Logarithmic Density of Rank $\geq 1$ and Rank $\geq 2$ Genus-2 Jacobians and Applications to Hyperelliptic Curve Cryptography

Technische Samenvatting: Logaritmische Dichtheid van Genus-2 Jacobiaan met Rang $\ge 1$ en Rang $\ge 2$ en Toepassingen op Hyperelliptische Curve Cryptografie

Probleemstelling
Het artikel behandelt de kwantitatieve distributie van Mordell–Weil rangen voor Jacobiaan van genus-2 curves gedefinieerd over $\mathbb{Q}$. Hoewel de Mordell–Weil stelling garandeert dat de groep van rationale punten op een Jacobiaan uiteenvalt in een eindige torsiegroep en een vrije abelse groep van rang $r$, blijft het begrijpen van de frequentie van curves met $r \ge 1$ of $r \ge 2$ binnen families geordend naar arithmetische grootte een centrale uitdaging in de arithmetische meetkunde. Specifiek onderzoeken de auteurs deze distributies voor hyperelliptische curves geordend door de naïeve hoogte van hun integrale Weierstrass-modellen. Een secundair doel is het analyseren van de rangverdeling binnen families van kwadratische en biquadratische twists, in het bijzonder voor curves met gesplitste Jacobiaan, om hun bruikbaarheid te beoordelen in de context van Regev's quantumalgoritme voor het discrete logaritme probleem (DLP).

Methodologie
De auteurs maken gebruik van een combinatie van geometrische, analytische en computationele technieken:

1. Geometrisch Kader en Universele Secties: De studie maakt gebruik van de parametetruimte van integrale Weierstrass-modellen $y^2 + h(x)y = f(x)$. De auteurs definiëren een universele sectie $\alpha_{\text{univ}} = [\infty_+ - \infty_-]$ op de universele Jacobiaan, die overeenkomt met het verschil tussen de twee punten in het oneindige. Zij bewijzen dat deze sectie geen torsiepunt is in de generieke vezel.
2. Torsieloci en Hoogtegrenzen: Door vast te stellen dat de locus van parameters waar $\alpha_{\text{univ}}$ specialiseert tot een torsiepunt een Zariski-gesloten deelverzameling is van lagere dimensie, en door de grootte van torsiesubgroepen te begrenzen in termen van de hoogte van de curve (met behulp van Faltings-hoogte en $\theta$-hoogte vergelijkingen), tonen de auteurs aan dat de proportie curves waar deze sectie torsie is, naar nul convergeert naarmate de hoogtegrens $X \to \infty$.
3. Néron Specialisatie: Om rang $\ge 2$ vast te stellen, construeren de auteurs expliciete twee-parameter subfamilies waar twee onafhankelijke secties (één zijnde $\alpha_{\text{univ}}$ en een andere geconstrueerd via een specifieke specialisatie) generiek onafhankelijk zijn. Zij passen Néron's specialisatiestelling toe om aan te tonen dat voor bijna alle specialisaties de rang ten minste 2 is.
4. Gesplitste Jacobiaan Constructies: Voor curves met gesplitste Jacobiaanse (isogeen aan producten van elliptische curves), maken de auteurs gebruik van lijmconstructies (volgens Gajović–Park en [33]) om de rang van de genus-2 Jacobiaan te relateren aan de rangen van de constituerende elliptische curves. Zij analyseren kwadratische en biquadratische twist-families van deze gesplitste curves.
5. Computationele Verificatie: De theoretische resultaten worden ondersteund door expliciete zoekopdrachten in databases (LMFDB) en aangepaste scripts (beschikbaar in een GitHub-repository) om de onafhankelijkheid van secties te verifiëren en rangen te berekenen voor specifieke families, inclus\n bij CM-curves en gesplitste Jacobiaan-curves gebruikt in de cryptografie.

Belangrijkste Bijdragen en Resultaten

• Logaritmische Dichtheid voor Rang $\ge 1$: De auteurs bewijzen dat de deelverzameling van genus-2 curves met twee rationale punten in het oneindige (wat de existentie van de sectie $\alpha_{\text{univ}}$ verzekert) een logaritmische dichtheid heeft van ten minste $13/14$ met betrekking tot de familie van integrale modellen geordend door hoogte. Aangezien de sectie niet-torsie is voor bijna alle dergelijke modellen, levert dit een onvoorwaardelijke ondergrens van logaritmische dichtheid $13/14$ voor curves met Jacobiaan-rang $r \ge 1$.
• Logaritmische Dichtheid voor Rang $\ge 2$:
  • Door een expliciete subfamilie te construeren met twee onafhankelijke rationale secties, demonstreren de auteurs een onvoorwaardelijke logaritmische dichtheid van ten minste $5/7$ voor curves met rang $r \ge 2$.
  • Zij identificeren ook een subfamilie van curves met gesplitste Jacobiaanse en rang $r \ge 2$, wat een logaritmische dichtheid van ten minste $2/21$ oplevert.
• Twist-families:
  • Voor genus-2 curves met gesplitste Jacobiaanse isogeen aan $E_1 \times E_2$ (waarbij $E_1, E_2$ volledige rationale 2-torsie hebben), tonen de auteurs, uitgaande van de Birch–Swinnerton-Dyer (BSD) conjectuur, aan dat de familie van dubbele kwadratische twists een positief aandeel ($1/4$) curves bevat met rang $\ge 2$.
  • Voor curves met Jacobiaanse isogeen aan $E^2$ waarbij $E$ een rationale 3-isogenie toelaat, bewijzen zij onvoorwaardelijk dat de familie van kwadratische twists een positief aandeel bevat van curves met rang $\ge 2$.
• Cryptografische Implicaties: Het artikel analyseert het "High Rank Curve Problem" en het "High Rank Twist Problem" in de context van Regev's quantumalgoritme. Regev's algoritme voor DLP in Jacobiaanse profiteert van een parameter $d = r + 2$, waarbij $r$ de rang is van een rationale lift of compatibele twist. De resultaten impliceren dat het vinden van curves (of twists) met een hoge rang aanzienlijk efficiënter is dan een naïeve brute-force zoekopdracht, met een complexiteit gereduceerd van $O(X^7)$ naar $O(X^{1/2})$ voor rang $\ge 1$ en $O(X^2)$ voor rang $\ge 2$ in de relevante hoogte-ordening. De auteurs bieden expliciete voorbeelden van high-rank twists voor curves gebruikt in hyperelliptische curve cryptografie (HECC), zoals $y^2 = x^5 + a$ en gesplitste Jacobiaan-families, waarmee zij aantonen dat rang-6 tot rang-8 twists bestaan binnen computationeel haalbare zoekruimtes.

Significantie
Het artikel biedt de eerste onvoorwaardelijke ondergrenzen voor de logaritmische dichtheid van genus-2 curves met een positieve Mordell–Weil rang en rang ten minste 2, geordend door naïeve hoogte. Het gaat verder dan heuristische voorspellingen (zoals die van random matrix modellen) door middel van rigoureuze geometrische bewijzen.

De significantie is tweeledig:

1. Arithmetische Meetkunde: Het lost de existentie en dichtheid van high-rank curves op een kwantitatieve wijze op, door aan te tonen dat "dunne" verzamelingen van high-rank curves in feite veel dichter zijn (in een logaritmische zin) dan voorheen gekwantificeerd. De constructie van expliciete subfamilies met rang $\ge 2$ biedt een concrete bron voor dergelijke curves.
2. Cryptanalyse: De resultaten hebben directe impact op de veiligheidsanalyse van hyperelliptische curve cryptografie tegen Regev's quantumalgoritme. Door de overvloed van high-rank twists en lifts te kwantificeren, suggereert het artikel dat de "preprocessing" stap die nodig is om de benodigde Mordell–Weil generatoren voor Regev's algoritme te leveren, computationeel haalbaar is voor een brede reeks curve-families, inclusief curves met gesplitste Jacobiaanse. Dit impliceert dat voor curves waar dergelijke high-rank structuren bestaan, de effectieve beveiliging tegen dit specifieke quantum-aanval potentieel lager is dan verwacht, omdat de parameter $d$ kan worden vergroot, wat de quantum circuit-omvang verkleint.

De auteurs hanteren een bescheiden toon met betrekking tot de cryptografische implicaties, waarbij zij verduidelijken dat hun werk curves identificeert die geschikt zijn als inputs voor de Regev-stijl aanval of experimentele preprocessing, in plaats van het aan te bevelen voor veilige curve-selectie. Zij benadrukken dat hoewel deze structuren de high-rank preprocessing faciliteren, zij momenteel niet impliceren dat er een sneller algoritme voor het discrete logaritme probleem bestaat voor algemene genus-2 Jacobiaanse vergeleken met bestaande methoden, maar dat het de specifieke quantum-aanval effectiever maakt.