Varieties with representable CH_0-group and a question of Colliot-Thélène

Technische Samenvatting: Variëteiten met een representabele $CH_0$-groep en een vraag van Colliot-Thélène

Probleemstelling
Het artikel behandelt een specifieke vraag gesteld door Colliot-Thélène over de relatie tussen de representabiliteit van de Chow-groep van nul-cycli ($CH_0$) en het bestaan van een "universele 0-cyclus" op gladde projectieve complexe variëteiten.

Laat $X$ een gladde projectieve variëteit zijn. De groep $CH_0(X)$ wordt representabel genoemd als de Albanese-morfisme $a_X: CH_0(X)_{hom} \to Alb(X)$ een isomorfisme is. Een universele 0-cyclus voor $X$ wordt gedefinieerd als een codimensie $n$ cyclus $\Gamma \in CH_n(Alb(X) \times X)$ (waarbij $n = \dim X$) zodanig dat voor elke $t \in Alb(X)$, de compositie $a_X \circ \Gamma^* (\{t\} - \{0\})$ gelijk is aan $t$ in $Alb(X)$.

Hoewel bekend is dat er variëteiten zonder universele 0-cycli bestaan (bijvoorbeeld bepaalde oppervlakken geconstrueerd in eerder werk door de auteur), en dat er variëteiten met representabele $CH_0$-groepen bestaan, was het een open vraag of deze twee eigenschappen wederzijds uitsluitend zijn. Specifiek vroeg Colliot-Thélène: Bestaat er een gladde complexe projectieve variëteit $X$ met een representabele $CH_0$-groep die geen universele 0-cyclus toelaat?

Methodologie en Theoretisch Kader
De auteur benadert dit probleem door de geometrische beperkingen te analyseren die worden opgelegd door de representabiliteit van $CH_0$.

1. Geometrische Reductie: Met behulp van Mumford's stelling stelt het artikel vast dat als $CH_0(X)$ representabel is en $Alb(X)$ niet-triviaal is, de Albanese-afbeelding van $X$ factoriseert door een gladde projectieve kromme $C$. Specifiek bestaat er een dominante morfisme $\phi: X \to C$ zodanig dat $Alb(X) \cong J(C)$.
2. Index van Morfismen: Het bestaan van een universele 0-cyclus is gekoppeld aan de index van het morfisme $\phi: X \to C$. De index is gedefinieerd als de grootste gemene deler van de graden van irreducibele subvariëteiten van $X$ die $C$ domineren. Het artikel bewijst dat als deze index 1 is, een universele 0-cyclus bestaat.
3. Verbinding met Hodge-theorie: Het niet-bestaan van een universele 0-cyclus wordt aangetoond te zijn equivalent aan de niet-algebraïciteit van een specifieke Hodge-klasse $\gamma_X \in H^{2n}(Alb(X) \times X, \mathbb{Z})_{tf}$ (modulo torsie). Deze klasse ontstaat uit de Künneth-decompositie van de diagonaal. Daarom vereist het construeren van een tegenvoorbeeld het vinden van een variëteit waar deze specifieke klasse niet algebraïsch is, wat een tegenvoorbeeld vormt voor de integrale Hodge-conjectuur modulo torsie.
4. Constructie van Tegenvoorbeeld: De constructie steunt op een tegenvoorbeeld voor de integrale Hodge-conjectuur geleverd door Benoist en Ottem. De auteur construeert een 3-voud $X$ als een quotient van een product $E \times S$, waarbij $E$ een elliptische kromme is en $S$ een K3-oppervlak dat is uitgerust met een vaste-punt-vrije antisymplectische involutie $g$.

Belangrijkste Bijdragen en Resultaten

• Stelling 1.4 (Hoofdresultaat): Het artikel bewijst het bestaan van een gladde projectieve 3-voud $X$ zodanig dat $CH_0(X)$ representabel is, maar $X$ geen universele 0-cyclus toelaat. Dit geeft een bevestigend antwoord op Colliot-Thélène's vraag.

  • Constructie: $X = (E \times S) / (t_\xi, g)$, waarbij $E$ een elliptische kromme is met een translatie $t_\xi$ van orde 2, en $S$ een K3-oppervlak met een vaste-punt-vrije involutie $g$. De quotient is een Enriques-oppervlak $\Sigma = S/g$ en een elliptische kromme quotient $E_\xi = E/t_\xi$.
  • Representabiliteit: Het morfisme $p_{E_\xi}: X \to E_\xi$ induceert een isomorfisme op $CH_0$, wat de representabiliteit bewijst.
  • Niet-bestaan van Universele 0-cyclus: Het bewijs toont aan dat als een universele 0-cyclus zou bestaan, dit een correspondentie $\Gamma_\Sigma \in CH_1(E_\xi \times \Sigma)$ zou impliceren die aan een specifieke cohomologische conditie voldoet betreffende de étale dubbele covers. Deze conditie blijkt onmogelijk te zijn voor een algemene keuze van parameters, leunend op resultaten van Benoist en Ottem over niet-algebraïsche torsie-krommeklassen.

• Propositie 2.2: Het artikel stelt een equivalentie vast tussen het bestaan van een universele 0-cyclus en de algebraïciteit van de Künneth-projector $\delta_1$ op $X \times X$, mits de Albanese-variëteit een direct summand is in de Jacobiaan van een kromme. Dit koppelt de geometrische eigenschap aan de motivische structuur van $X$.

• Propositie 2.7: Er wordt bewezen dat als de Albanese-afbeelding factoriseert door een kromme $C$ met index 1, een universele 0-cyclus bestaat. Het artikel merkt op dat het omgekeerde niet waar is, door een voorbeeld te geven van een oppervlak met een index $d > 1$ dat desondanks een universele 0-cyclus toelaat.

• Propositie 3.5: De auteur levert een kort bewijs en een milde generalisatie van een resultaat van Benoist en Ottem, dat stelt dat voor een gladde projectieve variëteit $W$ en een niet-nul klasse $\beta \in H^1(W, \mathbb{Z}/k)$, er slechts aftelbare veel elliptische krommen $E$ zijn die een correspondentie $\Gamma$ toelaten zodanig dat $[\Gamma]^*\beta \neq 0$. Dit technische lemma is cruciaal om het niet-bestaan van de vereiste correspondentie in de hoofdconstructie te waarborgen.

• Analyse van Oppervlakken (Sectie 4): Het artikel onderzoekt oppervlakken met $p_g=0$ en $q \neq 0$. Het toont aan dat als een dergelijk oppervlak een quotient is van een product van krommen door een cyclische groep, de index van de Albanese-fibratie 1 is, wat de aanwezigheid van een universele 0-cyclus impliceert. Dit contrasteert met het 3-voud voorbeeld en benadrukt het restrictieve karakter van het tegenvoorbeeld.

Betekenis en Claims
Het artikel beweert een specifieke open vraag in de geometrie van nul-cycli op te lossen door aan te tonen dat de eigenschap van het hebben van een representabele $CH_0$-groep niet garandeert dat er een universele 0-cyclus bestaat.

De constructie steunt op het feit dat de variëteit $X$ torsie bezit in haar integrale Betti-cohomologie. Bijgevolg leidt het niet-bestaan van een universele 0-cyclus voor $X$ tot een tegenvoorbeeld voor de integrale Hodge-conjectuur modulo torsie voor krommeklassen (Hodge-homologie klassen van graad 2) op de viervoud $Alb(X) \times X$.

De auteur merkt op dat de aannames van de hoofdstelling "geometrisch zeer restrictief" zijn, aangezien de representabiliteit van $CH_0$ de Albanese-variëteit dwingt om isomorf te zijn met de Jacobiaan van een kromme. Het artikel claimt geen voorbeelden te construeren zonder torsie in de integrale Betti-cohomologie, wat een open vraag blijft. Het werk dient om de subtiele verschillen tussen representabiliteit, de structuur van de Albanese-afbeelding en de integrale Hodge-conjectuur te verhelderen.