De wereld om ons heen is gevuld met systemen die in de loop van de tijd veranderen, van de kolkende stromingen van een rivier tot de verspreiding van een ziekte door een populatie. Wetenschappers beschrijven deze veranderingen met wiskundige regels die differentiële vergelijkingen worden genoemd. Voor eenvoudige systemen waarbij de onderdelen op een eenvoudige, evenredige manier met elkaar interageren, zijn deze regels goed begrepen en gemakkelijk op te lossen met standaardcomputers. Echter, de meest interessante en complexe fenomenen in de natuur — zoals de turbulentie in een storm of het gedrag van plasma in een ster — bevatten niet-lineaire interacties. In deze gevallen is het effect van een verandering niet simpelweg evenredig aan de oorzaak; kleine verschuivingen kunnen leiden tot volstrekt verschillende uitkomsten. Het oplossen van de vergelijkingen voor deze niet-lineaire systemen is berucht moeilijk voor klassieke computers, en vereist vaak enorme hoeveelheden tijd en energie om een benadering van een oplossing te vinden.

Decennialang hebben onderzoekers gehoopt dat quantumcomputers, die werken volgens de vreemde wetten van de quantummechanica, deze moeilijke problemen veel sneller zouden kunnen oplossen. De uitdaging was dat quantumcomputers fundamenteel lineaire machines zijn; ze evolueren volgens regels die strikt evenredig en voorspelbaar zijn. Ze gaan van nature niet goed om met de chaotische, niet-lineaire interacties die in de echte wereld voorkomen. Om deze kloof te overbruggen, hebben wetenschappers een techniek ontwikkeld genaamd Carleman-linearisering. Deze methode neemt een niet-lineair systeem en tilt het naar een veel hogere dimensie waar het als een lineair systeem kan worden beschreven. Het is alsof je een verwarde knoop van een touw neemt en deze uitrekt tot een lange, rechte lijn; de complexiteit blijft bestaan, maar de regels voor het bewegen ervan worden eenvoudiger. De hoop is dat, zodra het probleem is gelineariseerd, een quantumcomputer het efficiënt kan oplossen. Hiervoor moet de wiskundige transformatie echter stabiel zijn, wat betekent dat de fouten die worden geïntroduceerd door het probleem in een hogere dimensie uit te rekken, niet uit de hand mogen lopen.

Een recente doorbraak door een team onderzoekers van PsiQuantum en Los Alamos National Laboratory heeft het bereik van de niet-lineaire problemen die op deze manier kunnen worden opgelost, aanzienlijk vergroot. In een artikel gepubliceerd in het tijdschrift Quantum, hebben de auteurs technische gebreken gecorrigeerd in eerdere pogingen om deze methode te gebruiken en bewezen dat het werkt voor een veel bredere klasse van fysieke systemen dan voorheen mogelijk werd geacht. Hun werk gaat verder dan de nauwe categorie van systemen die simpelweg energie verliezen in de loop van de tijd, ook wel dissipatieve systemen genoemd, en omvat systemen die stabiel zijn maar niet noodzakelijkerwijs energie verliezen, evenals systemen die oscilleren of grootheden zoals massa of impuls behouden. Door strikte voorwaarden vast te stellen waaronder de wiskundige fouten klein blijven, hebben zij aangetoond dat quantumcomputers op een dag deze complexe, real-world dynamica kunnen simuleren met een snelheid die klassieke computers niet kunnen evenaren.

De kern van de prestatie van de onderzoekers ligt in het herstellen van de wiskundige basis van de Carleman-methode. Eerdere studies suggereerden dat deze aanpak alleen werkte voor systemen waarbij de niet-lineariteit zeer zwak was in vergelijking met het vermogen van het systeem om energie te dissiperen. Het nieuwe werk toont aan dat deze beperking gebaseerd was op onvolledige bewijzen en onjuiste aannames. Het team liet zien dat de methode eigenlijk werkt voor elk stabiel systeem, wat betekent dat het gedrag begrensd blijft en niet explodeert naar oneindig, zelfs als het geen energie verliest. Ze bewezen dat voor elk stabiel systeem er een specifieke wiskundige conditie bestaat die garandeert dat de linearisering convergeert naar het juiste antwoord. Deze conditie hangt af van de interne structuur van het systeem en hoe de onderdelen ermee interageren, in plaats van alleen op hoeveel energie het verliest.

Verder hebben de onderzoekers de resultaten uitgebreid naar systemen die behouden grootheden hebben, zoals de totale hoeveelheid vloeistof in een gesloten container of de totale lading in een elektrische schakeling. Deze systemen zijn vaak marginaal stabiel, wat betekent dat ze noch energie verliezen, noch energie winnen, maar simpelweg een evenwicht handhaven. Eerdere methoden hadden moeite met deze gevallen, maar de nieuwe analyse biedt een manier om hen aan te pakken door specifieke patronen in het gedrag van het systeem te identificeren die de linearisering laten slagen. Ze pakten ook systemen aan die niet-resonant zijn, wat betekent dat de frequenties van hun verschillende onderdelen niet op complexe, vergrendelde manieren met elkaar interageren. Door zorgvuldig de tussenruimte van deze frequenties te analyseren, toonde het team aan dat de methode werkt voor een breed scala aan niet-resonante systemen, inclusief die die het gedrag van licht in niet-lineaire materialen beschrijven. Het artikel merkt expliciet op dat resonante systemen, waarbij frequenties interageren om een vloeiende transformatie naar een lineaire vorm te voorkomen, een veel moeilijkere stabiliteitsanalyse vormen en buiten de reikwijdte van deze specifieke convergentiegaranties vallen.

Het artikel behandelt ook de praktische kant van het draaien van deze simulaties op een quantumcomputer. Het oplossen van de gelineariseerde vergelijkingen is slechts de helft van de strijd; de onderzoekers moesten er ook voor zorgen dat het quantumalgoritme de initiële toestand van het systeem kon voorbereiden en het uiteindelijke antwoord efficiënt kon extraheren. Ze ontwikkelten een nieuwe techniek genaamd een quantum Lyapunov-transformatie, die fungeert als een coördinatenverandering om het probleem gemakkelijker hanteerbaar te maken voor de quantumcomputer. Dit zorgt ervoor dat het algoritme sneller en met minder middelen kan draaien, zelfs voor systemen die niet perfect stabiel zijn. Het team bewees dat voor een specifieke klasse van niet-lineaire oscillatorproblemen, een quantumcomputer een exponentieel voordeel biedt ten opzichte van de beste klassieke methoden. Dit betekent dat naarmate het probleem groter wordt, de tijd die een klassieke computer nodig heeft astronomisch groeit, terwijl de tijd van de quantumcomputer slechts langzaam groeit.

Een van de meest significante aspecten van dit werk is dat het de feiten corrigeert over eerdere claims. De auteurs identificeerden specifieke fouten in de wiskundige bewijzen van eerdere studies, waarbij zij lieten zien dat die bewijzen vertrouwden op aannames die niet altijd waar waren. Door deze fouten te herstellen en nieuwe, rigoureuze bewijzen te leveren, hebben zij een solide fundament gelegd voor toekomstig onderzoek. Hun resultaten zijn niet alleen theoretisch; ze bieden duidelijke criteria die ingenieurs en wetenschappers kunnen gebruiken om te bepalen of een specifiek probleem efficiënt op een quantumcomputer kan worden opgelost. Zo toonden ze bijvoorbeeld aan dat de methode werkt voor systemen waarbij de niet-lineariteit wordt uitgebalanceerd door dissipatie, maar ook voor systemen waarbij de niet-lineariteit wordt uitgebalanceerd door de eigen stabiliteit van het systeem, zelfs zonder energieverlies.

De implicaties van dit werk strekken zich uit tot vele velden die vertrouwen op het simuleren van complexe dynamica. In de vloeistofdynamica bijvoorbeeld, vereist het begrijpen van hoe lucht rond een vleugel stroomt of hoe water door een pijp beweegt vaak het oplossen van niet-lineaire vergelijkingen die momenteel te duur zijn om accuraat te simuleren. Met de nieuwe criteria die in dit artikel zijn vastgesteld, kan het mogelijk worden om deze stromingen op quantumcomputers te simuleren, wat leidt tot betere ontwerpen voor vliegtuigen en efficiëntere watersystemen. Op dezelfde manier, in de plasmafysica, waar het gedrag van geladen deeltjes wordt beheerst door niet-lineaire interacties, kunnen deze methoden helpen bij de ontwikkeling van kernfusie-energie. Het vermogen om deze systemen accuraat te simuleren zou de vooruitgang kunnen versnellen in het oplossen van enkele van de meest prangende energie- en milieuproblemen van onze tijd.

De onderzoekers verkenden ook de grenzen van hun methode en toonden aan dat deze niet voor elk mogelijk niet-lineair systeem werkt. Ze identificeerden specifieke gevallen waarin de wiskundige condities voor convergentie niet worden gehaald, met name in systemen met bepaalde typen resonanties of waar het spectrum van de frequenties van het systeem in een specifieke geometrische ordening valt die de linearisering verhindert om te convergeren. Door duidelijk te definiëren waar de methode wel en waar deze niet werkt, biedt het artikel een realistisch stappenplan voor het vakgebied. Het vermijdt de hype van de claim dat quantumcomputers alles kunnen oplossen, en biedt in plaats daarvan een precieze en betrouwbare gids voor wanneer ze specifieke, belangrijke problemen kunnen oplossen.

Uiteindelijk vertegenwoordigt dit werk een belangrijke stap voorwaarts in de zoektocht naar het inzetten van quantumcomputing voor real-world toepassingen. Het brengt het veld van een staat van hoopvolle speculatie naar een staat van rigoureuze kennis. Door eerdere fouten te corrigeren en het bereik van oplosbare problemen uit te breiden, hebben de onderzoekers de deur geopend naar een nieuw tijdperk van simulatie. Ze hebben aangetoond dat de barrière tussen de lineaire wereld van de quantummechanica en de niet-lineaire wereld van de klassieke fysica niet zo ondoordringbaar is als voorheen gedacht. Met de juiste wiskundige instrumenten kunnen we die kloof nu overbruggen, waardoor quantumcomputers de complexe, dynamische systemen kunnen aanpakken die ons universum vormgeven. De weg vooruit is duidelijk: met deze nieuwe criteria kunnen wetenschappers nu quantumalgoritmen ontwerpen die gegarandeerd werken voor een breed scala aan niet-lineaire problemen, waardoor we dichter bij een toekomst komen waarin quantumcomputers een essentieel instrument zijn voor wetenschappelijke ontdekkingen.