🔢 mathematics

Folkman's theorem and the primes

Dit artikel biedt twee nieuwe bewijzen voor het bestaan van oneindig veel priemgetallen door gebruik te maken van Folkman's stelling, een resultaat uit de additieve Ramsey-theorie.

Oorspronkelijke auteurs: David J. Fernández-Bretón

Gepubliceerd 2026-04-22

📖 6 min leestijd🧠 Diepgaand

CC BY 4.0

Oorspronkelijke auteurs: David J. Fernández-Bretón

Oorspronkelijk artikel gelicentieerd onder CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/). ✨ Dit is een AI-gegenereerde uitleg van het onderstaande artikel. Het is niet geschreven of goedgekeurd door de auteurs. Raadpleeg het oorspronkelijke artikel voor technische nauwkeurigheid. Lees de volledige disclaimer

De Kern: Een Nieuwe Manier om te Bewijzen dat Er Oneindig veel Priemgetallen zijn

Stel je voor dat wiskundigen al eeuwenlang weten dat er oneindig veel priemgetallen zijn (getallen die alleen deelbaar zijn door 1 en zichzelf, zoals 2, 3, 5, 7, 11...). De beroemde Griek Euclidus bewees dit al meer dan 2000 jaar geleden met een heel slim, maar simpel trucje.

Maar wiskundigen houden ervan om bewijzen te vinden op nieuwe manieren. In dit artikel gebruikt de schrijver, David Fernández-Bretón, een heel modern en krachtig gereedschap uit een ander deel van de wiskunde (de Ramsey-theorie) om opnieuw te bewijzen dat er oneindig veel priemgetallen zijn.

Hij noemt dit gereedschap Folkman's Theorem.

De Analogie: De Kleurrijke Verjaardagsfeestjes

Om te begrijpen wat de schrijver doet, moeten we eerst begrijpen wat Folkman's Theorem is.

Stel je voor dat je een gigantische zaal vol mensen hebt (de natuurlijke getallen: 1, 2, 3, 4...). Je geeft iedereen een T-shirt met een bepaalde kleur. Je hebt maar een eindig aantal kleuren (bijvoorbeeld rood, blauw, groen, geel).

Folkman's Theorem zegt:
Zelfs als je de kleuren willekeurig verdeelt, kun je altijd een groepje mensen vinden (laten we zeggen $M$ mensen) die je bij elkaar kunt roepen. Als je willekeurige groepjes van deze mensen samenstelt en hun "getal-waarde" optelt (bijvoorbeeld: de som van hun T-shirt-nummers), dan hebben alle die sommen precies dezelfde kleur.

Het is alsof je een groep vrienden vindt die, ongeacht wie je eruit kiest om samen een taart te eten, altijd dezelfde smaak van taart kiezen. Het is een soort "wiskundige chaos die toch orde creëert".

Het Probleem: Wat als er maar eindig veel priemgetallen zijn?

De schrijver gaat in dit artikel uit van een gedachte-experiment. Hij zegt: "Stel dat er niet oneindig veel priemgetallen zijn, maar slechts een eindig aantal."

Laten we zeggen dat er maar 100 priemgetallen zijn. Dan is de lijst met priemgetallen compleet: 2, 3, 5, ..., tot het 100e priemgetal.

Nu gebruikt hij Folkman's Theorem om een paradox (een onmogelijke situatie) te creëren. Als je aannem dat er maar een eindig aantal zijn, leidt dat tot een situatie die logisch onmogelijk is. En omdat de situatie onmogelijk is, moet de aanname fout zijn. Dus: er moeten oneindig veel priemgetallen zijn.

Hoe werkt het bewijs? (Twee Manieren)

De schrijver geeft twee verschillende manieren om dit te doen.

Methode 1: De "Kleurrijke Identiteitskaart"

Stel je voor dat elk getal een identiteitskaart heeft. Op die kaart staat niet alleen de naam, maar ook een geheim cijfer voor elke priemgetal.

Voor het priemgetal 2 staat er een cijfer over hoeveel keer 2 in het getal zit.
Voor het priemgetal 3 staat er een cijfer over hoeveel keer 3 in het getal zit.
En zo verder voor alle priemgetallen.

De schrijver kleurt elk getal op basis van deze cijfers. Hij gebruikt Folkman's Theorem om een groep getallen te vinden die allemaal exact dezelfde "kleur" (identiteit) hebben.

Het probleem:
Als je twee getallen uit deze groep optelt, verandert er iets met hun "identiteit".

Als twee getallen precies hetzelfde aantal 2'en hebben, dan heeft hun som meer 2'en dan de oorspronkelijke getallen.
Maar volgens de regels van de "kleur" (die we via Folkman's Theorem hebben gekozen) zouden de sommen dezelfde kleur moeten hebben als de oorspronkelijke getallen.

Dit is een botsing! De som heeft een andere identiteit dan de delen waaruit hij bestaat. Dit kan niet als de groep getallen echt "monochromatisch" (één kleur) is. De enige manier om dit op te lossen is door te concluderen dat onze uitgangspunten (dat er maar een eindig aantal priemgetallen zijn) fout zijn.

Methode 2: De "Dikke Boek" en het "Verdunnen"

De tweede methode is iets anders, maar werkt op hetzelfde principe.
Stel je voor dat je een gigantische lijst met getallen hebt. Je wilt er een subgroep uit halen die heel specifiek is: voor elke priemgetal (2, 3, 5...) moeten de getallen in je subgroep allemaal een verschillend aantal van dat priemgetal hebben.

De schrijver gebruikt Folkman's Theorem om een enorm grote groep getallen te vinden die allemaal dezelfde "kleur" hebben. Vervolgens "snoeit" hij deze groep. Hij gooit getallen weg die te veel op elkaar lijken, totdat hij een kleine, perfecte groep overhoudt.

In deze perfecte groep heeft elk getal een unieke "vingerafdruk" voor elke priemgetal.

Getal A heeft 3 keer de factor 2.
Getal B heeft 5 keer de factor 2.
Getal C heeft 1 keer de factor 2.

Als je nu probeert een nieuw getal uit de grote groep toe te voegen aan een som van de andere getallen, botst de wiskunde weer. De som zou een bepaalde eigenschap moeten hebben die onmogelijk is binnen de regels van de groep.

Waarom is dit speciaal?

Je zou kunnen denken: "Waarom doen ze dit? Euclidus' bewijs was al kort en mooi."

De schrijver legt uit dat dit bewijs een mooie brug slaat tussen twee werelden:

Getaltheorie: Het bestuderen van priemgetallen.
Combinatoriek: Het bestuderen van patronen in grote groepen (Ramsey-theorie).

Het bewijs is "simpel" in de zin dat het geen ingewikkelde formules uit de hogere wiskunde nodig heeft (geen ingewikkelde functies of oneindige reeksen). Het gebruikt alleen logisch redeneren en het Huisdierenprincipe (als je 10 konijnen in 9 hokken stopt, moet er in één hok minstens 2 konijnen zitten).

Het is een beetje alsof iemand zegt: "Ik ga bewijzen dat er oneindig veel sterren zijn, niet door naar de sterren te kijken, maar door te zeggen dat als er maar een eindig aantal waren, de ruimte op een heel rare manier zou moeten 'knikken'."

Conclusie

David Fernández-Bretón heeft laten zien dat je de oneindigheid van priemgetallen kunt bewijzen met een krachtig wiskundig principe dat zegt: "In elke grote, chaotische verzameling zit altijd een klein, perfect geordend stukje."

Door te laten zien dat deze "orde" niet kan bestaan als er maar een eindig aantal priemgetallen zijn, bewijst hij dat er oneindig veel moeten zijn. Het is een elegante, nieuwe dans op de muziek van de oude wiskunde.

Titel: Folkman's Theorem en de priemgetallen

Auteur: David J. Fernández-Bretón
Context: Een nieuw bewijs voor de onbeperkte hoeveelheid priemgetallen, gebaseerd op Ramsey-theorie.

1. Het Probleem en de Achtergrond

Het artikel richt zich op een actieve onderzoekslijn die nieuwe, niet-triviale bewijzen zoekt voor de infinitude van priemgetallen (het bewijs van Euclides) door middel van Ramsey-theoretische resultaten.

Bestaande literatuur: Eerdere bewijzen gebruikten stellingen zoals die van van der Waerden (Alpoge), Schur (Gasarch, Elsholtz) en Roth (Elsholtz). Deze bewijzen combineerden vaak Ramsey-stellingen met diepe stellingen uit de getaltheorie (zoals de Stelling van Fermat over sommen van kwadraten of de Laatste Stelling van Fermat).
De conjectuur: Elsholtz had eerder geconjectureerd dat Folkman's stelling (of Hindman's stelling) ook gebruikt kon worden om de infinitude van priemgetallen te bewijzen, mogelijk in combinatie met complexe getaltheoretische observaties.
Het doel van dit artikel: Twee nieuwe, zelfstandige bewijzen leveren die uitsluitend Folkman's stelling gebruiken, zonder beroep te doen op ingewikkelde stellingen uit de getaltheorie.

2. Methodologie en Kernconcepten

De auteur gebruikt twee verschillende bewijstechnieken die beide gebaseerd zijn op Folkman's stelling.

Folkman's Stelling (Kernbegrip):
Voor elke kleuring $c$ van de natuurlijke getallen $\mathbb{N}$ met een eindig aantal kleuren, en voor elke $M \in \mathbb{N}$ , bestaat er een verzameling $X \subseteq \mathbb{N}$ met $|X| = M$ , zodanig dat de verzameling van alle eindige sommen van elementen uit $X$ (zonder herhaling), genoteerd als $FS(X)$, monochromatisch is (alle sommen hebben dezelfde kleur).

Notatie en Getaltheoretische hulpmiddelen:

$\nu_p(n)$ : De $p$ -adische orde van $n$ (het hoogste vermogen van $p$ dat $n$ deelt).
$\xi_p(n)$ : Het deel van $n$ dat niet deelbaar is door $p$ (dus $n = p^{\nu_p(n)} \cdot \xi_p(n)$ ).
Een cruciaal elementair feit: Als $\nu_p(a) < \nu_p(b)$ , dan geldt $\nu_p(a+b) = \nu_p(a)$ .

De aanpak:
Beide bewijzen gaan uit van een reductie tot het absurde:

Neem aan dat de verzameling van priemgetallen $P$ eindig is met grootte $N$ .
Definieer een specifieke kleuring $c$ van de natuurlijke getallen die informatie bevat over de $p$ -adische ordenen en de restklassen van de coëfficiënten.
Pas Folkman's stelling toe om een grote verzameling $X$ te vinden waarvan alle eindige sommen dezelfde kleur hebben.
Toon aan dat de structuur van deze monochromatische sommen leidt tot een contradictie (meestal door te concluderen dat een som gelijk is aan een van de termen, wat impliceert dat een term 0 is, wat onmogelijk is voor niet-nul elementen).

3. De Bewijzen

Bewijs 1: Kleuring gebaseerd op pariteit en restklassen

Kleuring: $c(n)$ $c (n)$ wordt gedefinieerd als een vector die bestaat uit:
- De pariteit van $\nu_2(n)$ (modulo 2).
- De restklasse van $\xi_2(n)$ modulo 4.
- De restklassen van $\xi_p(n)$ modulo $p$ voor alle andere priemgetallen $p \in P \setminus \{2\}$ .
Toepassing: Folkman's stelling wordt toegepast met $M = N + 1$ . Er bestaat dus een verzameling $X$ met $N+1$ elementen waarvan alle sommen dezelfde kleur hebben.
Reductie:
- Claim 1 & 2: Door de monochromatische eigenschap te analyseren, wordt bewezen dat voor elk priemgetal $p$ , alle elementen in $X$ verschillende waarden moeten hebben voor $\nu_p$ . Als twee elementen dezelfde $\nu_p$ zouden hebben, zou hun som een andere $\nu_p$ -waarde hebben (door de eigenschap van sommen van getallen met gelijke orde), wat de monochromatie schendt.
- Contradictie: Omdat er $N$ priemgetallen zijn en $N+1$ elementen in $X$ , kan men een subset van $X$ selecteren die "minimale" $\nu_p$ -waarden dekt. Door een extra element $a$ toe te voegen, ontstaat een som waarbij voor alle $p$ de orde van de som gelijk blijft aan de orde van de oorspronkelijke som. Dit leidt tot $a = 0$ , een contradictie.

Bewijs 2: Kleuring gebaseerd op pariteit en het Pigeonhole-principe

Kleuring: Een eenvoudigere kleuring: $c(n) = (\nu_p(n) \pmod 2 \mid p \in P)$ . Dit gebruikt $2^N$ kleuren.
Grootte van de verzameling: Hier wordt een veel grotere verzameling $X$ vereist, met grootte $M = (N+1) \prod_{p \in P} p^4$ .
Reductie:
- Claim 3: Er wordt bewezen dat er binnen $X$ niet meer dan $p^4$ elementen kunnen zijn met dezelfde waarde voor $\nu_p(a)$ . Dit wordt bewezen met het Pigeonhole-principe (duifkooiprincipe) en een analyse van de sommen van de coëfficiënten $\xi_p$ . Als er te veel elementen met dezelfde orde zijn, kan men een som construeren die de orde verandert (van $\alpha$ naar $\alpha+1$ ), wat de monochromatie schendt.
- Verdunning: Omdat $X$ zeer groot is, kan men een subset $Z \subseteq X$ selecteren (door te "verdunnen") zodat voor elke $p$ en elke $\alpha$ , er hooguit één element in $Z$ is met $\nu_p(a) = \alpha$ . De grootte van $Z$ blijft groot genoeg ( $|Z| \ge N+1$ ).
- Contradictie: Net als in het eerste bewijs wordt een subset van $Z$ gebruikt om een som te construeren die leidt tot $a=0$ .

4. Belangrijkste Bijdragen en Resultaten

Bevestiging van een conjectuur: Het artikel bevestigt de conjectuur van Elsholtz dat Folkman's stelling (of Hindman's stelling) gebruikt kan worden om de infinitude van priemgetallen te bewijzen.
Vermijding van diepe getaltheorie: In tegenstelling tot eerdere Ramsey-gebaseerde bewijzen (zoals die van Gasarch of Alpoge), gebruiken deze bewijzen geen complexe stellingen uit de getaltheorie (zoals de Laatste Stelling van Fermat of stellingen over sommen van kwadraten).
Combinatorische zuiverheid: De enige "zware" wiskundige tool die wordt gebruikt is Folkman's stelling zelf. Voor het tweede bewijs is het meest geavanceerde hulpmiddel het Pigeonhole-principe.
Vergelijking met eerdere werken:
- Het bewijs is complexer dan Euclides' klassieke bewijs.
- Het is echter simpeler dan bewijzen die van der Waerden's stelling gebruiken, omdat Folkman's stelling (via ultrafilters of elementaire methoden) minder complex is om te bewijzen dan van der Waerden's stelling.

5. Significatie

Dit artikel draagt bij aan de groeiende literatuur die de link legt tussen combinatoriek (Ramsey-theorie) en getaltheorie. Het toont aan dat fundamentele eigenschappen van priemgetallen (hun onbeperkte hoeveelheid) kunnen worden afgeleid uit de structuur van sommen in gekleurde verzamelingen, zonder terug te grijpen op de diepe analytische of algebraïsche structuren die traditioneel nodig zijn.

Het werk illustreert ook de kracht van Folkman's stelling als een veralgemening van Schur's stelling en een eindige versie van Hindman's stelling, en biedt een alternatief pad voor het bewijzen van klassieke stellingen in de getaltheorie.