A Jacobian-free Newton-Krylov method for cell-centred finite volume solid mechanics

Technische Samenvatting: Een Jacobian-vrije Newton-Krylov-methode voor cel-gecentreerde eindvolume-mechanica van vaste stoffen

Probleemstelling
Traditionele eindvolume-methoden (FV) voor de mechanica van vaste stoffen vertrouwen overwegend op gesegregeerde impliciete benaderingen (Picard-iteraties) of volledig expliciete schema's. Hoewel gesegregeerde methoden voordelen bieden wat betreft implementatiegemak en geheugenefficiëntie, kunnen ze vaak kampen met trage convergentie, met name bij problemen met geometrische niet-lineariteit, grote rotaties of complexe koppeling. Daarentegen bieden Newton-Raphson-achtige methoden, die gebruikelijk zijn binnen de eindelementen-gemeenschap, kwadratische convergentie, maar vereisen zij de expliciete assemblage, opslag en inversie van de volledige Jacobian-matrix. Deze vereiste is computationeel duur en geheugenintensief, en het aanpassen van bestaande gesegregeerde FV-frameworks aan blok-gekoppelde Newton-methoden is niet triviaal vanwege de complexiteit van het afleiden en opslaan van de ware Jacobian. Bijgevolg is er behoefte aan een robuuste, efficiënte blok-gekoppelde solver die geïntegreerd kan worden in bestaande gesegregeerde FV-frameworks zonder grootschalige herstructurering van de code.

Methodologie
De auteurs stellen een Jacobian-vrije Newton-Krylov (JFNK) benadering voor die specifiek is afgestemd op cel-gecentreerde eindvolume-mechanica van vaste stoffen. De kern van de methodologie vermijdt de expliciete vorming van de Jacobian-matrix ($J$) door de werking ervan op een vector ($v$) te benaderen middels eindverschillen:
$$Jv \approx \frac{R(u + \epsilon v) - R(u)}{\epsilon}$$
waarbij $R$ de residu-functie is, $u$ de oplossingsvector is en $\epsilon$ een perturbatieschaal is. Deze benadering wordt gecombineerd met de Generalised Minimal Residual (GMRES) Krylov-subruimte-solver om de lineaire systemen op te lossen die binnen de Newton-iteraties ontstaan.

Om efficiëntie en robuustheid te waarborgen, maakt de methode gebruik van een preconditioneringsstrategie. In plaats van de exacte Jacobian te gebruiken (die niet beschikbaar is), maken de auteurs gebruik van een compact-stencil benaderde Jacobian die is afgeleid van de traagheidsterm en een diffusie-achtige term (gebaseerd op de Rhie-Chow-stabilisatie die in gesegregeerde solvers wordt gebruikt). Deze preconditioner ($P$) is conceptueel vergelijkbaar met de matrix die in traditionele gesegregeerde benaderingen wordt gebruikt, waardoor de nieuwe methode kan profiteren van bestaande matrix-assemblage en opslagroutines binnen frameworks zoals de solids4foam toolbox van OpenFOAM.

De implementatie maakt gebruik van de PETSc-bibliotheek voor de niet-lineaire solver (SNES) en lineaire algebra, gekoppeld aan de solids4foam FV-solver. Belangrijke algoritmische kenmerken zijn:

• Preconditioners: Vergelijking van LU direct solvers (MUMPS), Incomplete LU (ILU) en Algebraic Multigrid (HYPRE BoomerAMG).
• Globalisatie: Gebruik van line search en transient continuation (predictor-corrector) om de oplossing naar het domein van kwadratische convergentie te leiden.
• Stabilisatie: Een Rhie-Chow-type term wordt toegevoegd aan het residu om zero-energy modi (checkerboarding) te onderdrukken, met een globale schalingfactor ($\alpha$) die is afgestemd op de convergentiesnelheid.

Belangrijkste Bijdragen

1. Eerste toepassing op FV-mechanica van vaste stoffen: Dit werk vertegenwoordigt de eerste voorstel van een JFNK-methode specifiek voor de eindvolume-mechanica van vaste stoffen, waarmee een brug wordt geslagen tussen toepassingen in de vloeistofdynamica en de mechanica van vaste stoffen.
2. Naadloze Integratie: Door een compact-stencil benaderde Jacobian als preconditioner te gebruiken, maakt deze methode de adoptie van Newton-type convergentie binnen bestaande gesegregeerde FV-frameworks mogelijk met minimale codemodificatie.
3. Uitgebreide Benchmarking: De methode wordt rigoureus getest tegenover een standaard gesegregeerde benadering via een reeks gevallen die variëren in dimensionaliteit (2-D/3-D), materiaaleigenschappen (lineaire elasticiteit, hyperelasticiteit, elastoplasticiteit) en fysica (statisch, dynamisch, fluid-structure interaction).

Resultaten
De studie benchmarkt de JFNK-methode tegenover de gesegregeerde benadering aan de hand van metrieken voor rekentijd, geheugengebruik en robuustheid:

• Efficiëntie: De JFNK-methode presteert beter dan de gesegregeerde benadering in alle lineaire en niet-lineaire elastische gevallen. Versnellingen van één tot twee ordes van grootte werden in veel gevallen waargenomen, met een maximale versnelling van 341x in een 2-D lineair elastisch Cook's membrane geval.
• Geheugen: Voor problemen met minder dan $10^4$ vrijheidsgraden is het geheugengebruik vergelijkbaar met de gesegregeerde methode. Voor grotere problemen neemt het JFNK-geheugengebruik toe en bereikt het een maximum van 3,6 keer dat van de gesegregeerde methode (in een bolvormig holte-geval), voornamelijk door de opslagvereisten van de GMRES-solver en de multigrid-preconditioner.
• Robuustheid en Beperkingen:
  • De JFNK-methode vertoonde superieure robuustheid in hyperelastische gevallen (grote vervormingen/rotaties) waar de gesegregeerde methode niet kon convergeren.
  • Echter, de JFNK-methode divergeerde in elastoplastische gevallen (Cook's membrane met plasticiteit). De auteurs wijten dit aan de compact-stencil preconditioner, die gebaseerd is op kleine-vervorming elasticiteit en een slechte benadering is van de Jacobian voor grote plastische vervormingen.
• Keuze van Preconditioner:
  • LU Direct Solvers waren het snelst voor klein- tot middelgrote problemen en 2-D gevallen.
  • Multigrid (AMG) was effectiever voor grotere 3-D problemen, waarbij een betere schaalbaarheid en lagere geheugengroei werd geboden dan LU.
  • ILU(k) was over het algemeen de traagste en minst robuuste optie.
• Stabilisatie: Het verhogen van de Rhie-Chow stabilisatiefactor ($\alpha$) verbeterde over het algemeen de convergentiesnelheid en robuustheid, zij het ten koste van de pre-asymptotische nauwkeurigheid.

Betekenis en Claims
Het artikel claimt dat Jacobian-vrije Newton-Krylov-methoden een veelbelovende vooruitgang zijn voor de eindvolume-mechanica van vaste stoffen, met name voor bestaande gesegregeerde frameworks waar minimale aanpassingen de adoptie ervan mogelijk maken. De studie demonstreert dat JFNK aanzienlijke versnellingen en verbeterde robuustheid voor elastische problemen kan bereiken zonder de prohibitieve geheugenkosten van een volledige Jacobian-assemblage.

De auteurs blijven bescheiden over de huidige beperkingen van de methode en merken expliciet op dat de aanpak nog niet robuust is voor elastoplasticiteit met de huidige preconditioning-strategie. Zij identificeren de ontwikkeling van verbeterde preconditioners voor plasticiteit en de inclusie van niet-orthogonale correcties als noodzakelijk toekomstig werk. De implementatie is publiekelijk beschikbaar gemaakt in de solids4foam toolbox om exploratie en uitbreiding door de gemeenschap te stimuleren.