.1), waarbij de functie $\psi(t)$ wordt gesplitst in een trigonometrische polynoom $\psi^*(t)$ en een restterm $\delta(t)$. Dit maakt het mogelijk om de som te analyseren als exponentiële sommen.

3. Analyse van de Exponentiële Sommen:
   De kern van de bewijsvoering ligt in het schatten van drievoudige exponentiële sommen van de vorm:
   $$S \sim \sum e(h n_1^\gamma n_2^\gamma n_3^\gamma)$$
   Hiervoor worden geavanceerde schattingsmethoden gebruikt, waaronder:

   • Lemma 2.3: Een resultaat van Heath-Brown (uit [28]) voor drievoudige exponentiële sommen.
   • Lemma 2.4 & 2.5: Methoden voor het schatten van sommen via Cauchy-Schwarz en het optimaliseren van parameters (de "Weyl-shift" techniek).
   • Binary Additive Divisor Problem: Voor de analyse van de sommen wordt gebruikgemaakt van de asymptotische evaluatie van $D(x, q) = \sum \tau(n)\tau(n+q)$, gebaseerd op diepe resultaten van Jutila (Lemma 2.7).
   • Hecke-Maass Cusp Forms: Voor het geval van rijen in rekenkundige progressies wordt gebruikgemaakt van de Fourier-coëfficiënten van Hecke-Maass cusp forms (Lemma 2.8), waarbij de exponent $\alpha$ (waarvoor $\lambda_\nu(n) \ll n^\alpha$) een cruciale rol speelt.

4. Optimalisatie van Parameters:
   Door de parameters zorgvuldig te kiezen (zoals de lengte van de som $H$ en de verdeling in dyadische intervallen), wordt de foutterm geminimaliseerd om het gewenste bereik voor $c$ te bereiken.

3. Belangrijkste Resultaten

Hoofdstelling 1.1 (Algemene Delerfuncties)

Laat $f(n)$ een reële arithmetische functie zijn van de vorm:
$$f(n) = \sum_{n_1 n_2 = n} \tau(n_1) g(n_2)$$
met de voorwaarden $f(n) \ll n^\varepsilon$ en $\sum_{n \le x} |g(n)| \ll x^{5/8+\varepsilon}$.
Voor elke voldoende grote $x$ en vaste $c \in (1, 6/5)$ geldt:
$$\sum_{1 \le n \le x} f([n^c]) = \int_1^{x^c} \gamma u^{\gamma-1} d\left(\sum_{n \le u} f(n)\right) + O(x^{1-\varepsilon})$$
Dit resultaat generaliseert eerdere werken en bereikt het bereik $c < 6/5$ zonder uitsluitend afhankelijk te zijn van de diepe resultaten van Jutila voor de standaard delerfunctie, maar door een combinatie van drievoudige exponentiële sommen.

Corollarium 1.2 & 1.3 (Specifieke Toepassingen)

• $\tau_{(1,1,2,2)}(n)$: De som over getallen die producten zijn van de vorm $n_1 n_2 n_3^2 n_4^2$. De auteur leidt een asymptotische formule af met een hoofdterm $cB_1 x \log x$.
• $k$-vrije delerfunctie $\tau^{(k)}(n)$: Voor het aantal delers die $k$-vrij zijn. De asymptotische formule wordt afgeleid en bevat termen die afhankelijk zijn van de Riemann-zetfunctie $\zeta(s)$.

Corollarium 1.4 (Verbetering voor $\tau(n)$)

Voor de standaard delerfunctie $\tau(n)$ wordt een verbeterde asymptotische formule gegeven voor $c \in (1, 6/5)$:
$$\sum_{1 \le n \le x} \tau([n^c]) = cx \log x + (2\gamma_0 - c)x + O(x^{1-\varepsilon})$$
Dit verbetert eerdere resultaten van Arkhipov-Chubarikov en komt overeen met resultaten uit [32], maar wordt hier bewezen met een meer algemene methode.

Hoofdstelling 1.5 (Rekenkundige Progressies)

Het artikel breidt de resultaten uit naar sommen in rekenkundige progressies ($[n^c] \equiv a \pmod d$).
Voor functies $f(n)$ gerelateerd aan Hecke-Maass cusp forms (waarbij de Fourier-coëfficiënten $\lambda_\nu(n) \ll n^\alpha$), wordt bewezen dat voor $c \in (1, \frac{8+4\alpha}{7+4\alpha})$ een vergelijkbare asymptotische formule geldt.

• Specifiek voor $\tau(n)$ (waar $\alpha = 7/64$), wordt het bereik uitgebreid tot $c \in (1, 135/119)$.
• Dit resulteert in een analoog van het diepe resultaat van Selberg en Hooley over de gelijkverdeling van delers in rekenkundige progressies, maar toegepast op Piatetski-Shapiro-rijen.

4. Betekenis en Bijdrage

De bijdrage van dit artikel is significant voor de analytische getaltheorie om de volgende redenen:

1. Generalisatie: Het artikel verlaat het domein van specifieke delerfuncties ($\tau_k$) en biedt een raamwerk voor algemene delerfuncties die kunnen worden ontbonden in een convolutie van $\tau$ en een andere functie $g$. Dit maakt de theorie toepasbaar op een veel bredere klasse van problemen.
2. Verbetering van het Bereik voor $c$: Door een slimme combinatie van drievoudige exponentiële sommen en bestaande resultaten over de binary additive divisor problem, wordt het bereik van $c$ voor veel gevallen uitgebreid tot $(1, 6/5)$. Dit is een aanzienlijke verbetering ten opzichte van eerdere werken die vaak beperkt waren tot $c < 9/8$ of $c < 8/7$.
3. Unificatie van Methoden: De auteur toont aan dat men niet altijd de uiterst complexe diepe resultaten van Jutila nodig heeft voor de hoofdterm, maar dat deze resultaten (in de vorm van schattingen voor $D(x,q)$) kunnen worden ingezet voor de fouttermanalyse in een meer algemene context.
4. Rekenkundige Progressies: De uitbreiding naar rekenkundige progressies, inclusief de connectie met Hecke-Maass vormen, opent nieuwe wegen voor het bestuderen van de verdeling van priemgetallen en delers in Piatetski-Shapiro-rijen binnen specifieke restklassen.

Samenvattend biedt dit werk een krachtig en flexibel instrument voor het analyseren van de asymptotische gedrag van arithmetische functies over niet-lineaire rijen, en zet het een nieuwe standaard voor de nauwkeurigheid en generaliteit in dit onderzoeksgebied.