A hybridizable discontinuous Galerkin method for the Ostrovsky equation

Probleemstelling

Het artikel richt zich op de numerieke oplossing van de Ostrovsky-vergelijking, een niet-lineaire dispersieve golfvergelijking die golven in een roterend referentiekader modelleert (waarbij het Coriolis-effect een rol speelt). De vergelijking wordt gegeven door:
$$\partial_t u - \beta \partial_x^3 u + f(u)_x - \gamma \partial_x^{-1} u = 0$$
waarbij:

• $u$ de golfhoogte is.
• $\beta \partial_x^3 u$ de dispersie term is (KdV-type).
• $f(u)_x$ de convectieve niet-lineariteit is (met $f(u) = \frac{\alpha}{2}u^2$).
• $\gamma \partial_x^{-1} u$ de niet-lokale term is die het Coriolis-effect ($\gamma > 0$) vertegenwoordigt.

Uitdagingen:

1. Niet-localiteit: De operator $\partial_x^{-1}$ (een integraaloperator) maakt de vergelijking niet-lokaal, wat standaard numerieke methoden (zoals eindige differenties of klassieke eindige elementen) complex maakt en vaak leidt tot kunstmatige oscillaties of stabiliteitsproblemen.
2. Hoogste orde afgeleiden: De term $\partial_x^3 u$ vereist methoden die goed omgaan met hoge orde afgeleiden.
3. Uniciteit op begrensd domein: Op een begrensd interval is de inverse operator $\partial_x^{-1}$ niet uniek gedefinieerd zonder extra randvoorwaarden.
4. Bestaande methoden: Traditionele Discontinuous Galerkin (DG) methoden leiden tot een groot aantal wereldwijd gekoppelde vrijheidsgraden, wat rekenkundig inefficiënt is.

Methodologie

De auteurs ontwikkelen een Hybridizable Discontinuous Galerkin (HDG) methode voor deze vergelijking op een begrensd interval $\Omega = (x_L, x_R)$.

1. Lokalisatie van de niet-lokale term:
Om de niet-lokale operator $\partial_x^{-1}$ te lokaliseren, wordt een hulpvariabele $v$ geïntroduceerd die voldoet aan:
$$v_x = u$$
met een extra randvoorwaarde (bijvoorbeeld $v(x_R, t) = 0$) om uniciteit te garanderen. Hierdoor wordt $\partial_x^{-1} u$ vervangen door $v$.

2. Gemengde eerste-orde formulering:
De vergelijking wordt herschreven als een stelsel van eerste-orde vergelijkingen door extra hulpvariabelen in te voeren:

• $q = u_x$
• $p = \beta q_x$
• $v_x = u$
• $u_t - p_x + f(u)_x - \gamma v = 0$

3. HDG Discretisatie:

• Ruimtelijke discretisatie: Er worden polynomen van graad $k$ gebruikt op een 1D mesh.
• Numerieke sporen (Traces): Op de elementgrenzen worden numerieke sporen ($\hat{u}_h, \hat{v}_h, \hat{q}_h, \hat{p}_h$) gedefinieerd. Deze worden gekoppeld aan de interne variabelen via stabilisatieparameters ($\tau_{pu}, \tau_{vq}, \tau_{qv}, \tau_f$).
• Static Condensation: Een cruciaal voordeel van HDG is dat de interne vrijheidsgraden van elk element lokaal kunnen worden geëlimineerd. Het globale systeem koppelt alleen de enkelvoudige sporen op de mesh-skeletten (de kanten van de elementen). Dit vermindert de grootte van het globale systeem aanzienlijk ten opzichte van standaard DG.
• Tijdsintegratie: De semi-discrete methode wordt gekoppeld aan een impliciete $\theta$-tijdsstap-methode ($\theta \in [1/2, 1]$).
  • $\theta = 1/2$: Crank-Nicolson (tweede orde, energiebehoudend).
  • $\theta = 1$: Backward Euler (eerste orde, numerieke dissipatie).

4. Stabilisatie:
Specifieke stabilisatieparameters worden gekozen om energie-stabiliteit te garanderen, vooral om de niet-lineaire convectieve flux en de koppeling tussen de variabelen te beheersen. Voor de niet-lineariteit wordt een puntsgewijze schatting gebruikt om $\tau_f$ te kiezen.

Belangrijkste Bijdragen

1. Eerste HDG methode voor de volledige Ostrovsky-vergelijking: Dit is de eerste keer dat een HDG methode wordt voorgesteld die zowel de derde-orde dispersie als de niet-lokale Coriolis-term gelijktijdig behandelt op een begrensd interval.
2. Lokalisatie-strategie: Een robuuste formulering die de niet-lokale operator transformeert in een lokaal gemengd stelsel met een unieke randvoorwaarde.
3. Stabiliteitsanalyse: Bewijs van $L^2$-stabiliteit voor de semi-discrete en volledig discrete schema's onder specifieke voorwaarden voor de stabilisatieparameters.
4. Foutanalyse: Afleiding van een a priori $L^2$-foutschatting van de orde $O(h^{k+1/2})$ voor de hoofdvariabele $u$. Dit is een typische convergentiegraad voor niet-lineaire dispersieve vergelijkingen met DG-methoden.
5. Behandeling van singuliere limieten: De methode is ontworpen om ook te werken in de limiet $\beta \to 0$, waarbij de vergelijking overgaat in de Ostrovsky-Hunter (OH) vergelijking, die "peakon"-oplossingen (golfvormen met scherpe hoeken) vertoont.

Resultaten

De auteurs presenteren numerieke experimenten die de theoretische resultaten bevestigen:

• Convergentietesten: Voor gladde oplossingen tonen de resultaten dat de methode de verwachte convergentieorden bereikt. In de praktijk wordt vaak superconvergentie waargenomen (nabij $O(h^{k+1})$), wat typisch is voor gehybridiseerde methoden.
• Solitaire golfvoortplanting: De methode kan solitaire golven (solitons) over lange tijden voortplanten zonder significante numerieke dissipatie of dispersie, wat essentieel is voor het modelleren van interne golven in de oceaan.
• Niet-gladde oplossingen (Peakons): De methode toont robuustheid bij het modelleren van oplossingen met scherpe hoeken (peakons), zelfs in de limiet $\beta \to 0$. De numerieke oplossingen convergeren correct naar de analytische oplossing van de Ostrovsky-Hunter vergelijking.
• Efficiëntie: Door static condensation wordt het globale systeem klein gehouden, wat de methode efficiënt maakt voor hoge orde discretisaties.

Betekenis en Toekomstperspectief

Dit werk vult een belangrijke lacune in de numerieke analyse van roterende golfverschijnselen. De Ostrovsky-vergelijking is fysiek relevant voor oceanografie (interne golven), maar computatieel uitdagend door de combinatie van niet-lineariteit, hoge orde dispersie en niet-localiteit.

De voorgestelde HDG-methode biedt:

• Een efficiënt en stabiel alternatief voor bestaande methoden (zoals Fourier-spectrale methoden of standaard DG).
• De mogelijkheid om hoge orde nauwkeurigheid te behalen zonder het globale systeem te groot te maken.
• Een flexibel raamwerk dat natuurlijk kan worden uitgebreid naar twee dimensies (bijvoorbeeld voor Kadomtsev-Petviashvili (KP)-achtige modellen), waar de niet-lokale term in de transversale richting verschijnt.

Samenvattend biedt dit artikel een wiskundig onderbouwde en numeriek geteste oplossing voor een complex fysiek probleem, met name geschikt voor simulaties waarbij energiebehoud en nauwkeurige voortplanting van golfstructuren cruciaal zijn.