The strange story of an almost unknown prime number counter: The Rafael Barrett formula

Dit artikel presenteert en analyseert de in 1903 door Rafael Barrett ontwikkelde, decennialang onbekende formule voor het tellen van priemgetallen, die in 1935 door een Uruguayaanse wiskundige werd herontdekt en gepubliceerd.

De kern

Stel je voor dat wiskunde een enorme, oude bibliotheek is. In deze bibliotheek staan boeken vol met formules, maar sommige liggen verstopt in de kelder, vergeten door de tijd. Dit artikel vertelt het verhaal van zo'n vergeten schat: een wiskundige formule die werd bedacht door een schrijver, niet door een wiskundige.

Hier is het verhaal, vertaald naar gewoon Nederlands, met een paar leuke vergelijkingen.

De Schrijver die Wiskunde Hield

De hoofdpersoon is Rafael Barrett. Hij was geen saaie wiskundige in een witte jas. Hij was een beroemd essayist, een dichter, een "homme de lettres" (een man van de letteren). Hij werd geboren in Spanje, maar verhuisde naar Zuid-Amerika. Hij zag hoe zijn nieuwe thuisland, Paraguay, verwoest was door een verschrikkelijke oorlog. Barrett schreef veel over de armoede en het lot van dat land.

Maar Barrett had ook een geheim. In 1903 schreef hij een brief aan een beroemde Franse wiskundige, Henri Poincaré. In die brief stopte hij een wiskundige formule. Een formule die een heel specifiek probleem oplost: Hoe tel je hoeveel priemgetallen er zijn onder een bepaald getal?

Priemgetallen zijn getallen die alleen deelbaar zijn door 1 en zichzelf (zoals 2, 3, 5, 7, 11...). Ze zijn als de atomen van de wiskunde: onvoorspelbaar en lastig te vinden.

Het Verborgen Schatkaartje

Barrett stierf in 1910, op jonge leeftijd, en zijn brief werd vergeten. Pas in de jaren '30, in Uruguay, vond een wiskundige genaamd Eduardo García de Zúñiga dit stukje papier weer. Hij dacht: "Wacht even, dit is geniaal!"

Hij ontdekte dat Barrett een manier had gevonden om priemgetallen te tellen met een formule die eruitzag als een ingewikkeld recept. Het was alsof Barrett een magische sleutel had gemaakt die het slot van de priemgetallen kon openen.

Hoe werkt de formule? (De Vergelijking)

Stel je voor dat je een grote zak met knikkers hebt. Sommige knikkers zijn "normaal" (zoals 4, 6, 8) en sommige zijn "speciaal" (de priemgetallen). Je wilt weten hoeveel speciale knikkers er in de zak zitten voordat je bij getal 100 komt.

Normaal gesproken moet je ze één voor één tellen. Maar Barrett bedacht een formule die dit doet als een automatische teller.

• Als je de formule invoert met het getal 6, zegt hij: "Er zijn 4 speciale knikkers."
• Als je het getal 10 invoert, zegt hij: "Er zijn 5 speciale knikkers."

De formule zelf ziet eruit als een soort wiskundige machine met veel haakjes en breuken. Het geheim zit hem in een oude wiskundige regel (de stelling van Wilson), die Barrett slim heeft omgebouwd. Het is alsof hij een ingewikkeld slot heeft geopend door de juiste sleutel te draaien op het juiste moment.

Het Grote Raadsel

Het artikel stelt een interessante vraag aan het einde. Wiskundigen weten al lang dat als je heel, heel ver telt (naar oneindig), de verdeling van priemgetallen een bepaald patroon volgt. Dit is als een mist die langzaam opklaart als je ver genoeg kijkt.

De vraag is: Kan Barrett's formule ons helpen om dat grote patroon te zien?

Stel je voor dat Barrett's formule een heel gedetailleerde kaart is van één klein bosje. We weten dat er een groot bos is (de wiskundige wet), maar kunnen we vanuit dit ene bosje de hele wereldkaart tekenen?

De auteurs zeggen: "Misschien wel, als we een slimme truc (een 'heuristic') vinden." Ze verwijzen naar een beroemd boek waarin wetenschappers met statistische trucs hetzelfde patroon vonden. Ze hopen dat Barrett's formule, die al zo lang vergeten lag, misschien de sleutel is om die grote wet nog mooier of sneller te begrijpen.

Samenvatting

Kortom, dit artikel is een eerbetoon aan een vergeten genie. Het laat zien dat:

1. Wiskunde overal zit: Zelfs in de brieven van een beroemd essayist die over oorlog en armoede schreef.
2. Vergeten ideeën kunnen terugkomen: Een formule uit 1903 werd in 1935 weer ontdekt en is nu weer actueel.
3. De zoektocht gaat door: We hebben een slimme manier om priemgetallen te tellen, maar de grote vraag is of we hiermee het allerlaatste mysterie van de wiskunde kunnen oplossen.

Het is een verhaal over hoe creativiteit en wiskunde elkaar kunnen vinden, zelfs als het al decennia lang stil is in de bibliotheek.

Technische samenvatting

Technische Samenvatting: De Rafael Barrett-formule voor het tellen van priemgetallen

Probleemstelling
Het artikel adresseert een historisch en wiskundig raadsel: de ontdekking en analyse van een formule voor het tellen van priemgetallen (de priemgetal-functie, $\pi(n)$) die werd ontwikkeld door de schrijver en essayist Rafael Barrett in 1903. Hoewel de asymptotische verdeling van priemgetallen (de Priemgetalstelling, $\pi(n) \sim n/\ln(n)$) al in 1896 door Hadamard en La Vallée Poussin was bewezen, bleef Barrett's specifieke constructie voor het exact tellen van priemgetallen $p < n$ decennialang onbekend. Het artikel onderzoekt de oorsprong van deze formule, de wiskundige onderbouwing en de vraag of deze formule kan leiden tot een heuristische afleiding van de Priemgetalstelling.

Methodologie
De auteur, Eduardo Mizraji, hanteert een historisch-analytische benadering:

1. Historisch onderzoek: Het artikel reconstrueert de geschiedenis van de formule, die oorspronkelijk werd geschreven in een brief van Barrett aan Henri Poincaré. De formule werd pas in de jaren 1930 herontdekt door de Uruguayaanse wiskundige Eduardo García de Zúñiga en in 1935 gepubliceerd.
2. Wiskundige analyse: De kern van de analyse ligt in het onthullen van de wiskundige basis van Barrett's formule. García de Zúñiga toonde aan dat de formule voortkomt uit Wilson's Stelling.
   • Wilson's Stelling stelt dat een getal $p$ een priemgetal is dan en slechts dan als $(p-1)! \equiv -1 \pmod p$.
   • Barrett gebruikte deze eigenschap om een indicatorfunctie te construeren die het aantal priemgetallen telt.
3. Formulering: De formule zelf (aangeduid als $Barr(n)$) wordt gepresenteerd als een sommatie die gebruikmaakt van sinusfuncties en faculteiten om te filteren welke getallen priem zijn. De correcte formule luidt:
   $$Barr(n) = 3 + \sum_{k=5}^{n-1} \frac{\sin\left(\frac{(k-1)!\pi}{k}\right)}{\sin\left(\frac{\pi}{k}\right)}$$
   (Opmerking: De sommatie begint bij $k=5$ omdat de priemgetallen 2 en 3 niet in het bereik vallen; de constante 3 telt deze twee priemgetallen expliciet op. De term in de sommatie fungeert als een schakelaar: wanneer $k$ een priemgetal is, geldt volgens Wilson's Stelling dat $(k-1)! \equiv -1 \pmod k$, wat leidt tot een specifieke waarde in de sinusfunctie die de term gelijk maakt aan 1. Voor samengestelde getallen is de term 0.)
4. Vergelijking met heuristieken: Het artikel vergelijkt de mogelijkheid om vanuit Barrett's exacte formule de limiet (de Priemgetalstelling) af te leiden met een bekende heuristische methode beschreven door Courant en Robbins (geïnspireerd door Gustav Hertz), die gebruikmaakt van Stirling's benadering en Legendre's stelling.

Belangrijkste Bijdragen

• Herontdekking en documentatie: Het artikel brengt een vergeten wiskundig werk van een literaire figuur (Rafael Barrett) weer onder de aandacht en documenteert de geschiedenis van de publicatie ervan door García de Zúñiga.
• Wiskundige validatie: Het bevestigt dat Barrett's formule correct is en direct voortvloeit uit Wilson's Stelling. De auteur voegt bovendien een nieuwe bewijsvoering toe in de appendix om de geldigheid van de formule te onderstrepen, met name de correctie van de eerdere interpretatie van de sinus-termen.
• Conceptueel kader: Het artikel plaatst de formule in de context van de relatie tussen exacte priemtellers en asymptotische limieten.

Resultaten

• De formule $Barr(n)$ werkt correct voor het tellen van priemgetallen kleiner dan $n$. Voorbeelden uit de tekst illustreren dit: $Barr(6) = Barr(7) = 4$ (aantal priemgetallen: 2, 3, 5, en destijds 1), $Barr(12) = Barr(13) = 6$, enz.
• Het artikel bevestigt dat de formule een "onbegrensde priemteller" is.
• Er wordt geconcludeerd dat het direct afleiden van de asymptotische limiet (de Priemgetalstelling) uit Barrett's formule waarschijnlijk onmogelijk is zonder een zeer ingenieuze heuristiek. De complexe aard van de sommatie en de afhankelijkheid van faculteiten maken een directe overgang naar de gladde functie $n/\ln(n)$ niet triviaal.

Significantie
Het artikel heeft een dubbele waarde:

1. Historisch: Het verrijkt de biografie van Rafael Barrett, die voornamelijk bekendstaat als een schrijver en essayist, door zijn bijdrage aan de getaltheorie te belichten. Het illustreert de kruisbestuiving tussen literatuur en wiskunde in het begin van de 20e eeuw in Zuid-Amerika.
2. Wiskundig: Het biedt een interessant perspectief op de relatie tussen discrete wiskunde (exacte telling via Wilson's stelling) en continue analyse (asymptotische gedrag). Het artikel stelt een uitdagende vraag aan de wiskundige gemeenschap: Is er een heuristische weg om de Priemgetalstelling te verkrijgen uit Barrett's formule? Dit raakt aan de diepere vraag hoe discrete structuren kunnen worden vertaald naar continue asymptotische wetten.

Kortom, het artikel presenteert Barrett's formule niet als een revolutionaire nieuwe manier om priemgetallen te vinden (aangezien de berekening computationally zwaar is door de faculteiten), maar als een fascinerend historisch artefact dat de verbinding legt tussen klassieke stellingen en de zoektocht naar de fundamentele wetten van priemgetallen.