🔢 mathematics

Two algebraic proofs of the transcendence of $\mathrm{e}$ based on formal power series

Dit artikel herhaalt Hilberts klassieke analytische bewijs van de transcendentie van $e$ en biedt vervolgens twee algebraïsche bewijzen op basis van formele machtreeksen die dit resultaat op een verbeterde manier aantonen.

Oorspronkelijke auteurs: Martin Klazar

Gepubliceerd 2026-03-09

📖 5 min leestijd🧠 Diepgaand

CC BY 4.0

Oorspronkelijke auteurs: Martin Klazar

Oorspronkelijk artikel gelicentieerd onder CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/). ✨ Dit is een AI-gegenereerde uitleg van het onderstaande artikel. Het is niet geschreven of goedgekeurd door de auteurs. Raadpleeg het oorspronkelijke artikel voor technische nauwkeurigheid. Lees de volledige disclaimer

Het Grote Geheim van het Getal $e$

Stel je voor dat wiskundigen een heel speciale getal hebben: $e$ (ongeveer 2,718). Dit getal is zo belangrijk dat het overal voorkomt, van groeicijfers in de biologie tot rente in de bankwereld.

Maar er is een geheim: $e$ is een "transcendent" getal. Wat betekent dat? Het betekent dat $e$ niet zomaar uit een simpele vergelijking met gehele getallen (zoals 1, 2, 3...) kan worden gemaakt. Je kunt het niet schrijven als een breuk, en je kunt het niet vinden door een vergelijking op te lossen zoals $x^2 - 2 = 0$ . Het is een "vreemdeling" in de wereld van de gewone getallen.

Dit artikel vertelt over drie manieren om dit geheim te bewijzen.

1. De Oude Manier: Hilbert's Rekenmachine (De "Oneindige" Benadering)

In 1893 deed de beroemde wiskundige David Hilbert een poging om dit te bewijzen. Zijn methode was als volgt:

Het idee: Hij nam aan dat $e$ wel een gewoon getal was. Hij stelde zich voor dat er een vergelijking bestond die $e$ tot nul maakte (bijvoorbeeld: $a_0 + a_1e + a_2e^2 = 0$ ).
De truc: Hij gebruikte een heel ingewikkeld wiskundig hulpmiddel: een integraal. Denk aan een integraal als een machine die een oneindig lange, dunne strip van een grafiek opmeet. Hilbert gebruikte een functie die eruitzag als $x^r \cdot e^{-x}$ .
Het probleem: Deze functie bestaat op een oneindig groot stukje van het getallenlint (van 0 tot oneindig). Om dit te doen, moest Hilbert werken met een overaftelbare verzameling (een verzameling die zo groot is dat je er niet eens met een lijst bij kunt komen, zoals alle reële getallen tussen 0 en 1).

Hilbert's bewijs was prachtig, maar het gebruikte deze "gigantische" verzamelingen. Voor sommige puristen in de wiskunde voelt dit als een beetje te veel magie. Ze willen een bewijs dat werkt met alleen maar telbare dingen (dingen die je kunt nummeren: 1, 2, 3...).

2. De Nieuwe Manier: De "Formele" Speelgoedwereld

De auteur, Martin Klazar, en anderen (Beukers, Bézivin en Robba) zeggen: "Waarom werken we met die enorme, oneindige verzamelingen? Laten we het in een kleinere, beheersbare wereld doen."

Ze gebruiken Formele Machtreeksen.

De Metafoor: De Polynoom als een Lijst
Stel je een polynoom voor als een rij getallen in een doos: $a_0 + a_1x + a_2x^2 + \dots$
In de gewone wereld is $x$ een getal waar je iets mee doet. In de "formele" wereld is $x$ geen getal. Het is gewoon een naam of een etiket.

Het is alsof je een lijst hebt met ingrediënten: "1 ei, 2 bloem, 3 suiker". Je hoeft niet te weten wat een "ei" is, je weet alleen dat je ze in een bepaalde volgorde kunt optellen of vermenigvuldigen.
In deze wereld is er geen "oneindig grote verzameling". Alles is een eindige lijst of een regelmatige patroon die je kunt beschrijven.

Hoe werkt het bewijs nu?

De Beukers-Bézivin-Robba methode: Ze kijken naar patronen in deze lijsten (machtreeksen). Ze bewijzen dat als $e$ een gewoon getal zou zijn, deze lijsten een heel specifiek, simpel patroon zouden moeten hebben (ze zouden "rationeel" moeten zijn).
De contradictie: Ze tonen aan dat de lijsten die bij $e$ horen, niet dat simpele patroon hebben. Ze zijn te chaotisch.
Het resultaat: Omdat het patroon niet klopt, kan de aanname dat $e$ een gewoon getal is, niet waar zijn.

Waarom is dit beter?
Het is alsof je een enorme, onoverzichtelijke stad (de reële getallen) probeert te doorlopen om een spoor te vinden. De nieuwe methode zegt: "Laten we in plaats daarvan een model van de stad bouwen met Lego-blokjes." Je kunt het spoor precies volgen zonder de chaos van de echte stad te hoeven betreden. Je gebruikt alleen maar telbare dingen.

3. De Tweede Nieuwe Manier: De "Half-Formele" Rekening

De auteur heeft ook zijn eigen bewijs bedacht, gebaseerd op hetzelfde idee, maar dan met een andere truc: Semiformele Integratie.

De Metafoor: De Rekenmachine met een Voorspeller
Stel je voor dat je een machine hebt die een som uitrekent, maar in plaats van te kijken naar de echte, oneindige kromme lijn, kijkt hij alleen naar de coëfficiënten (de getallen in de rij).

In Hilbert's tijd moesten ze kijken naar de hele kromme lijn van 0 tot oneindig.
In Klazar's nieuwe wereld kijken ze alleen naar de "recepten" (de formele reeksen). Ze definiëren een "integraal" die werkt alsof het een som is van een oneindige rij getallen, maar zonder dat ze ooit echt naar "oneindig" hoeven te kijken. Ze gebruiken een slimme truc met verschuivingen (zoals $x+1$ of $x-1$ ) om de getallen te manipuleren.

Het resultaat is hetzelfde: ze komen uit op een onmogelijke situatie (een getal dat tegelijkertijd heel groot en heel klein moet zijn), wat betekent dat de aanname dat $e$ een gewoon getal is, fout moet zijn.

Waarom is dit belangrijk?

Je zou kunnen denken: "Maar Hilbert had het toch al bewezen? Waarom doen we dit opnieuw?"

Het antwoord ligt in de filosofie van wiskunde:

Sommige wiskundigen vinden het niet mooi om bewijzen te gebruiken die afhankelijk zijn van "oneindig grote" verzamelingen die je niet kunt tellen of benoemen.
Ze willen bewijzen die puur op rekenregels en patronen gebaseerd zijn.
Deze nieuwe bewijzen tonen aan dat je het geheim van $e$ kunt onthullen zonder ooit de "grote, donkere oceaan" van de oneindige verzamelingen in te hoeven duiken. Je kunt het doen met een kleine boot vol met telbare getallen.

Kort samengevat:
Het artikel zegt: "We hebben een oud, prachtig bewijs dat $e$ een vreemdeling is. Maar we hebben nu twee nieuwe, slimmere bewijzen gevonden die werken met alleen maar simpele lijsten en patronen, zonder dat we hoeven te vertrouwen op die enorme, onbegrijpelijke verzamelingen van oneindige getallen."

Titel en Context

Het artikel presenteert twee nieuwe algebraïsche bewijzen voor de transcendentie van het getal $e$ . Deze bewijzen zijn gebaseerd op de theorie van formele machtreeksen (formal power series) en vormen een alternatief voor het klassieke analytische bewijs van Hilbert. Het centrale doel van de auteur is om bewijzen te leveren die geen substantieel gebruik maken van onaftelbare verzamelingen (zoals de reële getallen als continuüm), maar in plaats daarvan werken met aftelbare structuren.

Het Probleem

De transcendentie van $e$ (dat wil zeggen dat $e$ geen wortel is van een niet-nul polynoom met gehele coëfficiënten) werd voor het eerst bewezen door Hermite. Het bewijs van Hilbert is een wiskundig meesterwerk, maar het vertrouwt zwaar op de analyse van functies van de vorm $x^n e^{-x}$ op het interval $[0, +\infty)$ .

De beperking: Deze functies vormen een onaftelbare verzameling. De auteur stelt de vraag of het mogelijk is om de transcendentie van $e$ te bewijzen zonder deze onaftelbare verzamelingen substantieel te gebruiken.
De motivatie: Hoewel de meeste wiskundigen dit onderscheid niet als cruciaal beschouwen, is het voor constructivisten en bepaalde stromingen in de fundamentele wiskunde (zoals besproken in het werk van Beukers, Bézivin en Robba) belangrijk om bewijzen te vinden die puur algebraïsch of combinatorisch zijn en binnen aftelbare domeinen blijven.

Methodologie

De auteur gebruikt twee verschillende methoden, beide gebaseerd op formele machtreeksen in $\mathbb{C}[[x]]$ of $\mathbb{R}[[x]]$ , waarbij de variabele $x$ formeel is en niet als een reëel getal wordt geïnterpreteerd.

1. Specialisatie van het bewijs van Beukers, Bézivin en Robba (Hoofdstuk 2)

Dit bewijs is een specialisatie van hun algemene bewijs van de stelling van Lindemann-Weierstrass.

Rationale machtreeksen: De kern van het bewijs ligt in de analyse van rationale formele machtreeksen. Een reeks $f(x)$ is rationaal als deze kan worden geschreven als een quotiënt van twee polynomen.
Pole-analyse: De auteurs gebruiken de eigenschap dat rationale reeksen een unieke decompositie hebben in partiële breuken met polen.
De constructie:
- Er wordt aangenomen dat $e$ algebraïsch is, wat leidt tot een lineaire relatie $\sum b_j e^{\alpha_j} = 0$ met gehele getallen.
- Er worden rijen gehele getallen $u_n$ en $v_n$ gedefinieerd, waarbij $v_n$ gerelateerd is aan de partiële sommen van de reeksontwikkeling.
- Er wordt bewezen dat als de rij $v_n$ een bepaalde exponentiële begrenzing voldoet, de bijbehorende machtreeks $\sum v_n x^n$ rationaal moet zijn.
- Door een differentiaalvergelijking op te stellen die deze reeks moet voldoen, wordt een contradictie gevonden met de structuur van de polen van rationale reeksen (gebaseerd op Proposition 2.1).

2. Bewijs via "Semiformele Integratie" (Hoofdstuk 3)

Dit is een nieuw bewijs van de auteur die Hilbert's bewijs vertaalt naar de taal van formele machtreeksen.

Formele Exponentiële: De definitie van de formele exponentiële functie $Exp(x) = \sum \frac{x^n}{n!}$ .
Semiformele operaties: De auteur introduceert operaties zoals verschuivingen ( $f(x+b)$ ) en integratie op formele reeksen. Hoewel verschuivingen normaal gesproken limieten vereisen, zijn deze hier goed gedefinieerd omdat de reeksen convergent zijn (in de zin van een oneindige convergentiestraal).
Newton-integraal: Er wordt een "improper Newton-integraal" gedefinieerd voor formele reeksen, analoog aan de Riemann-integraal, maar puur algebraïsch gedefinieerd via de primitieve.
Euler's identiteit: De auteur bewijst de identiteit $\int_0^\infty x^k e^{-x} dx = k!$ zonder gebruik te maken van de reële analyse, maar puur via formele differentiatie en integratie van machtreeksen.
Het contradictie-argument: Net als bij Hilbert wordt een integraal $I_r = \int_0^\infty p_r(x) e^{-x} dx$ $I_{r} = \int_{0}^{\infty} p_{r} (x) e^{- x} d x$ beschouwd.
- De integraal wordt opgesplitst in een deel $A_r$ (op een eindig interval) en $B_r$ (van een punt tot oneindig).
- $A_r$ wordt exponentieel begrensd.
- $B_r$ wordt bewezen een geheel getal te zijn dat deelbaar is door $r!$ en niet nul is voor oneindig veel $r$ .
- De som $A_r + B_r = 0$ leidt tot een contradictie omdat $r!$ veel sneller groeit dan de exponentiële begrenzing van $A_r$ .

Belangrijkste Bijdragen en Resultaten

Twee Algebraïsche Bewijzen: Het artikel levert twee volledige algebraïsche bewijzen voor de transcendentie van $e$ .
Vermijding van Onaftelbare Verzamelingen: Het meest significante aspect is dat beide bewijzen werken binnen aftelbare domeinen (gehele getallen, rationale getallen, formele reeksen). Ze vermijden de noodzaak om de structuur van de reële getallen of onaftelbare verzamelingen van functies te gebruiken.
Verduidelijking van Bestaand Werk: Het artikel presenteert een herschikking en specialisatie van het complexe bewijs van Beukers, Bézivin en Robba (1990) voor het specifieke geval van $e$ , waardoor de logica toegankelijker wordt.
Nieuw Bewijs: Het tweede bewijs (via semiformele integratie) is een originele bijdrage van de auteur die Hilbert's intuïtie direct vertaalt naar formele machtreeksen.

Betekenis en Conclusie

De paper toont aan dat de transcendentie van $e$ fundamenteel een algebraïsch probleem is dat niet afhankelijk is van de analytische eigenschappen van het continuüm.

De auteur benadrukt dat de innovatie niet ligt in het gebruik van formele machtreeksen op zich, maar in het vermijden van onaftelbare verzamelingen in het bewijs.
Dit heeft implicaties voor de filosofie van de wiskunde en constructieve wiskunde, waar het bestaan van objecten vaak wordt gekoppeld aan hun constructibiliteit binnen aftelbare systemen.
De paper suggereert dat het bewijs van Beukers, Bézivin en Robba, dat al in 1990 beschikbaar was, ondergewaardeerd is en een nieuwe editie verdient vanwege deze fundamentele eigenschap.

Kortom, het artikel levert een rigoureuze, algebraïsche onderbouwing voor een van de beroemdste resultaten in de getaltheorie, puur binnen de grenzen van aftelbare wiskunde.

Het Grote Geheim van het Getal eee