Extreme values of derivatives of the Dedekind zeta function of a cyclotomic field

Technische Samenvatting: Extreme Waarden van Afgeleiden van de Dedekind-zetafunctie van een Cyclotomisch Veld

Probleemstelling
Dit artikel onderzoekt de extreme waarden van de afgeleiden van de Dedekind-zetafunctie, $\zeta_K^{(\ell)}(s)$, geassocieerd met een cyclotomisch veld $K = \mathbb{Q}(\omega_d)$, waarbij $\omega_d$ een $d$-de eenheidswortel is ($d \ge 3$). De studie richt zich op het vaststellen van ondergrenzen voor de maximale modulus van deze afgeleiden op de kritieke lijn ($\Re(s) = 1/2$) en in de regio direct aangrenzend aan deze lijn ($1/2 \le \sigma \le 1/2 + 1/\log_2 T$).

Hoewel extreme waarden van de Riemann-zetafunctie $\zeta(s)$ en Dirichlet $L$-functies uitgebreid zijn bestudeerd met behulp van de resonantiemethode en GCD-sommen, brengt het uitbreiden van deze resultaten naar de afgeleiden van Dedekind-zetafuncties specifieke uitdagingen met zich mee. In tegenstelling tot $\zeta(s)$ zijn de coëfficiënten $a_K(n)$ van de Dirichlet-reeks voor $\zeta_K(s)$ niet volledig multiplicatief. Deze niet-volledig multiplicatieve aard bemoeilijkt de directe toepassing van standaard GCD-somtechnieken die gebruikt zijn in eerdere werken van Bondarenko et al. en Yang.

Methodologie
De auteurs maken gebruik van de resonantiemethode, een techniek die oorspronkelijk door Voronin is voorgesteld en verfijnd door Soundararajan, Aistleitner en Bondarenko/Seip. De kernstrategie bestaat uit het construeren van een "resonator"-functie $R(t)$ die ontworpen is om de waarden van $\zeta_K^{(\ell)}(s)$ op specifieke punten te versterken.

Belangrijke methodologische componenten zijn:

1. Constructie van een Hulpfunctie: De auteurs definiëren een hulpfunctie $G(s) = 1 + a_K(2)2^{-s} + (-1)^\ell \zeta_K^{(\ell)}(s)$ om ervoor te zorgen dat de coëfficiënten van de Dirichlet-reeks van $G(s)$ voldoen aan $a(n) \ge a_K(n)$. Dit maakt de afleiding van ondergrenzen voor de afgeleiden mogelijk.
2. Dubbele Versie Convolutieformule: Om de verbinding tussen de integraal van de resonator tegen de zetafunctie en rekenkundige sommen te leggen, gebruiken de auteurs een dubbele versie convolutieformule (Lemma 2.2). Deze formule relateert de integraal van $G(\sigma+it+iy)G(\sigma-it+iy)$ aan een som die de coëfficiënten $a(n)$ en een kernelfunctie $K(y)$ bevat.
3. Gewogen GCD-sommen: Het bewijs steunt op het vaststellen van ondergrenzen voor gewogen GCD-sommen, specifiek $S_{1/2}(M, a_K)$. De auteurs construeren een specifieke verzameling gehele getallen $M$ gebaseerd op priemgetallen in rekenkundige progressies modulo $d$. Een aanzienlijk technisch obstakel dat wordt aangepakt, is de niet-volledig multiplicatieve natuur van $a_K(n)$. Om dit te overwinnen, introduceren de auteurs een gemodificeerde multiplicatieve functie $a'_K(n)$ om de schatting van de GCD-sommen te faciliteren, waarbij zij opmerken dat deze procedure een verlies van een factor $\sqrt{2}$ oplevert vergeleken met het geval van volledig multiplicatieve functies.
4. Kernelfuncties: De bewijzen maken gebruik van specifieke gladde kernelfuncties $K_\eta(u)$ en hun Fourier-transformaten om de fouttermen in de integraalschattingen te beheersen, volgens de benaderingen van Bondarenko, Seip en de la Bretèche.

Belangrijkste Bijdragen en Resultaten
Het artikel stelt twee primaire stellingen vast die ondergrenzen bieden voor de maximumwaarden van de afgeleiden:

• Stelling 1.1 (Kritieke Lijn): Voor voldoende grote $T$ en uniform voor $d \ll (\log_2 T)^A$, bewijzen de auteurs:
  $$\max_{t \in [0, T]} \left| \zeta_K^{(\ell)}\left(\frac{1}{2} + it\right) \right| \ge \exp\left( \left(\sqrt{\phi(d)} + o(1)\right) \sqrt{\frac{\log T \log_3 T}{\log_2 T}} \right)$$
  Dit resultaat laat zien dat de ondergrens voor de afgeleiden op de kritieke lijn dezelfde orde van grootte bereikt als de ondergrens voor de functie $\zeta_K(s)$ zelf (waarbij $\ell=0$). De exponent bevat de factor $\sqrt{\phi(d)}$, wat de graad van de velderbreiding reflecteert.

• Stelling 1.2 (Nabij de Kritieke Lijn): Voor $\sigma$ in het bereik $1/2 \le \sigma \le 1/2 + 1/\log_2 T$, stellen de auteurs vast:
  $$\max_{t \in [0, T]} \left| \zeta_K^{(\ell)}(\sigma + it) \right| \ge \exp\left( \left(\sqrt{\frac{\phi(d)}{e-1}} + o(1)\right) \frac{(\log T)^{1-\sigma} (\log_3 T)^\sigma}{(\log_2 T)^\sigma} \right)$$
  Dit breidt de schatting uit naar een omgeving van de kritieke lijn. De auteurs merken op dat de leidende term in de exponent kleiner is dan in Stelling 1.1 vanwege beperkingen bij het begrenzen van de reeks $\sum p^{-2\sigma}$.

• Aanvullende Resultaten (Stellingen 5.1 en 5.2): Het artikel presenteert kort verdere verfijningen voor specifieke bereiken van $\sigma$ (bijv. $\sigma_D = 1/2 + D/\log_2 T$ en $1/2 \le \sigma \le 2/3$), waarbij wordt aangetoond dat afgeleiden extreme waarden bereiken van dezelfde orde van grootte als die van $\zeta(s)$ in eerdere literatuur.

Betekenis en Claims
De auteurs claimen dat hun resultaten het bestaande werk generaliseren en verfijnen:

1. Generalisatie van het werk van Yang: De resultaten breiden de bevindingen van Yang (2022) over de extreme waarden van de afgeleiden van $\zeta(s)$ uit naar de context van de Dedekind-zetafuncties van cyclotomische velden.
2. Verfijning van Bondarenko et al.: Stelling 1.1 verfijnt de resultaten van Bondarenko et al. (2023) door een ondergrens specifiek voor de afgeleiden van $\zeta_K(s)$ op de kritieke lijn te bieden.
3. Omgaan met Niet-Multiplicativiteit: Een belangrijke bijdrage is de succesvolle adaptatie van de resonantiemethode om de coëfficiënten $a_K(n)$ te behandelen, die niet volledig multiplicatief zijn. De auteurs erkennen expliciet dat deze adaptatie resulteert in een verlies van een factor $\sqrt{2}$ in de exponent vergeleken met het ideale geval van volledig multiplicatieve functies, een detail dat zij toeschrijven aan de noodzaak van het gebruik van de hulpfunctie $a'_K(n)$.
4. Optimaliteit: Het artikel suggereert dat hoewel de exponent in Stelling 1.1 overeenkomt met de orde van de functie zelf, de specifieke constante factor verbeterd kan worden indien methoden voor het optimaliseren van GCD-sommen (zoals die van de la Bretèche en Tenenbaum) volledig kunnen worden aangepast aan de niet-volledig multiplicatieve setting, hoewel de huidige methode de $\sqrt{\phi(d)}$ factor oplevert.

Het artikel concludeert dat de afgeleiden van $\zeta_K(s)$ in de kritieke strook extreme waarden vertonen die vergelijkbaar zijn in grootte met die van de afgeleiden van de Riemann-zetafunctie, waarbij de groeisnelheid wordt gemoduleerd door de Euler-totientfunctie $\phi(d)$ van de conductor van het cyclotomische veld.