Pseudoreflections on Prym Varieties

Titel: Pseudoreflecties op Prym-varieteiten

Auteurs: Robert Auffarth, Martí Lahoz, Juan Carlos Naranjo

---

1. Probleemstelling en Achtergrond

Het artikel onderzoekt de structuur van Prym-varieteiten die een pseudoreflectie van geometrische oorsprong toelaten. De context wordt gevormd door de Chevalley-Shephard-Todd-stelling, die stelt dat de quotiëntruimte $X/G$ van een variëteit $X$ door een eindige groep $G$ glad is dan en slechts dan als elke stabilisator $Stab_G(x)$ gegenereerd wordt door pseudoreflecties (elementen waarvan het vaste puntset een codimensie 1 heeft).

Eerdere resultaten (ALA22) hebben aangetoond dat voor Jacobivariëteiten ($J_C$) van een gladde projectieve kromme $C$ met genus $g \geq 4$, de locus van Jacobivariëteiten die een glad quotiënt toelaten door een eindige groep (waarbij de actie van de kromme komt), leeg is. Concreet: als $J_C/G$ glad is en de actie komt van $C$, dan moet $g \leq 3$.

De centrale vraag van dit artikel is of een vergelijkbaar resultaat geldt voor Prym-varieteiten. Een Prym-varieteit $P(\tilde{C}, C)$ is geassocieerd met een étale dubbeloverdekking $f: \tilde{C} \to C$ bepaald door een niet-triviaal 2-torsie punt $\eta \in J_C[2]$. De auteurs willen bepalen wanneer er een automorfisme $\sigma$ bestaat dat op de Prym-varieteit werkt als een pseudoreflectie, wat impliceert dat het quotiënt $P/\sigma$ glad is.

2. Methodologie

De auteurs hanteren een combinatie van moduli-theorie, Riemann-Hurwitz-formules, en analyse van de werking van automorfismen op de Jacobiaanse en Prym-varieteit.

• Lifting van Automorfismen: Ze analyseren hoe automorfismen van de basiscurve $C$ die het 2-torsie punt $\eta$ invariant laten, gelift kunnen worden naar de overdekking $\tilde{C}$ en vervolgens op de Prym-varieteit $P$.
• Orde van Pseudoreflecties: Eerst wordt bewezen dat pseudoreflecties van oneven priemorde (zoals orde 3) niet kunnen voorkomen voor $g \geq 5$. Dit wordt gedaan door de codimensie $\gamma$ van het vaste puntset te analyseren via de Riemann-Hurwitz-formule. Het resultaat is dat pseudoreflecties alleen orde 2 of 4 kunnen hebben.
• Involutions (Orde 2): De focus verschuift naar involuties. De auteurs bestuderen het commutatieve diagram van quotiënten van $\tilde{C}$ onder de involuties $\iota$ (de decktransformatie), $\sigma$ (de lift) en $\iota\sigma$.
• Moduli-analyse: Ze classificeren de gevallen op basis van de genus van de totale quotiëntkromme $F = \tilde{C}/\langle \iota, \sigma \rangle$. Drie gevallen worden onderscheiden: $g(F)=0$, $g(F)=1$, en $g(F)=2$.
• Torelli-stellingen: Voor de injectiviteit van de Prym-afbeelding en het tellen van de dimensies van de families maken ze gebruik van Torelli-stellingen voor vertakte overdekkingen (Ike20, NO22).

3. Belangrijkste Resultaten

A. Hoofdstelling (Theorema 1.1)

Voor elke genus $g \geq 5$ is de locus van Prym-varieteiten in de moduli-ruimte $\mathcal{A}_{g-1}$ die een pseudoreflectie van geometrische oorsprong bezitten, de vereniging van drie verschillende expliciete irreducibele families:

1. Familie 1 (Dimensie $2g-4$):

   • Ontstaat uit het geval $g(F)=0$.
   • De Prym-varieteit is een gepolariseerd product $E \times JH_{g-2}$, waarbij $E$ een elliptische kromme is en $JH_{g-2}$ de locus van hyperelliptische Jacobivariëteiten van dimensie $g-2$.
   • De actie is triviaal op de Jacobiaanse factor en $-1$ op de elliptische factor.

2. Familie 2 (Dimensie $2g-3$):

   • Ontstaat uit het geval $g(F)=1$ (bi-elliptische krommen).
   • De Prym-varieteit komt voort uit een overdekking waarbij de basis een elliptische kromme is.
   • Dit vormt een irreducibele familie van dimensie $2g-3$.

3. Familie 3 (Dimensie $2g-3$):

   • Ontstaat uit het geval $g(F)=2$.
   • Hier is de basis van de overdekking een kromme van genus 2.
   • Ook dit vormt een irreducibele familie van dimensie $2g-3$.

De auteurs bewijzen dat deze drie families onderling verschillend zijn (hun gesloten hullen snijden elkaar niet of slechts in lagere dimensies, afhankelijk van de genus).

B. Speciaal Voorbeeld: Kubische Driedimensionale Variëteiten

Voor genus $g=6$ (dus Prym-varieteiten van dimensie 5) geven de auteurs een opvallend voorbeeld:

• Middellijke Jacobianen van kubische driedimensionale variëteiten met een Eckardtpunt.
• Een Eckardtpunt op een kubische driedimensionale variëteit $X \subset \mathbb{P}^4$ induceert een involutie. De bijbehorende middellijke Jacobiaan $J_X$ is isomorf aan een Prym-varieteit die een pseudoreflectie toelaat.
• Dit voorbeeld toont aan dat Prym-varieteiten met pseudoreflecties natuurlijk voorkomen in de meetkunde van kubische variëteiten.

C. Beperking op Groepen (Sectie 5)

De auteurs classificeren de mogelijke eindige groepen $G$ die op een Prym-varieteit kunnen werken zodat het quotiënt glad is (en de actie van geometrische oorsprong is):

• De groep moet een 2-groep zijn (alle elementen hebben orde een macht van 2).
• Als de representatie injectief is, zijn er maximaal 9 mogelijke groepen, voornamelijk producten van $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ en $\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$, soms uitgebreid met symmetrische groepen $S_2$.
• Als de polarisatie irreducibel is, zijn de enige mogelijkheden $(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^i$ voor $i=1, 2, 3$.

4. Significatie en Conclusie

• Contrast met Jacobivariëteiten: Het meest opvallende resultaat is het fundamentele verschil tussen Jacobivariëteiten en Prym-varieteiten. Waar Jacobivariëteiten van hoge genus geen gladde quotiënten toelaten door groepen van kromme-automorfismen, doen Prym-varieteiten dit wel, en zelfs in willekeurig hoge dimensies ($g \geq 5$).
• Structuur van de Locus: De paper geeft een volledige beschrijving van de moduli-ruimte van deze speciale Prym-varieteiten, identificeert drie distincte componenten en berekent hun dimensies.
• Verbinding met Meetkunde: De link met kubische driedimensionale variëteiten (via Eckardtpunten) biedt een concrete geometrische realisatie van deze abstracte algebraïsche structuren, wat nieuwe inzichten biedt in de studie van middellijke Jacobianen.
• Open Vraag: De auteurs merken op dat het nog niet volledig duidelijk is of alle geïdentificeerde groepen (zoals $(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^3$) daadwerkelijk voorkomen als groepen van geometrische oorsprong met een glad quotiënt, hoewel ze voorbeelden hebben voor de kleinere groepen.

Kortom, dit artikel opent een nieuw hoofdstuk in de theorie van Prym-varieteiten door aan te tonen dat ze, in tegenstelling tot Jacobivariëteiten, rijk zijn aan structuren die gladde quotiënten toelaten, en classificeert deze structuren volledig voor $g \geq 5$.