Prior Smoothing for Multivariate Disease Mapping Models

Titel: Prior Smoothing voor Multivariate Ziektekaarten

Auteurs: Garazi Retegui, María Dolores Ugarte, Jaione Etxeberria en Alan E. Gelfand.

---

1. Probleemstelling

Multivariate ziektekaarten (disease mapping) worden gebruikt om de ruimtelijke verdeling van incidentie- of sterftecijfers voor meerdere ziekten tegelijkertijd te schatten, waarbij rekening wordt gehouden met de onderlinge afhankelijkheid tussen deze ziekten. Hoewel er veel literatuur bestaat over de modellering van dergelijke data, is er een gebrek aan inzicht in de mate van "gladmaking" (smoothing) die wordt geïnduceerd door de keuze van de a priori verdeling (prior).

• Huidige uitdaging: Modelprestaties worden vaak beoordeeld op "goodness-of-fit" (hoe goed het model de waargenomen data beschrijft). Echter, bij ziektekaarten is het doel vaak het stabiliseren van schattingen door gladmaking, niet het perfect afstemmen op ruis.
• Het dilemma: Te weinig gladmaking leidt tot ruwe kaarten gedomineerd door toeval, terwijl te veel gladmaking hoge- en laagrisicogebieden kan verdoezelen.
• Gaten in de literatuur: Bestaande studies (zoals Retegui et al., 2025) hebben de gladmaking voor univariate modellen onderzocht, maar er was geen systematische studie naar de hoeveelheid gladmaking die voortkomt uit de keuze van priors in multivariate modellen, noch naar de vergelijking tussen verschillende veelgebruikte multivariate priors.

2. Methodologie

De auteurs ontwikkelen een raamwerk om zowel theoretische als empirische maten voor gladmaking te definiëren en te vergelijken voor multivariate ruimtelijke modellen.

A. Modelstructuur

• Data: Waargenomen aantallen ($O_{ji}$) voor ziekte $j$ in gebied $i$, met een populatie-at-risk ($n_i$).
• Eerste stadium: Een Poisson-model voor de aantallen, conditioneel op de rates ($r_{ji}$).
• Tweede stadium: De rates worden gemodelleerd via een logit-Normale specificatie: $\text{logit}(r_{ji}) = \alpha_j + \theta_{ji}$, waarbij $\theta_{ji}$ de ruimtelijke willekeurige effecten zijn.
• Multivariate Prior: De vector van ruimtelijke effecten volgt een multivariate Normale verdeling met een covariantiematrix $\Sigma$. De auteurs gebruiken M-modellen (Botella-Rocamora et al., 2015) voor rekenkundige efficiëntie, waarbij $\Sigma_b = MM'$ de covariantie tussen ziekten beschrijft.

B. Onderzochte Priors

Er worden drie families van multivariate ruimtelijke priors onderzocht:

1. iCAR (Intrinsic CAR): Een standaard benadering met een gemeenschappelijke ruimtelijke structuur.
2. LCAR (Leroux CAR): Een mix van gestructureerde en ongestructureerde ruimtelijke componenten, geregeld door een parameter $\lambda$.
3. LjCAR (Leroux joint CAR): Een niet-separabele structuur waarbij elke ziekte zijn eigen ruimtelijke afhankelijkheidsparameter ($\lambda_j$) heeft.

C. Maten voor Gladmaking (Smoothing Metrics)

De auteurs introduceren twee soorten maten:

1. Theoretische Metriek (Multivariate TCV):
   • Gebaseerd op de totale conditionele variantie (Total Conditional Variance).
   • Voor multivariate data wordt de generalized variance (determinant van de conditionele covariantiematrix) gebruikt als maat voor de concentratie van de verdeling.
   • Formule: $TCV = \sum_i |[(\Sigma^{-1})_{ii}]^{-1}|$. Een lagere TCV-waarde impliceert sterkere gladmaking.
2. Empirische Metrieken:
   • RMSS (Relative Mean Square Smoothness): Vergelijkt het posterior gemiddelde van de rate met de ruwe rate ($O_{ji}/n_i$).
   • RSP (Relative Smoothing Proportion): Geeft de mate van gladmaking weer ten opzichte van de maximale mogelijke gladmaking voor een specifieke ziekte.
   • SP (Smoothing Proportion): Een overall maat voor het totale model.

D. Simulatie- en Real-data Studies

• Simulaties: Data worden gegenereerd via Gaussian Processes (GP) voor twee ziekten onder vier scenario's (variërende correlatie en variabiliteit in rates). Er wordt gekeken naar verschillende ruimtelijke disaggregatieniveaus (47 provincies, 100 en 300 gebieden).
• Real-data: Analyse van sterftecijfers voor darm-, maag- en alvleesklierkanker bij vrouwen (50+) in Spanje (2020-2022) op drie schaalniveaus.

3. Belangrijkste Resultaten

A. Invloed van Parameters (Within-Prior Studie)

• Variantie tussen ziekten: De parameters die de variantie tussen ziekten beschrijven ($\Sigma_{11}, \Sigma_{22}$) hebben de sterkste invloed op de gladmaking. Een lagere variantie leidt tot sterkere gladmaking.
• Correlatie: De invloed van de correlatie ($\rho$) tussen ziekten is complexer en hangt af van de scenario's en de waarden van de variantie. In sommige gevallen leidt hogere correlatie tot meer gladmaking, in andere tot minder, afhankelijk van de onderliggende structuur.
• Ruimtelijke parameters: Voor LCAR en LjCAR geldt dat hogere waarden van de ruimtelijke afhankelijkheidsparameter ($\lambda$) over het algemeen leiden tot sterkere gladmaking.

B. Vergelijking tussen Priors (Across-Prior Studie)

• iCAR vs. LCAR/LjCAR: De iCAR-prior induceert consistent de meeste gladmaking. De LCAR- en LjCAR-priors resulteren in minder gladmaking, wat betekent dat ze meer gevoelig zijn voor lokale variaties in de data.
• Invloed van het aantal gebieden: Naarmate het aantal ruimtelijke eenheden ($G$) toeneemt (van 47 naar 300), neemt de totale hoeveelheid gladmaking toe. De verschillen in gladmaking tussen de priors worden groter bij een hogere ruimtelijke resolutie.
• Dispariteit in rates: Grotere verschillen in de rates tussen ziekten leiden tot een toename in de mate van gladmaking.

C. Real-data Analyse

• De bevindingen uit de simulaties worden bevestigd met de Spaanse sterftecijfers.
• Gebiedsspecifieke patronen: Gebieden met rates die sterk afwijken van hun buren (bijv. Soria, Segovia, Ávila voor darmkanker) vertonen de hoogste niveaus van gladmaking.
• Meerdere ziekten: Het modelleren van drie ziekten tegelijkertijd resulteert in vergelijkbare gladmakingsproporties als het modelleren van paren, zolang het aantal ziekten beperkt blijft (bijv. 3-4). Bij een zeer groot aantal ziekten wordt het gedrag minder voorspelbaar.

4. Bijdragen en Significance

1. Theoretische Uitbreiding: Het artikel breidt de theorie van gladmaking uit van univariate naar multivariate ruimtelijke modellen, met een nieuwe definitie van de Multivariate TCV gebaseerd op generalized variance.
2. Empirische Instrumenten: De auteurs bieden een reeks empirische metrieken (RMSS, RSP, SP) waarmee onderzoekers de effecten van hun prior-keuze kwantitatief kunnen evalueren, in plaats van alleen te vertrouwen op visuele inspectie of goodness-of-fit.
3. Praktische Richtlijnen:
   • Onderzoekers moeten zich bewust zijn dat de keuze van de prior (iCAR vs. LCAR) een aanzienlijke impact heeft op de resultaten, vooral bij hoge resolutie.
   • Het wordt aanbevolen om globale metrieken aan te vullen met kaarten van gebiedsspecifieke gladmaking (RMSS-componenten) om te begrijpen waar en waarom het model de data sterk gladmaakt.
   • Gebieden met grote discrepanties tussen buren vereisen kritische interpretatie; in dergelijke gevallen kunnen alternatieve methoden nodig zijn om discontinuïteiten in de rate-surface te modelleren.

Conclusie: Dit werk biedt een cruciaal inzicht in hoe prior-keuzes en hyperparameters de interpretatie van multivariate ziektekaarten beïnvloeden. Het stelt epidemiologen en beleidsmakers in staat om transparantere en beter onderbouwde modellen te specificeren, waardoor de risico-inschattingen voor publieke gezondheidsbeslissingen betrouwbaarder worden.