Pion bremsstrahlung in the splitting function formalism and the dark photon production

Titel: Pion-bremstraling in het formalisme van splitsingsfuncties en de productie van donkere fotonen

Auteurs: D. Gorbunov en E. Kriukova
Instituut: Instituut voor Kernonderzoek van de Russische Academie van Wetenschappen (INR), Moskou.

---

1. Het Probleem en de Context

Het artikel onderzoekt de productie van hypothetische vectorportaal-mediators, zogenaamde donkere fotonen ($\gamma'$ of $A'$), met massa's in het bereik van 0,4 tot 3,5 GeV. Deze productie vindt plaats in botsingen tussen negatief geladen pionen en protonen ($\pi^- p \to \gamma' X$).

De motivatie voor dit onderzoek is tweeledig:

1. Experimentele relevantie: Er zijn diverse experimenten geplanned of actief (zoals NA64h bij CERN, SpinQuest bij Fermilab, T2K, DUNE en SHiP) die op zoek zijn naar donkere materie via het "vectorportaal". In deze experimenten worden secundaire pionen geproduceerd die kunnen bijdragen aan de productie van donkere fotonen.
2. Theoretische tekortkomingen: Een eerdere studie [7] stelde dat pion-bremstraling een dominante productie-mechanisme zou zijn in experimenten zoals SpinQuest, gebaseerd op berekeningen met Chirale Perturbatietheorie (ChPT) op de laagste orde (Leading Order - LO). De auteurs van dit artikel betwisten de geldigheid van deze ChPT-benadering voor de hoge energieën die in deze experimenten voorkomen.

2. Methodologie

De auteurs hanteren een tweeledige aanpak om de productie van donkere fotonen nauwkeuriger te modelleren dan voorgaande werken:

A. Kritische analyse van ChPT (Hoofdstuk 2)

De auteurs tonen aan dat LO ChPT niet toepasbaar is voor de beschrijving van elastische $\pi^- p$-verstrooiing bij de energieën van het NA64h-experiment (pionbundel van 50 GeV).

• Redenering: ChPT is een effectieve veldtheorie voor lage energieën. Bij een bundelenergie van 50 GeV ligt het middelpuntsenergie ($\sqrt{s} \approx 5$ GeV) ver buiten het bereik waar de uitbreidingsparameter $Q/(4\pi F)$ klein is.
• Resultaat: Berekeningen tonen aan dat de differentiaalwerkzame doorsnede ($d\sigma/d\cos\theta$) berekend met LO ChPT sterk afwijkt van experimentele data (Fermilab). Het beperken van de hoek of de overgedragen energie ($t$) lost dit fundamentele probleem niet op. Resonanties (zoals $\Delta$-baryonen en $\rho$-mesonen) die bij deze energieën belangrijk zijn, worden niet correct beschreven door de LO ChPT Lagrangiaan.

B. Nieuwe aanpak: Factorisatie en Splitsingsfunctie (Hoofdstuk 3)

Om de inelastische pion-bremstraling ($\pi^- p \to \gamma' X$) te berekenen, introduceren de auteurs een factorisatieformalisme gebaseerd op de Altarelli-Parisi splitsingsfunctie.

• Concept: Het proces wordt gefactoriseerd in een splitsingsfunctie $w_\pi(z, k_\perp^2)$ (de waarschijnlijkheid dat een pion een donker foton uitzendt) en de totale werkzame doorsnede van de onderliggende inelastische $\pi^- p$-verstrooiing.
• Formalisme: Ze gebruiken covariante Feynman-diagramtechnieken en introduceren een fenomenologische, off-shell hadronische vormfactor $F_{virt}$ om de virtualiteit van het tussenliggende pion te regelen.
• Polarisatie: Er wordt een correctie (Dawson-correctie) toegepast op de som over polarisaties van het massieve donkere foton om unitairiteit te behouden en de Goldstone-modus correct te behandelen.
• Data: De totale werkzame doorsnede voor $\pi^- p$ wordt niet uit ChPT gehaald, maar uit een empirische fit van experimentele data (PDG) voor $\sqrt{s} \ge 5$ GeV.

C. Drell-Yan-achtig proces in pQCD (Hoofdstuk 4)

Voor zwaardere donkere fotonen (massa > 1,3 GeV) is het bremstraling-mechanisme minder dominant. De auteurs berekenen daarom ook de bijdrage van het Drell-Yan-achtige proces ($q\bar{q} \to \gamma'$) binnen de perturbatieve Kwantumchromodynamica (pQCD).

• Berekeningen worden uitgevoerd op Leading Order (LO) en Next-to-Leading Order (NLO).
• Er worden parton-distributiefuncties (PDF's) gebruikt voor zowel het pion als het proton.

3. Belangrijkste Resultaten

Werkzame Doorsnede en Dominantie

De vergelijking van de totale werkzame doorsneden voor een pionbundel van 50 GeV (NA64h) toont een duidelijk onderscheid in dominantie gebaseerd op de massa van het donkere foton ($m_{\gamma'}$):

• 0,4 – 1,3 GeV: Het inelastische pion-bremstraling is het dominante productie-mechanisme. Dit wordt versterkt door de pion elektromagnetische vormfactor $F_{em}^\pi(m_{\gamma'}^2)$, die resonanties zoals $\rho(770)$ en $\rho'(1450)$ meeneemt (resulteert in pieken en dalen in de doorsnede).
• 1,3 – 3,5 GeV: Het Drell-Yan-achtige pQCD-proces wordt dominant.
• Conclusie: De eerdere studie [7] die ChPT gebruikte, overschatte waarschijnlijk de bremstraling bij hoge massa's of gebruikte een methode die buiten haar geldigheidsgebied viel.

Energieverdeling

De auteurs analyseren de energieverdeling van de geproduceerde donkere fotonen:

• Bremstraling: Produceert een significant aantal hoog-energetische donkere fotonen (energieën dicht bij de bundelenergie $P$). Dit is gunstig voor detectie in experimenten zoals NA64h, waar "missing energy" het belangrijkste signaal is.
• Drell-Yan: De piek in het energiespectrum ligt bij lagere energieën ($E_{\gamma'} < P/2$).
• Discriminatie: Voor massa's rond 1,3 GeV waar beide mechanismen bijdragen, kan de gemiddelde energie van het signaal worden gebruikt om het productie-mechanisme te identificeren.

Toepassing op Andere Experimenten

De auteurs schatten de gemiddelde energieën van donkere fotonen geproduceerd door secundaire pionen in experimenten met protonbundels:

• T2K, DUNE, SHiP: Ze berekenen de effectieve impuls van secundaire pionen en de bijbehorende gemiddelde energie van donkere fotonen.
• Ze tonen aan dat voor experimenten met lagere proton-energieën (zoals T2K) de bijdrage van pion-bremstraling beperkt blijft tot lichtere donkere fotonen, terwijl bij hogere energieën (SHiP) het bereik groter is.

4. Bijdragen en Significatie

1. Theoretische Correctie: Het artikel weerlegt de toepassing van LO ChPT voor pion-bremstraling bij hoge energieën (50 GeV) en biedt een robuust alternatief gebaseerd op factorisatie en empirische data.
2. Nieuw Formalisme: De afleiding van een nieuwe splitsingsfunctie voor geladen pionen ($w_\pi$) die specifiek is ontworpen voor de productie van massieve vectorbosonen in inelastische verstrooiing.
3. Experimentele Implicaties:
   • NA64h: De studie ondersteunt de haalbaarheid van het zoeken naar donkere fotonen in het massa-bereik 0,4–1,3 GeV via pion-bremstraling, omdat het mechanisme hier dominant is en hoog-energetische signalen levert.
   • SpinQuest/DarkQuest: De conclusies vragen om een herwaardering van de verwachtingen voor het SpinQuest-experiment en zijn opvolger, aangezien de eerdere conclusie dat bremstraling verwaarloosbaar is ten opzichte van Drell-Yan (of vice versa, afhankelijk van de interpretatie van de oude paper) mogelijk gebaseerd was op een onjuiste theoretische basis.
4. Complementaire Mechanismen: Het werk benadrukt dat zowel bremstraling als Drell-Yan nodig zijn voor een compleet beeld over het volledige massa-bereik van 0,4 tot 3,5 GeV, en dat hun onderscheidende energieverdelingen een nuttig hulpmiddel zijn voor data-analyse.

Samenvattend: Dit artikel levert een essentiële correctie op de theoretische modellering van donkere foton-productie in pion-proton botsingen, vervangt een ongeschikte effectieve theorie door een data-gedreven factorisatiebenadering, en biedt concrete voorspellingen voor de detectie in lopende en toekomstige experimenten.