On the numerical evaluation of the `exact' Post-Newtonian parameters in Brans-Dicke and Entangled Relativity theories

Probleemstelling

In de algemene relativiteitstheorie (ART) en alternatieve zwaartekrachtstheorieën (zoals scalair-tensortheorieën) worden afwijkingen van de ART vaak gekwantificeerd via Post-Newtonse (PN) parameters (zoals $\gamma$ en $\beta$). Traditioneel worden deze parameters afgeleid in het zwakke-veldlimiet, waarbij wordt aangenomen dat de druk ($P$) verwaarloosbaar klein is ten opzichte van de energiedichtheid ($\rho$).

Echter, voor compacte objecten zoals neutronensterren, waar de druk vergelijkbaar is met de energiedichtheid ($P \sim \rho$), zijn deze perturbatieve benaderingen ontoereikend. Recent werk (Chauvineau et al.) heeft aangetoond dat er "exacte" Post-Newtonse parameters bestaan die niet-perturbatief zijn en expliciet afhankelijk zijn van de interne structuur van het hemellichaam (d.w.z. de verdeling van druk en energiedichtheid). Tot nu toe ontbrak er echter een numerieke evaluatie van deze exacte parameters, omdat dit het oplossen van de interne structuur van sterren vereist, in plaats van alleen analytische benaderingen.

Het doel van dit artikel is om deze exacte parameters numeriek te evalueren voor twee theorieën:

1. Brans-Dicke theorie (een klassieke scalair-tensortheorie).
2. Verstrengelde Relativiteit (Entangled Relativity) (een recente theorie die de koppeling tussen materie en geometrie niet-lineair maakt).

Methodologie

De auteurs ontwikkelen twee onafhankelijke methoden om de exacte parameters te berekenen en valideren deze tegen elkaar:

1. Directe Numerieke Integratie (TOV-framework):

   • De auteurs lossen de Tolman-Oppenheimer-Volkoff (TOV) vergelijkingen op voor zowel Brans-Dicke als Verstrengelde Relativiteit.
   • Ze gebruiken een polytrope toestandsvergelijking ($P = K\rho^\gamma$) om de interne structuur van sterren (van de Zon en Aarde tot neutronensterren) te modelleren.
   • De exacte parameters worden berekend door de analytische formules (die afhankelijk zijn van geïntegreerde waarden van druk en energie) direct te evalueren op basis van de numerieke oplossing van de TOV-vergelijkingen.

2. Indirecte Bepaling via Externe Oplossing:

   • De auteurs gebruiken de analytische Janis-Newman-Winicour (JNW) metriek (een vacuümoplossing in de Einstein-ruimte) en transformeren deze conformaal naar de Jordan-ruimte.
   • Door de numerieke TOV-oplossing buiten de ster te matchen met de JNW-oplossing, kunnen ze de "scalar charge" ($d$ of $\alpha$) extraheren.
   • Deze scalar charge wordt vervolgens gebruikt om de exacte PN-parameters te berekenen via de analytische relaties die in eerdere werken zijn afgeleid.

Validatie: De twee methoden worden met elkaar vergeleken. De auteurs vinden een zeer hoge overeenkomst (relatieve afwijkingen < 0,07% voor $\gamma$ en < 0,3% voor $\delta$), wat de geldigheid van zowel de numerieke implementatie als de analytische formules bevestigt.

Belangrijkste Bijdragen

• Eerste Numerieke Evaluatie: Dit is het eerste werk dat de "exacte" (niet-perturbatieve) Post-Newtonse parameters daadwerkelijk numeriek berekent voor compacte objecten.
• Koppeling met Damour-Esposito-Farèse (DEF): De auteurs leggen een directe link tussen de exacte parameter $\gamma_{exact}$ en de niet-perturbatieve parameter $\alpha_{DEF}$, die cruciaal is voor het begrijpen van spontane scalarisatie in binair systemen.
• Toepassing op Verstrengelde Relativiteit: De theorie wordt voor het eerst getest in het sterk-veldregime voor neutronensterren, waarbij een onderscheid wordt gemaakt tussen twee mogelijke vormen van de materielagrangiaan ($L_m$).

Resultaten

1. Brans-Dicke Theorie

• De exacte parameters ($\gamma_{exact}, \delta_{exact}$) verschillen significant van de standaard perturbatieve waarden, afhankelijk van de dichtheid van de ster en de koppelingsparameter $\omega$.
• Verrassende bevinding: Voor ultra-relativistische objecten (waar $P \to \rho/3$) neemt de afwijking van de ART soms af in plaats van toe. Dit komt doordat de bronterm van het scalair veld ($\square\Phi \propto -\rho + 3P$) naar nul gaat wanneer de druk de energiedichtheid benadert.
• De relatieve afwijkingen kunnen oplopen tot 44% voor $\gamma$ en 83% voor $\delta$ in vergelijking met de standaard PN-waarden, afhankelijk van $\omega$ en de centrale dichtheid.

2. Verstrengelde Relativiteit (Entangled Relativity)

De resultaten zijn sterk afhankelijk van de keuze voor de materielagrangiaan $L_m$:

• Geval A: $L_m = -\rho$ (Aangenomen in veel literatuur):

  • Het scalair veld wordt gesourced door de materie.
  • Voor de Zon en Aarde zijn de afwijkingen klein ($\gamma - 1 \approx 10^{-6}$ voor de Zon), maar meetbaar in theorie.
  • Voor neutronensterren zijn de afwijkingen groot: $\gamma_{exact}$ wijkt met 4,7% tot 16,1% af van 1, en $\delta_{exact}$ met 11,2% tot 40,1%.
  • Dit impliceert een significante emissie van dipolaire zwaartekrachtsgolven in binair systemen (zoals een pulsar met een witte dwerg).
  • Conclusie: De voorspelde variatie in de omlooptijd ($\dot{P}$) voor het systeem PSR J1738+0333 is twee tot drie orde van grootte groter dan de waarnemingsgrenzen. Dit suggereert dat de theorie onder de aanname $L_m = -\rho$ waarschijnlijk door huidige data wordt uitgesloten.

• Geval B: $L_m = T$ (Sporen van de energiemomentum-tensor):

  • In dit geval wordt het scalair veld niet gesourced door gewone materie (dust of straling), omdat $T = L_m$.
  • De theorie reduceert effectief tot de ART voor compacte objecten, tenzij er extreme elektromagnetische velden aanwezig zijn (zoals bij magnetars).
  • Afwijkingen zouden hierdoor verwaarloosbaar klein zijn en moeilijk te detecteren zijn met huidige middelen.

Significantie

Deze studie onderstreept dat sterkveldseffecten in alternatieve zwaartekrachtstheorieën niet betrouwbaar kunnen worden afgeleid uit zwakveld-Post-Newtonse parameters. De interne structuur van een ster speelt een cruciale rol in de waargenomen zwaartekrachteffecten.

Voor Verstrengelde Relativiteit biedt het werk een scherpe test: als de aanname $L_m = -\rho$ correct is, wordt de theorie waarschijnlijk weerlegd door bestaande waarnemingen van dubbelstersystemen. Als echter $L_m = T$ geldt, blijft de theorie levensvatbaar, maar wordt het testen ervan veel moeilijker omdat afwijkingen alleen bij extreem gemagnetiseerde objecten (magnetars) zouden optreden.

De beschikbaarheid van de code en de methodologie opent de weg voor verdere tests van scalair-tensortheorieën met toekomstige waarnemingen van zwaartekrachtsgolven en pulsartiming.