Existence and nonexistence of normalized solutions for nonlinear Schrödinger equation involving combined nonlinearities in bounded domain

Titel: Existentie en non-existentie van genormaliseerde oplossingen voor de niet-lineaire Schrödinger-vergelijking met gecombineerde niet-lineariteiten in een begrensd domein.

1. Probleemstelling

Het artikel onderzoekt de existentie, multipliciteit en non-existentie van oplossingen voor de volgende niet-lineaire Schrödinger-vergelijking (NLS) met een voorgeschreven $L^2$-norm (massa) in een begrensd, glad domein $\Omega \subset \mathbb{R}^N$:

$$\begin{cases} -\Delta u + \omega u = \mu |u|^{p-2}u + |u|^{q-2}u, & u > 0 \text{ in } \Omega, \\ u = 0 & \text{op } \partial\Omega, \\ \|u\|_{L^2(\Omega)}^2 = \rho, \end{cases}$$

waarbij:

• $N \geq 1$, $\rho > 0$ de voorgeschreven massa is.
• $\mu \in \mathbb{R}$ een parameter is die de sterkte van de eerste niet-lineariteit bepaalt.
• $1 < p \leq q$ de exponenten van de gecombineerde niet-lineariteiten zijn.
• $\omega \in \mathbb{R}$ een Lagrange-multiplicator is die ontstaat door de massabeperking en niet vooraf vaststaat.
• De exponenten kunnen subkritisch, kritisch ($q = 2^* = \frac{2N}{N-2}$ voor $N \geq 3$) of superkritisch zijn.

Het doel is om "genormaliseerde oplossingen" $(\omega, u)$ te vinden, wat overeenkomt met het zoeken naar kritieke punten van het energiefunctionaal $I(u)$ op de variëteit $S_\rho = \{u \in H_0^1(\Omega) : \|u\|_2^2 = \rho\}$.

2. Methodologie

De auteurs hanteren een combinatie van variatiemechanismen, topologische methoden en analytische technieken:

• Variatiestrategieën:
  • Lokale minimalisatie: Voor kleine massa $\rho$ wordt de existentie van een lokale minimizer bewezen door het energiefunctionaal te minimaliseren op een gesloten bol binnen $S_\rho$.
  • Mountain Pass-structuur: Om een tweede oplossing te vinden, construeren de auteurs een "mountain pass" geometrie. Dit vereist het vinden van twee punten in $S_\rho$ met lage energie, gescheiden door een "bergpas".
• Monotoniteitstruc (Monotonicity Trick):
  • Een centrale moeilijkheid in begrensd domeinen is dat de klassieke schaaltransformatie (Jeanjean's methode) de energie-ruimte verlaat. Om een gebonden Palais-Smale (PS)-rij te verkrijgen, gebruiken de auteurs Struwe's monotoniteitstruc.
  • Ze introduceren een extra parameter $\eta$ in het functionaal: $I_\eta(u) = \frac{1}{2}\|\nabla u\|^2 - \eta \int F(u)$.
  • Door te differentiëren naar $\eta$ en gebruik te maken van de afgeleide van het minimax-niveau $c_\eta$, construeren ze een gebonden PS-rij die voldoet aan de Pohozaev-identiteit.
• Pohozaev-identiteit:
  • Deze identiteit is cruciaal om de gebondenheid van de PS-rij in $H_0^1(\Omega)$ te garanderen, vooral wanneer het domein ster-vormig is.
• Moving-Plane Methode:
  • Voor het bewijs van non-existentie bij grote massa in convexe domeinen, gebruiken ze de moving-plane methode om monotonie van de oplossing nabij de rand af te leiden.
• Continuïteitsargumenten:
  • Voor het Brezis-Nirenberg-probleem in een bal, gebruiken ze continuïteit van oplossingen ten opzichte van parameters en initiële waarden om een dichotomie-resultaat af te leiden.

3. Belangrijkste Resultaten

A. Existentie van Lokale Minimizers (Theorema 1.1)

• Voor $\mu \in \mathbb{R}$ en $2 < p \leq q \leq 2^*$, bestaat er een $\rho_0 > 0$ zodanig dat voor elke $\rho \in (0, \rho_0)$ er een oplossing bestaat die een lokale minimizer is van het energiefunctionaal.
• Verbetering: Dit resultaat verwijdert de beperking dat het domein ster-vormig moet zijn (zoals in eerdere werken) en geldt ook voor massasubkritische gevallen en veranderende tekens in de niet-lineariteit.

B. Existentie van een Tweede Oplossing (Mountain Pass) (Theorema 1.3)

• Onder de voorwaarden $\mu \geq 0$ en $\Omega$ is een ster-vormig domein, bestaat er voor voldoende kleine $\rho$ een tweede positieve oplossing van het mountain pass-type.
• Dit geldt voor verschillende combinaties van $p$ en $q$, inclusief het Sobolev-kritische geval ($q=2^*$).
• Specifieke restricties voor $N=3$ worden opgelegd aan $p$ (bijv. $p \in (2, 10/3] \cup (14/3, 6)$) om technische schattingsproblemen op te lossen.
• Dit verbetert eerdere resultaten die alleen golden voor $N \in \{3, 4, 5\}$; de auteurs bewijzen dit voor alle $N \geq 3$.

C. Non-existentie bij Grote Massa (Theorema 1.5)

• Voor $\mu > 0$, $1 < p \leq 2$, $q \geq \max\{2^*, 3\}$ en $\Omega$ een begrensd convex domein, bestaat er geen positieve genormaliseerde oplossing als de massa $\rho$ voldoende groot is.
• Het bewijs gebruikt de moving-plane methode om te tonen dat de massa zich concentreert in het centrum van het domein, wat leidt tot een contradictie met de geschatte frequentie $\omega$ via de Pohozaev-identiteit.
• Dit resulteert in een non-existentie voor het klassieke Brezis-Nirenberg-probleem ($p=2, q=2^*$) voor dimensies $3 \leq N \leq 6$.

D. Dichotomie voor het Brezis-Nirenberg-probleem in een Bal (Theorema 1.7)

• Voor het specifieke geval $\mu=0$, $q=2^*$ en $\Omega$ een eenheidsbal, wordt een volledig dichotomie-resultaat geleverd:
  1. Er zijn minstens twee oplossingen voor kleine massa ($0 < \rho < \rho^*$).
  2. Er is minstens één oplossing voor de kritieke massa ($\rho = \rho^*$).
  3. Er zijn geen oplossingen voor grote massa ($\rho > \rho^*$).
• Dit wordt bewezen door de continuïteit van de $L^2$-norm van de unieke radiale oplossing van het Brezis-Nirenberg-probleem te analyseren als functie van de parameter $\lambda$ (gerelateerd aan $\omega$).

4. Significatie en Bijdrage

• Unificatie van Methoden: Het artikel combineert succesvol de monotoniteitstruc (oorspronkelijk voor onbegrensde domeinen) met de beperkingen van begrensd domeinen, waardoor nieuwe existentieresultaten mogelijk worden voor gecombineerde niet-lineariteiten.
• Verwijdering van Ster-vormige Beperkingen: Voor de eerste lokale minimizer wordt de eis dat het domein ster-vormig moet zijn, verwijderd, wat de resultaten generaliseert naar willekeurige gladde begrensd domeinen.
• Non-existentie Resultaten: Het biedt een van de eerste systematische analyses van non-existentie voor genormaliseerde oplossingen in het Sobolev-kritische en superkritische regime in convexe domeinen, een gebied dat eerder weinig onderzocht was.
• Volledigheid voor de Bal: Voor het Brezis-Nirenberg-probleem in een bal wordt een volledig beeld geschetst van het gedrag van oplossingen over het hele spectrum van de massa $\rho$, inclusief de kritieke drempel $\rho^*$.

Samenvattend biedt dit artikel een grondige analyse van het gedrag van genormaliseerde oplossingen voor NLS-vergelijkingen met gecombineerde niet-lineariteiten, waarbij zowel existentie als non-existentie wordt bewezen onder verschillende geometrische en parametrische voorwaarden.