Regularity of the volume function

Dit artikel bewijst de optimale $C^{1,1}$-regulariteit van de volumefunctie op de grote kegel van een projectieve variëteit en onderzoekt de regulariteit ervan bij restrictie tot segmenten die zich in ruime richtingen bewegen.

De kern

Stel je voor dat je een enorme, complexe tuin hebt. In deze tuin staan verschillende soorten planten, maar je bent niet geïnteresseerd in de bloemen zelf, maar in de ruimte die ze innemen als ze volledig uitgegroeid zijn. In de wiskunde noemen we deze ruimte het "volume".

De auteurs van dit artikel, Junyu Cao en Valentino Tosatti, hebben een heel belangrijk probleem opgelost over hoe "glad" of "ruw" de kaart van deze ruimte is.

Hier is de uitleg in simpele taal, met een paar creatieve vergelijkingen:

1. Het Probleem: De Ruwe Kaart van de Tuin

Stel je voor dat je een kaart tekent van hoeveel ruimte elke mogelijke combinatie van planten in je tuin inneemt.

• Als je een beetje meer van plant A toevoegt, groeit het volume.
• Als je plant B toevoegt, groeit het volume ook.

Wiskundigen wisten al dat deze kaart continu was (geen gaten) en dat je er een rechte lijn over kon trekken die de helling goed benaderde (het was "glad" genoeg om een helling te berekenen). Maar ze twijfelden of de kaart ook perfect glad was, of dat er misschien kleine "stapjes" of "ruwe plekken" zaten waar de helling plotseling veranderde.

Het was alsof je een weg rijdt: je wist dat je niet van de weg viel (continu), en je wist dat je het stuur kon draaien (differentieerbaar), maar was de weg zo glad als een ijsbaan, of waren er kleine kuilen waar je auto even schokte?

2. Het Nieuwe Ontdekking: De Weg is "Perfect Glad" (maar niet perfect)

De auteurs bewijzen nu dat de kaart van het volume optimaal glad is. Ze noemen dit in wiskundetaal $C^{1,1}$-regulier.

• De Analogie van de Schokdemper: Stel je voor dat je een auto hebt met een zeer goede schokdemper. Als je over een oneffenheid rijdt, voelt het niet als een harde klap (dat zou een ruwe plek zijn), maar als een zachte, vloeiende beweging. De auto schokt wel, maar de beweging is voorspelbaar en niet chaotisch.
• Wat ze bewijzen: De "volume-kaart" is zo glad dat je er met een auto overheen kunt rijden zonder dat de wielen haperen. Je kunt de helling op elk punt berekenen, en die helling verandert niet abrupt, maar wel met een beperkte snelheid. Het is de beste gladheid die je theoretisch kunt verwachten; je kunt er niet nog gladder op maken (het is niet "perfect glad" als een spiegel, maar het is net zo glad als het maar kan zijn zonder dat de wiskunde instort).

3. De Twee Situaties: Binnen en Buiten de Tuin

Het artikel maakt een onderscheid tussen twee situaties:

• Binnen de "Grote Tuin" (De Big Cone): Dit is het gebied waar de planten echt groeien en ruimte innemen. Hier is de kaart van het volume perfect glad (zoals hierboven beschreven).
• Aan de Rand en Buiten de Tuin: Als je naar de rand van de tuin loopt, waar de planten net stoppen met groeien, wordt de kaart iets ruwer. Hier is hij nog steeds veilig te bevaren (je valt niet van de weg), maar je kunt de helling niet meer precies berekenen op de rand zelf. Het is alsof je over een zandstrand loopt: het is vast onder je voeten, maar je kunt niet zeggen dat het even glad is als asfalt.

4. De Speciale Test: Het "Voorwaarts" vs. "Achterwaarts" Experiment

Een van de meest interessante delen van het artikel is een experiment met een speciale route door de tuin.

Stel je voor dat je een vaste route hebt:

1. Voorwaarts: Je loopt een stukje de tuin in en voegt steeds meer "zonlicht" toe. De auteurs ontdekten dat als je dit doet, de kaart van het volume niet oneindig glad is. Er zijn kleine "bobbels" waar de helling verandert. Het is alsof je over een weg rijdt met kleine, onzichtbare drempels die je voelt, maar die je niet kunt zien.
2. Achterwaarts: Er is een andere wiskundige (Rob Lazarsfeld) die vermoedt dat als je de route omgekeerd doet (je haalt zonlicht weg in plaats van toevoegen), de weg misschien wel perfect glad en zelfs "glad als zijde" is.

De auteurs laten zien dat in hun voorbeeld de "voorwaartse" route inderdaad die kleine bobbels heeft, maar de "achterwaartse" route ziet er veelbelovend uit en zou misschien wel perfect glad kunnen zijn. Dit is een beetje zoals het verschil tussen een berg aflopen (waar je op elke steen moet letten) en een berg oplopen (waar de weg misschien perfect geasfalteerd is).

Samenvatting

Kortom, Cao en Tosatti hebben bewezen dat de wiskundige kaart van hoe groot een object is in de complexe wereld van de meetkunde, zo glad mogelijk is zonder dat de regels van de wiskunde worden overtreden.

• Het is niet ruw (je kunt er veilig over rijden).
• Het is niet perfect spiegelglad (er zijn kleine, voelbare veranderingen in de helling).
• Maar het is precies zo glad als de natuurwetten van deze wiskundige wereld toelaten.

Dit is een grote stap voorwaarts voor wiskundigen die proberen de vorm en structuur van complexe ruimten te begrijpen, omdat het hen vertelt dat ze kunnen rekenen met deze volumes zonder bang te hoeven zijn voor plotselinge, onvoorspelbare sprongen in de cijfers.

Technische samenvatting

Hier is een gedetailleerde technische samenvatting van het artikel "Regularity of the Volume Function" van Junyu Cao en Valentino Tosatti, geschreven in het Nederlands.

Titel: Regulariteit van de Volume-functie

Auteurs: Junyu Cao en Valentino Tosatti
Context: Algebraïsche meetkunde, Complex meetkunde, Birationale meetkunde.

---

1. Het Probleem

Het artikel onderzoekt de optimale regulariteit (gladheid) van de volume-functie op de "big cone" (de kegel van grote klassen) van een projectieve variëteit of een compacte Kähler-mannigvuldigheid.

• Definitie: Voor een Cartier-divisor $D$ op een gladde complexe projectieve variëteit $X$ van dimensie $n$ wordt het volume gedefinieerd als:
  $$\text{Vol}(D) := \limsup_{m \to +\infty} \frac{n! \cdot h^0(X, mD)}{m^n}$$
  Deze functie kan worden uitgebreid tot de reële Neron-Severi groep $N^1(X, \mathbb{R})$ en zelfs tot de cohomologiegroep $H^{1,1}(X, \mathbb{R})$.
• Achtergrond: Het is bekend dat de volume-functie homogeen is van graad $n$ en lokaal Lipschitz-continu. In [5, 19, 24] is bewezen dat de functie $C^1$-differentieerbaar is binnen de big cone ($B_X$).
• De Open Vraag: Wat is de maximale regulariteit? Is de functie $C^2$, of zelfs $C^\infty$?
  • Er is een bekend tegenvoorbeeld (opgeblazen $\mathbb{P}^2$) waar de Hessian van de volume-functie begrensd maar discontinu is, wat suggereert dat de regulariteit niet hoger is dan $C^{1,1}$ (Lipschitz continu in de eerste afgeleide).
  • De centrale vraag was of dit $C^{1,1}$-gedrag algemeen geldt voor alle projectieve variëteiten.

---

2. Methodologie

De auteurs gebruiken een combinatie van analytische methoden, convexiteitseigenschappen en specifieke constructies van bundels om hun resultaten te bewijzen.

A. Bewijs voor $C^{1,1}$-regulariteit (Hoofdstuk 2)

De auteurs geven twee verschillende bewijzen voor het feit dat de volume-functie lokaal $C^{1,1}$ is binnen de big cone. Beide bewijzen zijn afhankelijk van de formule voor de gradiënt van het volume (gevestigd in eerdere werken):
$$\frac{d}{dt}\bigg|_{t=0} \text{Vol}(\alpha + t\beta) = n \beta \cdot \langle \alpha^{n-1} \rangle$$
waarbij $\langle \cdot \rangle$ de "positive product" (positief product) aanduidt.

1. Eerste bewijs (via Convexiteit):

   • Ze tonen aan dat de functie $\alpha \mapsto (\omega \cdot \langle \alpha^{n-1} \rangle)^{\frac{1}{n-1}}$ concave is op de big cone, waarbij $\omega$ een Kähler-klasse is.
   • Gebruikmakend van de Fujita-approximatie en de Khovanskii-Teissier-ongelijkheden, wordt deze concaviteit bewezen.
   • Omdat een concave functie op een open verzameling lokaal Lipschitz-continu is, volgt hieruit dat de gradiënt van het volume lokaal Lipschitz is, wat impliceert dat de volume-functie zelf $C^{1,1}$ is.

2. Tweede bewijs (Elementair/Abstract):

   • Ze formuleren een abstract lemma voor functies op een convex kegel die homogeen zijn, monotoon toenemend in de richting van de kegel, en lokaal begrensd.
   • Ze tonen aan dat de functie $f(\alpha) = \omega \cdot \langle \alpha^{n-1} \rangle$ aan deze voorwaarden voldoet.
   • Hieruit volgt direct dat $f$ lokaal Lipschitz is, wat opnieuw leidt tot de $C^{1,1}$-regulariteit van $\text{Vol}$.

B. Regulariteit op de Rand en in de Hele Ruimte (Hoofdstuk 2)

Om te bewijzen dat de functie lokaal Lipschitz is op de gehele ruimte $H^{1,1}(X, \mathbb{R})$ (inclusief de rand van de big cone), gebruiken ze een continuïteitsargument. Ze tonen aan dat de afgeleide van het volume langs lijnstukken uniform begrensd blijft, zelfs wanneer men de rand nadert, mits de BDPP-conjectuur (Boucksom-Demailly-Păun-Peternell) waar is.

C. Regulariteit langs Segmenten (Hoofdstuk 3)

Voor de studie van restricties tot lijnen van de vorm $\alpha + t\omega$ (waarbij $\omega$ Kähler is), construeren de auteurs een specifiek tegenvoorbeeld:

• Ze nemen een projectieve bundel $X = \mathbb{P}_B(\mathcal{O}_B \oplus A)$ over een hypersurface $B$.
• Ze gebruiken een eerder resultaat van Filip, Lesieutre en Tosatti [12] waarbij een divisor $D$ op $B$ bestaat met $\text{Vol}(D)=0$ zodanig dat de restrictie niet $C^{1,\gamma}$ is.
• Door de Wolfe-formule voor volumes op projectieve bundels toe te passen, reduceren ze het volume op $X$ tot een integraal van het volume op $B$.
• Ze tonen aan dat de afgeleide van de volume-functie langs de richting $\alpha + t\omega$ een term bevat die de slechte regulariteit van het onderliggende voorbeeld erft, waardoor de functie niet $C^{2,\gamma}$ kan zijn.

---

3. Belangrijkste Resultaten

• Stelling 1.1 (Optimale Regulariteit in de Big Cone):
  Voor een projectieve variëteit (of een compacte Kähler-mannigvuldigheid die voldoet aan de BDPP-conjectuur) is de volume-functie lokaal $C^{1,1}$ binnen de big cone $B_X$. Dit betekent dat de eerste afgeleide Lipschitz-continu is, maar de tweede afgeleide niet noodzakelijk bestaat of continu is. Dit is de optimale regulariteit.

• Stelling 1.2 (Regulariteit op de Rand):
  De volume-functie is lokaal Lipschitz-continu op de gehele ruimte $H^{1,1}(X, \mathbb{R})$. Dit bevestigt dat de functie ook op de rand van de big cone (waar het volume nul wordt) geen "schok" vertoont in de eerste orde, hoewel differentieerbaarheid daar niet gegarandeerd is.

• Stelling 1.4 (Regulariteit langs Lijnen):
  Als $\alpha \in B_X$ en $\omega$ een Kähler-klasse is, dan is de functie $t \mapsto \text{Vol}(\alpha + t\omega)$ $C^{1,1}$ op het interval $[0, 1]$.

  • Er bestaan echter voorbeelden waar deze functie niet $C^{2,\gamma}$ is voor enige $\gamma > 0$.
  • Dit staat in contrast met het geval $\alpha - t\omega$ (waar $\alpha$ op de rand ligt), wat vermoedelijk gladder (zelfs analytisch) gedrag vertoont, zoals geconjectureerd door Lazarsfeld.

---

4. Significatie en Impact

1. Bevestiging van een Open Vraag: Het artikel beantwoordt een recente vraag (gesteld in [12]) over de optimale regulariteit van de volume-functie bevestigend. Het stelt dat $C^{1,1}$ de "best mogelijke" regulariteit is die algemeen geldt.
2. Verbinding tussen Analyse en Meetkunde: De resultaten verbinden diepe eigenschappen van de volume-functie (een object uit de birationale meetkunde) met de theorie van convexiteit en differentieerbaarheid van functies op Banachruimten.
3. Nuance in Regulariteit: Het werk maakt een belangrijk onderscheid tussen de regulariteit in de "inwendige" richting van de big cone versus de regulariteit langs specifieke lijnen of in de richting van het verkleinen van een klasse (naar de rand toe).
4. Implicaties voor Vermoedens: Hoewel de auteurs aantonen dat de volume-functie niet overal $C^\infty$ is (in tegenspraak met een eerdere intuïtie gebaseerd op oppervlakken en torische variëteiten), suggereren ze dat er mogelijk een "wall-chamber" decompositie bestaat waarbinnen de functie wel glad is, maar dat deze wanden kunnen accumuleren.
5. Technische Vooruitgang: De methode om de $C^{1,1}$-regulariteit te bewijzen via de convexiteit van de $(n-1)$-de macht van het volume (via de gradiëntformule) biedt een krachtig nieuw gereedschap voor toekomstig onderzoek in de complexe meetkunde.

Kortom, dit artikel legt de fundamentele grenzen van de gladheid van de volume-functie vast, wat cruciaal is voor het begrijpen van de asymptotische gedragingen van lineaire series en de structuur van de big cone in de algebraïsche meetkunde.