Integral Artin motives II: Perverse motives and Artin Vanishing Theorem

Technische Samenvatting: Integrale Artin-motieven II: Perverse Motieven en de Artin-verdwijningsstelling

Probleemstelling
Het artikel behandelt de constructie van de perverse motische $t$-structuur op de categorie van Artin-étale motieven, aangeduid als $\text{DM}^A_{\text{ét}}(S, R)$, waarbij $S$ een schema is en $R$ een coëfficiëntenring. Hoewel de gewone motische $t$-structuur goed begrepen is op subcategorieën zoals Artin-motieven en 1-motieven (via werken zoals [Org04, Ayo11, Vai19]), blijft het bestaan van een perverse motische $t$-structuur een centraal openstaand probleem in de theorie van motieven. Het doel is om een $t$-structuur te definiëren waarvan het hart correspondeert met een abelse categorie van "gemengde motische sheaves" en waarvoor de realiseerfuncties (bijv. $\ell$-adisch) $t$-exact zijn. Een cruciaal onderdeel van deze theorie is de geldigheid van de Artin-verdwijningsstelling, die stelt dat de functor $f_!$ rechts $t$-exact is voor affiene morfismen $f$.

De specifieke uitdaging ligt in het onderscheid tussen rationale coëfficiënten ($R=\mathbb{Q}$) en integrale coëfficiënten ($R=\mathbb{Z}$). Terwijl de perverse $t$-structuur op étale sheaves goed gevestigd is, wordt de motische tegenhanger ervan belemmerd door het gedrag van de Artin-truncatiefunctor $\omega_0$ en de constructibiliteit van objecten in hogere dimensies.

Methodologie
De auteur maakt gebruik van een combinatie van $\infty$-categorische formalismen, lijmtechnieken (gluing) en expliciete berekeningen van de Artin-truncatiefunctor $\omega_0$.

1. Definitie van de perverse homotopie $t$-structuur:
   Het artikel introduceert de perverse homotopie $t$-structuur ($t_{hp}$) op de categorie van Artin-motieven. Deze structuur wordt gegenereerd door Borel-Moore motieven $M^{BM}_S(X)[\delta(X)]$ waarbij $X$ quasi-finaal over $S$ is en $\delta$ een dimensiefunctie is. De definitie wordt gemotiveerd door de wens om de standaard perverse $t$-structuur op $\ell$-adische sheaves te herstellen via realiseerfuncties.

2. Puntuele beschrijving:
   Een belangrijk technisch hulpmiddel is een puntuele karakterisering van $t_{hp}$. Een object $M$ is $t_{hp}$-niet-negatief dan en slechts dan als het onder begrensd is in de gewone homotopie $t$-structuur en, voor elk punt $x \in S$, de Artin-truncatie van de exceptionele pullback, $\omega_0 i^!_x M$, specifieke graadbounds voldoet relatief aan $\delta(x)$.

3. Analyse van de Artin-truncatiefunctor ($\omega_0$):
   Het artikel onderzoekt rigoureus de functor $\omega_0: \text{DM}^{\text{coh}}_{\text{ét}} \to \text{DM}^A_{\text{ét}}$, die de rechteradjunctie is van de inclusie van Artin-motieven in cohomologische motieven.

   • Rationaal geval: Er wordt aangetoond dat $\omega_0$ constructibele objecten behoudt wanneer $R=\mathbb{Q}$ (ter uitbreiding van resultaten uit [AZ12, Pep19b]).
   • Integraal geval: Het artikel demonstreert dat $\omega_0$ de constructibiliteit integraal niet behoudt wanneer de morfisme niet quasi-finaal is. Specifiek kan $\omega_0 f_* \mathbf{1}_X$ voor een propere morfisme $f: X \to \text{Spec}(k)$ met $X$ regulier, niet-constructibele componenten bevatten (bijv. kopieën van $\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$), wat de existentie van een $t$-structuur op constructibele motieven in hogere dimensies belemmert.

4. Lijmen en Stratificatie:
   De constructie steunt op het lijmen van $t$-structuren langs stratificaties van het basisschema $S$. De auteur maakt gebruik van het feit dat constructibele Artin-motieven glad (en dus identificeerbaar met lisse étale sheaves) worden op een stratificatie.

Belangrijkste Bijdragen en Resultaten

1. Existentie met rationale coëfficiënten:
   Voor elk uitmuntend (excellent) schema $S$ bestaat de perverse homotopie $t$-structuur op $\text{DM}^A_{\text{ét}, c}(S, \mathbb{Q})$. Bovendien is de $\ell$-adische realiseerfunctie $t$-exact. Dit vestigt een robuuste theorie van perverse Artin-motieven over $\mathbb{Q}$.

2. Artin-verdwijningsstellingen (Rationaal geval):
   Het artikel bewijst drie analogen van de Artin-verdwijningsstelling voor Artin-motieven met rationale coëfficiënten:

   • Affien Quasi-finaal: Als $f: X \to S$ een quasi-finaal affien morfisme is en $X$ nil-regulier is, dan is $f_!$ $t_{hp}$-exact (Theorem 2.2.1). Dit geldt voor $\dim(S) \leq 2$ of als $S$ van eindig type over een eindig veld is.
   • Propere Morfismen: Als $f: X \to S$ een proper morfisme is en $S$ toelaat resolutie van singulariteiten door alteraties, dan is $\omega_0 f_*$ rechts $t_{hp}$-exact (Theorem 2.3.1).
   • Open Immersies: Als $j: U \to S$ een open immersie is met $U$ nil-regulier, dan is $\omega_0 j_*$ $t_{hp}$-exact (Theorem 2.4.2).

3. Structuur van het Hart (Rationaal geval):
   Het hart van de perverse homotopie $t$-structuur, aangeduid als $\mathcal{M}^A_{\text{perv}}(S, \mathbb{Q})$, wordt getoond een Artiaanse en Noetherian abelse categorie te zijn. Simpele objecten worden geclassificeerd als intermediaire extensies van simpele lisse sheaves (getwist door de dimensiefunctie), wat de structuur van perverse sheaves spiegelt.

4. Integrale Coëfficiënten en Dimensionale Beperkingen:

   • Dimensie $\leq 2$: Voor uitmuntende schema's van dimensie maximaal 2, induceert de perverse homotopie $t$-structuur een $t$-structuur op de subcategorie van constructibele Artin-motieven $\text{DM}^A_{\text{ét}, c}(S, \mathbb{Z})$. De $\ell$-adische realiseerfunctie is $t$-exact in deze setting (Theorem 3.3.6, Theorem 3.4.3).
   • Dimensie $\geq 4$: Het artikel biedt een tegenvoorbeeld dat laat zien dat voor $S = \mathbb{A}^4_k$ (affiene 4-ruimte), de perverse homotopie $t$-structuur geen $t$-structuur induceert op constructibele motieven met integrale coëfficiënten. De obstructie komt voort uit het feit dat de cohomologie van de Artin-truncatie van het constante motief op een resolutie van singulariteiten niet-constructibele modules bevat (specifiek gerelateerd aan $H^1$ van de exceptionele divisor).
   • Dimensie 3: De casus van 3-dimensionale schema's blijft open.

Betekenis en Claims
Het artikel claimt de existentie van de perverse motische $t$-structuur op Artin-motieven in lage dimensies en met rationale coëfficiënten op te lossen, en biedt de eerste onvoorwaardelijke constructie van een dergelijke structuur in de integrale setting voor $\dim(S) \leq 2$.

De primaire betekenis ligt in de omkering van de traditionele filosofische benadering: in plaats van de existentie van de $t$-structuur aan te nemen om de verdwijningsstellingen te bewijzen, stelt de auteur eerst de verdwijningsstellingen (specifiek voor $f_!$) vast als een instrument om de existentie van de $t$-structuur te bewijzen.

Het werk benadrukt een fundamentele divergentie tussen rationale en integrale coëfficiënten in de motische setting. Terwijl rationale coëfficiënten een "schone" theorie toestaan waarbij $\omega_0$ constructibiliteit behoudt, introduceren integrale coëfficiënten pathologische gedragingen (niet-constructibele torsie) die de existentie van de $t$-structuur in dimensies 4 en hoger verhinderen. Het artikel concludeert dat de perverse homotopie $t$-structuur de "best mogelijke benadering" is van een perverse $t$-structuur, die samenvalt met de ware perverse motische $t$-structuur wanneer deze laatste gedefinieerd is (d.w.z. wanneer realiseerfuncties $t$-exact zijn).

De resultaten worden gepresenteerd als optimaal: de existentie in dimensie 2 is bewezen, en de niet-existentie in dimensie 4 is gedemonstreerd, waardoor de 3-dimensionale casus de resterende grens vormt.