Midy's Theorem in non-integer bases and divisibility of Fibonacci numbers

Dit artikel onderzoekt de generalisatie van Midy's stelling naar niet-geheeltallige bases, zoals geïntroduceerd door Rényi, en karakteriseert specifiek voor de gulden snede welke priemnoemers aan deze eigenschap voldoen.

De kern

Stel je voor dat je een getal schrijft als een breuk, bijvoorbeeld 1/7. Als je dit in ons gewone decimale systeem (op basis van 10) omzet, krijg je een oneindig herhalend patroon: 0,142857142857...

Wiskundigen hebben al lang ontdekt dat er iets magisch gebeurt als je dit patroon in tweeën deelt. Als je de eerste helft (142) optelt bij de tweede helft (857), krijg je 999. Dit heet het Midy-theorema. Het is alsof de getallen een geheime code hebben die altijd oplost tot een rij negens.

De auteurs van dit artikel, Zuzana Masáková en Edita Pelantová, vragen zich af: Wat gebeurt er als we niet tellen op basis van 10, maar op basis van iets vreemds, zoals de 'Gouden Snede'?

Hier is een uitleg van hun ontdekkingen, vertaald naar alledaagse taal:

1. Het Verrekenen van een Vreemde Wereld

Onze wereld werkt op basis van 10 (10 vingers, 10 cijfers). Maar wiskundigen kunnen ook tellen op basis van andere getallen, bijvoorbeeld de Gouden Snede (ongeveer 1,618), een getal dat vaak voorkomt in de natuur (zoals in zonnebloemzaden of schelpen).

In deze 'Gouden Snede-wereld' zijn de cijfers alleen maar 0 en 1. Het is alsof je een taal spreekt die heel anders klinkt dan onze taal. Als je een breuk (zoals 3/7) in deze taal schrijft, krijg je ook een herhalend patroon, maar dan met alleen nullen en enen.

2. De Magische Som

De vraag was: Geldt het Midy-theorema ook hier? Als we het herhalende patroon in tweeën delen, tellen de twee helften dan op tot een 'perfect' getal in die wereld?

Het antwoord is ja, maar dan op een heel specifieke manier.

• In ons decimale systeem (basis 10) is het 'perfecte getal' een rij negens (999...).
• In de Gouden Snede-wereld is het 'perfecte getal' een rij van afwisselende nullen en enen (101010...).

De auteurs hebben bewezen dat dit fenomeen niet alleen toeval is, maar een diepe wiskundige wetmatigheid. Het is alsof je twee halve kaarten hebt die, als je ze samenvoegt, precies de vorm van een perfecte kaart vormen, ongeacht of je in basis 10 of basis 1,618 speelt.

3. De Sleutel: De Fibonacci-getallen

Hoe hebben ze dit ontdekt? Ze gebruikten een oude vertrouwde vriend: de Fibonacci-getallen (0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13...). Deze getallenreeks is direct verbonden met de Gouden Snede.

De auteurs ontdekten dat je kunt voorspellen of een breuk dit 'Midy-geheim' heeft door te kijken naar de delers van de Fibonacci-getallen.

• De regel: Als je een priemgetal (een getal dat alleen deelbaar is door 1 en zichzelf) kiest, kun je precies zeggen of het in de Gouden Snede-wereld dit magische gedrag vertoont.
• Het hangt af van hoe het getal zich verhoudt tot 5. Sommige priemgetallen (zoals 7, 3, 5) doen het, andere (zoals 11 of 29) niet.

Het is alsof de getallen een paspoort hebben. Als hun paspoortnummer (het priemgetal) voldoet aan een bepaalde code, mogen ze de 'Midy-club' binnen.

4. Waarom is dit interessant?

Je zou kunnen denken: "Wie heeft hier nou last van? Ik moet toch geen getallen in de Gouden Snede omrekenen."

Maar dit onderzoek is belangrijk om drie redenen:

1. Het verbreekt de regels: Het laat zien dat wiskundige patronen die we in ons dagelijks leven (basis 10) kennen, universeel zijn. Ze werken zelfs in vreemde, niet-hele getallen-systemen.
2. Het is een puzzel: Het verbindt twee grote gebieden van de wiskunde: de theorie van getallen (hoe getallen zich delen) en dynamische systemen (hoe getallen zich gedragen als je ze herhaaldelijk vermenigvuldigt).
3. Het is leuk: Net als het originele Midy-theorema, is dit een stukje wiskunde dat gewoon leuk is om te ontdekken. Het is een geheime code in de natuur van de getallen.

Samenvatting in één zin

De auteurs hebben ontdekt dat het magische 'halverings-trucje' van breuken, dat we kennen uit ons decimale systeem, ook werkt in de vreemde wereld van de Gouden Snede, en dat de sleutel tot dit geheim ligt in de beroemde Fibonacci-getallenreeks.

Het is een bewijs dat wiskunde, net als muziek, overal dezelfde harmonieën heeft, of je nu telt op basis van 10 of op basis van 1,618.

Technische samenvatting

Hier is een gedetailleerde technische samenvatting van het artikel "Midy's Theorem in non-integer bases and divisibility of Fibonacci numbers" van Zuzana Mas´akov´a en Edita Pelantov´a, in het Nederlands.

Titel: Midy's Theorem in niet-gehele bases en de deelbaarheid van Fibonacci-getallen

1. Probleemstelling en Achtergrond

Het artikel onderzoekt een generalisatie van het klassieke Midy's Theorem naar numerieke systemen met een niet-gehele basis ($\beta > 1$).

• Klassiek Midy's Theorem: Voor een breuk $p/q$ met een priemnoemer $q$ in het decimale stelsel (basis 10), als de periode van de decimale ontwikkeling even lang is ($2n$), dan is de som van de eerste en tweede helft van de periode gelijk aan$10^n - 1$ (een getal bestaande uit alleen negens).
• Doel: De auteurs willen onderzoeken of een vergelijkbaar fenomeen optreedt in $\beta$-expansies (positional systemen met reële basis $\beta > 1$), zoals geïntroduceerd door Rényi. Specifiek richten ze zich op de gouden snede $\tau = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$, waarbij de cijfers alleen 0 en 1 zijn en de relatie $\tau^2 = \tau + 1$ geldt.
• Vraag: Onder welke voorwaarden heeft een breuk $p/q$ in basis $\beta$ de "Midy-eigenschap"? Dat wil zeggen: als de periode even lang is ($2n$), is de som van de twee helften dan gelijk aan$\beta^n - 1$?

2. Methodologie

De auteurs combineren technieken uit de getaltheorie, dynamische systemen en lineaire algebra:

• $\beta$-expansies en de Greedy-algoritme: Ze gebruiken de $\beta$-transformatie $T_\beta(x) = \beta x - \lfloor \beta x \rfloor$ om de expansie van rationale getallen te genereren.
• Definitie van de Midy-eigenschap: Een noemer $q$ heeft de Midy-eigenschap in basis $\beta$ als er een $p$ bestaat zodat de $\beta$-expansie van $p/q$ puur periodiek is met even periode $2n$, en de som van de twee helften (geïnterpreteerd als$\beta$-hele getallen) gelijk is aan$\beta^n - 1$.
• Companion-matrices: Ze koppelen de iteratie van de $\beta$-transformatie aan de macht van de companion-matrix $C$ van het minimalpolynoom van $\beta$. Voor de gouden snede $\tau$ is dit polynoom $X^2 - X - 1$ en de matrix $C = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$.
• Eindige velden en Legendre-symbool: Voor het karakteriseren van priemgetallen $q$ werken ze in het eindige veld $\mathbb{Z}_q$. Ze gebruiken eigenschappen van kwadratische resten en de wet van de kwadratische reciprociteit om de orde van de matrix $C$ modulo $q$ te analyseren.
• Fibonacci-deelbaarheid: Omdat de machten van de matrix $C$ gerelateerd zijn aan Fibonacci-getallen ($F_n$), gebruiken ze deelbaarheidsregels van deze rij om voorwaarden voor de Midy-eigenschap af te leiden.

3. Belangrijkste Bijdragen en Resultaten

A. Algemene Voorwaarde (Noodzakelijk)

• Stelling 3.2: Een noodzakelijke voorwaarde opdat een geheel getal $q > 2$ de Midy-eigenschap heeft in basis $\beta$ (waarbij $\beta$ een algebraïsche geheel getal is), is dat er een positief geheel getal $N$ bestaat zodat:
  $$C^N \equiv -I \pmod q$$
  waarbij $C$ de companion-matrix van $\beta$ is en $I$ de eenheidsmatrix.
• Gevolg: Als $\beta$ een algebraïsch getal van oneven graad is met norm 1, kan deze voorwaarde nooit worden voldaan (omdat $\det(-I) = -1$ en $\det(C^N) = 1$). Dit betekent bijvoorbeeld dat er geen Midy-eigenschap bestaat in de Tribonacci-basis.

B. Specifiek Resultaat voor de Gouden Snede ($\tau$)

• Stelling 4.1 (Voldoende Voorwaarde): Voor de basis $\tau$ is de voorwaarde $C^N \equiv -I \pmod q$ ook voldoende. Als deze matrixcongruentie geldt, dan heeft $q$ de Midy-eigenschap in basis $\tau$, en geldt dit voor elke teller $p$ die copriem is met $q$.
• Relatie met Fibonacci-getallen: Omdat $C^N = \begin{pmatrix} F_{N-1} & F_N \\ F_N & F_{N+1} \end{pmatrix}$, is de voorwaarde equivalent met:
  $$F_N \equiv 0 \pmod q \quad \text{en} \quad F_{N-1} \equiv -1 \pmod q$$
  Dit impliceert dat de periode van de $\tau$-expansie van $p/q$ een veelvoud is van $2N$, en dat de som van de helften gelijk is aan$\tau^N - 1$.

C. Karakterisatie van Priemgetallen
De auteurs geven een volledige karakterisatie van priemgetallen $q$ die voldoen aan de Midy-eigenschap in basis $\tau$, gebaseerd op $q \pmod 5$:

1. Geval $q \equiv \pm 2 \pmod 5$ (of $q=5$):

   • Voor deze priemgetallen geldt altijd dat $q$ de Midy-eigenschap heeft.
   • Dit volgt uit het feit dat voor deze $q$, de orde van Fibonacci-getallen $a(q)$ een deler is van $q+1$. Er bestaat dus een $N$ (namelijk $N=q+1$ of een deler daarvan) zodat $C^N \equiv -I \pmod q$.
   • Voorbeeld: $q=7$ ($7 \equiv 2 \pmod 5$) heeft de eigenschap.

2. Geval $q \equiv \pm 1 \pmod 5$:

   • Hier is de situatie complexer. $q$ heeft de eigenschap dan en slechts dan als er een macht $2^k \cdot \ell$(waarbij$q-1 = 2^k \cdot \ell$met$\ell$oneven) bestaat zodat$C^{2^k \cdot \ell} \equiv -I \pmod q$.
   • Als $q \equiv -1 \pmod{20}$ of $q \equiv 11 \pmod{20}$, heeft $q$ nooit de Midy-eigenschap (Corollary 5.5).
   • Voor andere gevallen (bijv. $q \equiv 1, 9 \pmod{20}$) hangt het af van de specifieke structuur van de matrixkrachten; het is niet gegarandeerd.

D. Toepassingen op Speciale Priemrijen

• Mersenne-priemen ($q = 2^s - 1$):
  • Als $s \equiv 3 \pmod 4$, dan heeft $q$ de Midy-eigenschap.
  • Als $s \equiv 1 \pmod 4$, dan heeft $q$ de eigenschap niet.
• Fermat-priemen ($q = 2^{2^n} + 1$):
  • Alle bekende Fermat-priemen hebben de Midy-eigenschap in basis $\tau$.

4. Significance en Conclusie

• Theoretische Uitbreiding: Het artikel breidt een klassiek resultaat uit de decimale getaltheorie (Midy's Theorem) succesvol uit naar het domein van niet-gehele bases, specifiek de gouden snede.
• Verbinding Getaltheorie en Dynamica: Het werk toont een sterke connectie tussen de dynamica van $\beta$-transformaties (periodieke expansies) en de algebraïsche eigenschappen van Fibonacci-getallen en matrices over eindige velden.
• Praktische Implicatie: Het biedt een efficiënte methode (via matrixcongruenties of Fibonacci-deelbaarheid) om te bepalen of een gegeven noemer $q$ de Midy-eigenschap heeft in de gouden snede-basis, zonder de expansie expliciet te hoeven berekenen.
• Toekomstperspectief: De auteurs suggereren dat hun resultaten mogelijk generaliseerbaar zijn naar andere kwadratische Pisot-eenheden met norm $-1$, maar dat dit minder bekend is dan voor de gouden snede. Ze tonen ook aan dat voor bases met norm $+1$ (zoals wortels van $X^2 - mX + 1$) de eigenschap niet kan bestaan omdat er geen zuiver periodieke expansies zijn voor rationale getallen in $(0,1)$.

Samenvattend biedt dit artikel een diepgaande wiskundige analyse van een "curieus" numeriek fenomeen en levert het een scherp karakteriserend criterium voor priemgetallen in het specifieke geval van de gouden snede.