Modeling of Non-linear Dynamics of Lithium-ion Batteries via Delay-Embedded Dynamic Mode Decomposition

Titel: Modellering van niet-lineaire dynamica van lithium-ionbatterijen via delay-embedded Dynamic Mode Decomposition

Auteurs: Khalid Mahmud Labib en Shabbir Ahmed
Instelling: South Dakota State University, VS

1. Probleemstelling

Lithium-ionbatterijen vertonen complexe elektrochemische gedragingen die leiden tot niet-lineaire dynamica. Voor een effectief batterijbeheer (BMS) en controle is het essentieel om deze dynamica nauwkeurig te modelleren. Bestaande benaderingen hebben echter beperkingen:

• Fysiek gebaseerde modellen: Vereisen diepgaande kennis van materiaalcomposities en zijn vaak computationally zwaar.
• Equivalent Circuit Models (ECM): Zijn wijdverbreid maar vereisen zorgvuldige parameterisatie en kunnen moeite hebben met complexe niet-lineariteiten en veroudering.
• Data-gedreven modellen (bijv. SINDy, NARX, Machine Learning): Kunnen weliswaar niet-lineariteiten leren, maar missen vaak de interpreteerbaarheid (de "black-box" aard) of leveren geen directe toestandsruimtematrices (A en B) op die nodig zijn voor geavanceerde controlealgoritmen zoals Kalman-filtering of Model Predictive Control (MPC).

De uitdaging ligt in het vinden van een model dat niet-lineaire dynamica kan vastleggen, interpreteerbaar is (lineaire toestandsruimte), geen interne toestanden (zoals SoC of capaciteit) vereist die moeilijk te meten zijn, en computationeel efficiënt blijft.

2. Methodologie

De auteurs stellen een familie van data-gedreven modellen voor op basis van Dynamic Mode Decomposition (DMD) en Dynamic Mode Decomposition with Control (DMDc).

• Data-Input: Het model maakt uitsluitend gebruik van meetbare terminalspanning en stroomdata verkregen uit Hybrid Pulse Power Characterization (HPPC) tests. Er worden geen afgeleide grootheden (zoals SoC) als input gebruikt.
• Tijdsvertraging-Embedding (Hankel-matrix): Omdat slechts één output (spanning) beschikbaar is, wordt een Hankel-matrix geconstrueerd. Dit transformeert de 1D-tijdsreeks van de spanning naar een hogedimensionale ruimte door opeenvolgende vertraagde samples te stapelen. Dit "lift" de tijdsafhankelijkheid naar de toestandsruimte.
  • De embedding-dimensie ($m$) varieerde van 40 tot 2000.
• DMD vs. DMDc:
  • DMD: Modelleert de systeemdynamica als $x_{k+1} = Ax_k$. Dit is een ongestuurde benadering.
  • DMDc: Modelleert de dynamica als $x_{k+1} = Ax_k + Bu_k$, waarbij $u_k$ de stroominput is. Dit maakt expliciete rekening met de externe excitatie.
• Training en Validatie:
  • 60% van de data van een enkele HPPC-test (op een gezonde batterij) werd gebruikt voor training.
  • De matrices $A$ en $B$ werden geïdentificeerd met behulp van Singuliere Waarde Decompositie (SVD) en pseudoinversie.
  • De embedding-dimensie voor de output (spanning) en input (stroom) werd geoptimaliseerd om de Residual Sum of Squares (RSS) te minimaliseren.

3. Belangrijkste Bijdragen

1. Directe modellering van niet-lineariteit via lineaire methoden: Het artikel demonstreert dat niet-lineaire batterijdynamica effectief kan worden benaderd binnen een lineaire toestandsruimteframework door gebruik te maken van tijdsvertraging-embedding (Hankel-matrices).
2. Onafhankelijkheid van interne toestanden: Het model vereist geen kennis van de State of Charge (SoC) of capaciteit, maar werkt puur op ruwe spannings- en stroomdata.
3. Interpreteerbaarheid: In tegenstelling tot veel machine learning-modellen, levert DMD/DMDc expliciete matrices $A$ en $B$ op, wat het toepasbaar maakt voor controle- en filtertechnieken.
4. Robuustheid tegen degradatie: Het model, getraind op data van een gezonde batterij, bleek in staat om de dynamica van verouderde batterijen te simuleren door alleen de input (stroom) te updaten, terwijl de systeemmatrices ($A$ en $B$) constant werden gehouden.

4. Resultaten

De prestaties werden geëvalueerd aan de hand van de RSS (Residual Sum of Squares) tussen de gemeten en voorspelde spanning.

• Optimalisatie van Embedding:
  • Voor de DMD-model (zonder input) resulteerde een embedding-dimensie van 1810 in de laagste RSS van 30.
  • Voor de DMDc-model (met input) resulteerde een embedding-dimensie van 1810 voor de spanning en 6 voor de stroominput in een RSS van slechts 1,74. Dit is een aanzienlijke verbetering ten opzichte van het standaard DMD-model.
• Voorspellende Accuraatheid:
  • Het DMDc-model behaalde consistent hogere nauwkeurigheid dan het standaard DMD-model, vooral op de lange termijn (voorspellingen tot 12,5 uur vooruit).
  • Het standaard DMD-model vertoonde grotere afwijkingen naarmate de voorspellingshorizon toenam, terwijl DMDc de pulsgedragingen en transiënte responsen nauwkeurig behield.
• Degradatie en Veroudering:
  • Het model werd getest op batterijen na 360 cycli (hoge degradatie).
  • De RSS voor DMD steeg naar 143, terwijl DMDc een RSS van 76 behield.
  • Hoewel de fout toeneemt bij zware degradatie, slaagde het DMDc-model erin om de belangrijkste dynamische kenmerken (zoals spanningsdips en transiënten) te vangen, zelfs zonder opnieuw te trainen op de verouderde data.

5. Betekenis en Conclusie

Dit onderzoek biedt een krachtig alternatief voor traditionele batterijmodellen. Door de niet-lineaire dynamica van lithium-ionbatterijen te vertalen naar een interpreteerbaar lineair toestandsruimtemodel via delay-embedded DMDc, overwint de methode de beperkingen van zowel fysieke modellen (complexiteit) als black-box machine learning (ontbrekende transparantie).

De belangrijkste implicaties zijn:

• Efficiëntie: Het model is computationally efficiënt en vereist geen complexe elektrochemische parameters.
• Toepasbaarheid: Het is direct toepasbaar voor real-time schatting van de toestand en prognostiek van batterijdegradatie.
• Generalisatie: De aanpak toont aan dat een model getraind op een gezonde batterij robuust genoeg is om verouderde systemen te simuleren, wat de kosten en complexiteit van continue herkalibratie verlaagt.

De studie opent nieuwe richtingen voor adaptieve batterijdiagnose en -prognostiek, met potentieel voor uitbreiding naar andere energieopslagtechnologieën.