A Discontinuous Galerkin Consistent Splitting Method for the Incompressible Navier-Stokes Equations

1. Probleemstelling

Het artikel behandelt de numerieke simulatie van transiënte, incompressibele Navier-Stokes-stromingen. De belangrijkste uitdagingen op dit gebied zijn:

• Koppelingscomplexiteit: Standaard monolithische benaderingen (waarbij snelheid en druk gelijktijdig worden opgelost) resulteren in grote lineaire systemen van het zadelpunttype die moeilijk te preconditioneren en efficiënt op te lossen zijn, vooral voor methoden van hoge orde.
• Splitsingsfouten: Traditionele projectie- of fractionele-stapmethoden ontkoppelen snelheid en druk om het systeem te vereenvoudigen. Deze methoden introduceren echter vaak "splitsingsfouten", wat leidt tot spurious drukgrenslagen en de temporele nauwkeurigheid beperkt tot de eerste of tweede orde, ongeacht de orde van de ruimtelijke discretisatie.
• Randvoorwaarden: Het afdwingen van consistente randvoorwaarden voor de Poisson-vergelijking voor druk (PPE) in discontinu Galerkin (DG)-omgevingen, met name voor open randen en trekkrachtgrenzen, is niet triviaal.
• Stabiliteit versus Efficiëntie: Volledig impliciete schema's zijn robuust maar vereisen het oplossen van niet-lineaire systemen. Expliciete schema's zijn goedkoop maar lijden onder strikte CFL-beperkingen.

2. Methodologie

De auteurs stellen een ruimtelijke discretisatie met Discontinuous Galerkin (DG) voor van het Consistent Splitting Scheme dat oorspronkelijk door Liu (2009) werd voorgesteld, aangepast voor nauwkeurigheid en robuustheid van hoge orde.

A. Temporele Discretisatie

De methode maakt gebruik van Backward Differentiation Formulae (BDF) voor tijdsintegratie. Het schema ontkoppelt de impuls- en drukvergelijkingen in twee opeenvolgende stappen per tijdstap:

1. Impulsstap: Oplossing van een lineair impliciete convectie-diffusie-reactievergelijking voor de snelheid. Het convectieve term wordt op een lineair impliciete manier behandeld (met behulp van geëxtrapoleerde snelheden), wat de CFL-beperking van expliciete schema's verlicht zonder dat het oplossen van niet-lineaire systemen vereist is.
2. Drukstap: Oplossing van een Poisson-vergelijking voor druk (PPE) om de druk bij te werken.

B. Consistente Splitsing en Randvoorwaarden

In tegenstelling tot klassieke projectiemethoden, dwingt dit schema de divergentievrije constraint impliciet af via een PPE die wordt afgeleid door de divergentie van de impulsvergelijking te nemen.

• Consistente RB's: De drukrandvoorwaarden worden strikt afgeleid uit de impulsvergelijking en de trekkrachtvoorwaarden.
• DG-fluxen: Door specifieke fluxen te selecteren voor de divergentie van de convectieve operator en de snelheidsdivergentie, tonen de auteurs aan dat de consistente drukrandvoorwaarde reduceert tot bijdragen uitsluitend van het acceleratieterm en het viskeuze term. Dit vereenvoudigt de implementatie aanzienlijk.

C. Massabehoud en Stabilisatie

Om het feit aan te pakken dat consistente splitsing niet strikt een puntsgewijze divergentievrije snelheid afdwingt:

• Leray-projectie: Er wordt gebruik gemaakt van een Helmholtz-Leray-decompositie. Om de rekenkosten van het oplossen van een extra Poisson-vergelijking voor de projectievariabele bij elke stap te vermijden, introduceren de auteurs een Gewijzigde Drukvariabele ($\hat{p}$). Deze variabele combineert de geëxtrapoleerde druk en de Leray-correctieterm, waardoor het schema hoge-orde nauwkeurigheid en massabehoud kan behouden terwijl er slechts één PPE per tijdstap wordt opgelost.
• Straftermen: Het schema bevat divergentiestraftermen en normale continuïteitsstraftermen (vergelijkbaar met $H(\text{div})$-conforme methoden) om massabehoud en stabiliteit te verbeteren.

D. Ruimtelijke Discretisatie

• Methode: Symmetric Interior Penalty Galerkin (SIPG) wordt gebruikt voor afgeleiden van de tweede orde.
• Polynoomgraden: De methode maakt gebruik van inf-sup stabiele koppelingsparen ($k_u = k_p + 1$) om stabiliteit te garanderen, hoewel de aard van de consistente splitsing beoogt de strengheid van deze eis te verminderen in vergelijking met monolithische methoden.
• Omgaan met werveling: Voor het viskeuze term in de randvoorwaarden (curl-curl vorm) berekenen de auteurs de werveling via $L^2$-projectie om te voorkomen dat de term moet worden herschreven naar eerste afgeleiden, wat de nauwkeurigheid in DG-omgevingen zou verslechteren.

3. Belangrijkste Bijdragen

1. DG-formulering van Consistente Splitsing: Dit is het eerste werk dat een DG-discretisatie van hoge orde presenteert van Liu's consistente splitsingsschema, waarbij de robuustheid van DG in convectie-gedomineerde regimes wordt gecombineerd met de nauwkeurigheid van consistente splitsing.
2. Gewijzigde Drukvariabele: De introductie van de gewijzigde drukvariabele ($\hat{p}$) elimineert de noodzaak voor een expliciete, aparte Leray-projectiestap, wat de rekenoverhead vermindert terwijl optimale convergentiesnelheden en massabehoud worden behouden.
3. Lineair Impliciete Behandeling van Convectie: Het schema bereikt een balans tussen stabiliteit en efficiëntie door convectie lineair impliciet te behandelen, waardoor grotere tijdstappen mogelijk zijn dan bij expliciete schema's zonder de kosten van niet-lineaire oplosmethoden.
4. Vereenvoudigde Randvoorwaarden: De afleiding toont aan dat voor $L^2$-conforme DG, de complexe randtermen in de PPE wegvallen, waardoor alleen bijdragen van acceleratie en viscositeit overblijven, wat de implementatie van open en trekkrachtgrenzen vereenvoudigt.
5. Stabiliteit van Hoge Orde: De methode toont compatibiliteit met BDF-schema's van hoge orde (tot BDF-4), waardoor de typische beperkingen van splitsingsfouten van projectiemethoden van lagere orde worden overwonnen.

4. Numerieke Resultaten

De methode is gevalideerd door middel van uitgebreide numerieke experimenten:

• Gefabriceerde Oplossing (2D Taylor-Green Vortex):
  • Geverifieerde optimale convergentiesnelheden zowel in de ruimte ($O(h^{k+1})$) als in de tijd ($O(\Delta t^J)$) voor BDF-1 tot BDF-4.
  • Bevestigd dat de Leray-projectie (via de gewijzigde druk) essentieel is; zonder deze verslechteren de convergentiesnelheden.
• Stroming rond een Cilinder (2D Benchmark):
  • Resultaten voor weerstand, lift en drukverschil kwamen overeen met state-of-the-art referentiewaarden (inclusief resultaten van hoge fideliteit met DG) met hoge precisie.
  • Toonde temporele stabiliteit aan voor CFL-getallen tot 16 met de lineair impliciete formulering, wat expliciete schema's aanzienlijk overtreft.
  • Toonde aan dat BDF-3 en BDF-4 een hogere nauwkeurigheid bieden dan BDF-2 voor dezelfde tijdstapgrootte.
• 3D Taylor-Green Vortex (Turbulentie Benchmark):
  • Simulatie van de overgang naar turbulentie bij $Re=1600$.
  • Vergelijking met het Dual Splitting Scheme (Karniadakis et al.) en volledig impliciete gekoppelde oplosmethoden.
  • Het consistente splitsingsschema produceerde resultaten die vergelijkbaar waren met het dual splitting schema en de gekoppelde aanpak, maar met het voordeel dat splitsingsfouten worden vermeden.
  • Toonde aan dat het gebruik van $J_c = J-1$ (lagere extrapolatieorde voor het convectieve term in de PPE) de stabiliteit verbetert voor BDF-schema's van hoge orde zonder nauwkeurigheid op te offeren.

5. Betekenis

Dit werk vormt een belangrijke stap voorwaarts in high-fidelity computational fluid dynamics (CFD):

• Efficiëntie: Door snelheid en druk te ontkoppelen, vermijdt de methode de dure lineaire systemen van het zadelpunttype, waardoor het gebruik mogelijk wordt van standaard, efficiënte preconditioners (zoals multigrid) voor de Poisson-vergelijking voor druk.
• Nauwkeurigheid: Het elimineert de "splitsingsfout" die traditionele projectiemethoden teistert, waardoor ware temporele nauwkeurigheid van hoge orde (BDF-3/4) mogelijk wordt, wat cruciaal is voor Direct Numerical Simulation (DNS) en Large Eddy Simulation (LES).
• Robuustheid: De lineair impliciete behandeling van convectie maakt de methode geschikt voor stromingen met hoge Reynolds-getallen, waarbij expliciete schema's onaanvaardbaar kleine tijdstappen zouden vereisen.
• Schaalbaarheid: De formulering is goed geschikt voor moderne high-performance computing (HPC)-architecturen, zoals blijkt uit de implementatie in het ExaDG-framework (gebaseerd op deal.II), dat is ontworpen voor exascale computing.

Concluderend presenteert het artikel een robuust, nauwkeurig en efficiënt numeriek raamwerk voor incompressibele stromingen dat succesvol de kloof overbrugt tussen de nauwkeurigheid van monolithische oplosmethoden en de rekenkundige efficiëntie van splitsingsmethoden.