📊 statistics

Zero Variance Portfolio

Dit artikel toont aan dat een nieuwe "Ridgelet"-schatter voor het minimaliseren van portfolio-variatie, in tegenstelling tot de traditionele "Ridgeless"-methode, pathologische in-sample variatie overwint en in het overparametriseerde regime optimale out-of-sample generalisatie bereikt door het dubbele dalingsfenomeen.

Oorspronkelijke auteurs: Jinyuan Chang, Yi Ding, Zhentao Shi, Bo Zhang

Gepubliceerd 2026-02-24

📖 4 min leestijd☕ Koffiepauze-leesvoer

CC BY 4.0

Oorspronkelijke auteurs: Jinyuan Chang, Yi Ding, Zhentao Shi, Bo Zhang

Oorspronkelijk artikel gelicentieerd onder CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/). ✨ Dit is een AI-gegenereerde uitleg van het onderstaande artikel. Het is niet geschreven of goedgekeurd door de auteurs. Raadpleeg het oorspronkelijke artikel voor technische nauwkeurigheid. Lees de volledige disclaimer

De "Nul-Risico" Portefeuille: Hoe te veel informatie juist de oplossing is

Stel je voor dat je een supersterke kok bent die een perfecte soep moet maken. De "soep" is een beleggingsportefeuille, en de "ingrediënten" zijn duizenden verschillende aandelen. Je hebt echter maar één klein potje met de geschiedenis van deze ingrediënten: misschien slechts 22 dagen aan data (één maand) om te leren hoe ze samenwerken.

In de traditionele wereld van beleggen is dit een nachtmerrie. Je hebt te veel ingrediënten (N) en te weinig recepten (T). Als je probeert de perfecte soep te maken met zo weinig data, krijg je meestal een rommelig resultaat. De wiskundigen zeggen dan: "Je hebt te veel variabelen, je gaat overfiten." Je leert de data uit je hoofd, maar in de echte wereld (de testdata) faalt je soep.

Het oude probleem: De "Ridgeless" valkuil
Vroeger dachten beleggers: "Laten we gewoon de beste mix vinden die in het verleden geen enkel risico had." Dit heet de Zero Variance Portfolio.
Het probleem? Als je 500 aandelen hebt en maar 22 dagen data, is er oneindig veel manieren om die 500 aandelen te mengen zodat de soep op papier perfect rustig is (nul schommeling).
Een oude methode, de "Ridgeless" estimator, probeerde de "eenvoudigste" oplossing te kiezen. Maar dit was als proberen een ingewikkeld labyrint te doorlopen met een blinddoek op. Het leek in de training perfect, maar zodra je de blinddoek afhaalde (in de echte markt), liep je tegen de muur. De portefeuille explodeerde in risico.

De nieuwe oplossing: De "Ridgelet" (De Magische Kruiden)
De auteurs van dit paper, Chang, Ding, Shi en Zhang, hebben een slimme, verrassend simpele oplossing bedacht. Ze noemen het Ridgelet.

Stel je voor dat je in je soep een enorm klein snufje zout doet. Een snufje dat zo klein is dat je het nauwelijks proeft (in de wiskunde is dit getal $10^{-8}$ , bijna nul).

Wat doet dit snufje? Het voorkomt dat je soep "vastloopt" in een oneindig aantal mogelijke recepten. Het dwingt de computer om één specifieke, stabiele oplossing te kiezen.
Het geheim: In de wereld van Machine Learning hebben we ontdekt dat als je een model over traint (met meer parameters dan data), het soms juist beter wordt. Dit heet het Double Descent-fenomeen.
- Fase 1: Je voegt meer aandelen toe -> het risico gaat omlaag.
- Fase 2: Je voegt te veel toe -> het risico schiet omhoog (de chaos).
- Fase 3 (De verrassing): Je voegt nog meer toe (veel meer dan je data toelaat) -> het risico daalt weer en wordt zelfs beter dan ooit!

De "Ridgelet" methode pikt precies in op dit derde stadium. Door dat tiny snufje "zout" (de ridge) toe te voegen, zorgt het ervoor dat de portefeuille, zelfs met duizenden aandelen en weinig data, in de toekomst (out-of-sample) stabiel blijft.

De twee versies: Ridgelet1 en Ridgelet2
De auteurs hebben twee versies van deze methode ontwikkeld:

Ridgelet1 (De Basis): Dit werkt al heel goed. Het is als een standaardrecept dat werkt voor bijna elke situatie. Het is "tuning-vrij", wat betekent dat je niet uren hoeft te zoeken naar de perfecte hoeveelheid zout; je doet er gewoon dat ene, vaste snufje bij.
Ridgelet2 (De Pro): Dit is de verfijnde versie. Het kijkt niet alleen naar de grote trends (zoals de hele markt), maar ook naar de kleine, specifieke verschillen tussen bedrijven (de "idiosyncratische" risico's). Het is alsof de kok niet alleen naar de basisrecepten kijkt, maar ook precies weet welke groente van welke boer komt. Dit werkt het beste als je echt duizenden aandelen hebt.

Wat zeggen de cijfers?
De auteurs hebben dit getest met echte data van de S&P 500 (Amerikaanse aandelen) en de Nikkei 225 (Japanse aandelen).

Resultaat: De Ridgelet-methode presteerde beter dan de traditionele methoden.
Het voordeel: Je kunt nu een portefeuille bouwen met 700+ aandelen op basis van slechts één maand aan dagelijkse data. Traditionele methoden zouden hierbij in paniek raken, maar Ridgelet maakt er een stabiele, winstgevende mix van.

Conclusie in één zin:
In plaats van bang te zijn voor te veel data en te weinig tijd, laat deze methode zien dat je die "te veel" data kunt gebruiken als een krachtbron, mits je een heel klein, slim trucje (het Ridgelet-snufje) toepast om de chaos in toom te houden. Het is de bewijst dat in de moderne wereld van AI en beleggen, "meer is soms echt beter".

Titel: Zero Variance Portfolio

Auteurs: Jinyuan Chang, Yi Ding, Zhentao Shi, Bo Zhang

1. Het Probleem

Het artikel adresseert een fundamenteel probleem in de moderne portefeuilleoptimalisatie, specifiek binnen het kader van het Minimum Variance Portfolio (MVP).

Klassieke aanpak: Traditioneel wordt de MVP gebaseerd op de steekproefcovariantiematrix ( $S_0$ ). Wanneer het aantal activa ( $N$ ) kleiner is dan de steekproefgrootte ( $T$ ), convergeert deze schatter asymptotisch naar de optimale "oracle"-oplossing.
De uitdaging: In financiële markten is de situatie vaak omgekeerd: $N \gg T$ (veel meer activa dan tijdreeksen). In dit hoogdimensionale regime is $S_0$ singulier (niet-inverteerbaar).
Pathologische Zero Variance: Wanneer $N > T$ , bestaat er een oneindig aantal gewichtsvectorcombinaties die een in-sample variantie van nul opleveren (Zero Variance Portfolio of ZVP). Dit is een vorm van extreme overfitting.
Het dilemma:
- De gebruikelijke "Ridgeless"-oplossing (gebruikmakend van de Moore-Penrose pseudoinverse $S_0^+$ ) faalt in dit regime: hoewel deze in-sample interpolatie bereikt, divergeert de uit-sample (OOS) risico naar oneindig.
- Bestaande methoden (zoals shrinkage-estimators) proberen dit te voorkomen, maar het artikel stelt de vraag of een simpele aanpak, gebaseerd op de steekproefcovariantie, toch kan generaliseren door gebruik te maken van de "blessing of dimensionality" uit het machine learning-veld.

2. Methodologie: De Ridgelet-schatter

De auteurs introduceren een nieuwe schatter genaamd Ridgelet, die inspiratie haalt uit de "double descent"-fenomenen in machine learning.

De Kern van Ridgelet: In plaats van de pseudoinverse te gebruiken, voegen de auteurs een extreem kleine, vooraf bepaalde "ridge" ( $\tau$ ) toe aan de diagonaal van de steekproefcovariantiematrix.
$\hat{\omega}_\tau = \frac{S_\tau^{-1}\mathbf{1}}{\mathbf{1}^\top S_\tau^{-1}\mathbf{1}}, \quad \text{waarbij } S_\tau = S_0 + \tau I_N$
Hierbij is $\tau$ een zeer kleine constante (bijv. $10^{-8}$ ) die niet wordt getuned via cross-validatie, maar vaststaat.
Theoretisch Fundament:
- Ridgelet vs. Ridgeless: De auteurs bewijzen dat Ridgelet een benadering is van de oplossing met de minimale $\ell_2$ -norm voor het ZVP-probleem. De Ridgeless-schatter ( $S_0^+$ ) daarentegen ligt in het kolomruimte van de data en is orthogonaal op de exacte oplossing van het ZVP-probleem (die in de nulruimte ligt).
- Discontinuïteit: Er is een fundamenteel verschil tussen regressie en portefeuilleoptimalisatie. Bij regressie is de limiet van de ridge-oplossing als $\tau \to 0$ gelijk aan de pseudoinverse. Bij MVP is dit niet het geval; de schatter is discontinu bij $\tau=0$ .
Verfijning: Ridgelet2:
- De basis-Ridgelet (Ridgelet1) behandelt de idiosyncratische covariantie als identiteit.
- Ridgelet2 verbetert dit door de identiteitsmatrix te vervangen door een consistente schatter van de idiosyncratische covariantiematrix ( $\hat{\Omega}$ ), verkregen via de POET-methode (Principal Orthogonal Complement Thresholding) van Fan et al. (2013). Dit maakt de schatter optimaal in het geval van een factor-model.

3. Belangrijkste Bijdragen en Theoretische Resultaten

Het artikel levert twee hoofdbijdragen, ondersteund door Random Matrix Theory (RMT):

Generaliseerbaarheid van ZVP:
- De auteurs tonen aan dat een ZVP, geschat met Ridgelet, wel generaliseert naar uit-sample data, mits het aantal activa $N$ de steekproefgrootte $T$ voldoende overschrijdt.
- Dit resulteert in een double descent-kromme voor het risico: het risico daalt eerst, stijgt scherp rond $N \approx T$ (het interpolatiepunt), en daalt vervolgens weer (de tweede daling) wanneer $N \gg T$ .
- In tegenstelling hieraan divergeert het risico van de Ridgeless-schatter (pseudoinverse) naar oneindig zodra $N > T$ , zelfs slechter dan een gelijk-gewogen portefeuille.
Optimaliteit in het Overparametrisatie-regime:
- Onder een benaderend factor-model (Chamberlain & Rothschild, 1983) wordt aangetoond dat Ridgelet1 asymptotisch optimaal is wanneer de idiosyncratische covariantie een veelvoud is van de identiteitsmatrix.
- Ridgelet2 bereikt de oracle-minimale variantie (de theoretisch beste uit-sample variantie) in het regime $N \gg T$ , mits de idiosyncratische covariantiematrix consistent kan worden geschat. Dit is een bewijs van de "blessing of dimensionality": meer activa leiden tot betere risicodiversificatie als de schatter correct is ontworpen.

4. Empirische Resultaten en Simulaties

De auteurs valideren hun theorie via uitgebreide simulaties en empirische studies op de S&P 500 en Nikkei 225.

Simulaties:
- De resultaten bevestigen de double descent-kromme.
- Ridgelet1 presteert beter dan lineaire shrinkage (Ledoit & Wolf, 2004) en factor-based non-linear shrinkage (FNLS) in het hoogdimensionale regime ( $N \gg T$ ).
- Ridgelet2 overtreft alle benchmarks wanneer de idiosyncratische covariantie niet-diagonaal is (sparsiteit), vooral bij zeer grote $N$ .
- De methode is robuust tegenover zware staarten (heavy-tailed distributions), hoewel de theorie uitgaat van normale verdelingen.
Empirische Toepassing (S&P 500 & Nikkei 225):
- Ridgelet2 kan portefeuilles construeren met meer dan 700 activa op basis van slechts één maand dagelijkse data ( $T=22$ ).
- De uit-sample risico's zijn significant lager dan die van traditionele methoden (LS, FNLS) en de gelijk-gewogen portefeuille.
- Het toevoegen van Japanse aandelen aan de Amerikaanse portefeuille (multinationale portefeuille) verlaagt het risico verder, wat het voordeel van dimensionale diversificatie onderstreept.

5. Betekenis en Conclusie

Dit artikel daagt de gevestigde wijsheid in de portefeuilletheorie uit, die stelt dat men in hoogdimensionale settings complexe regularisatie moet gebruiken en de steekproefcovariantiematrix moet vermijden.

Paradigmaverschuiving: Het toont aan dat een simpele, "tuning-free" aanpak (Ridgelet) met een verwaarloosbaar kleine ridge-penalty, gebaseerd op de ruwe steekproefcovariantie, superieur kan zijn in het $N \gg T$ regime.
Praktische Impact: Het biedt een robuuste, rekenkundig eenvoudige methode voor risicomanagement in een wereld waar het aantal investeerbare activa (crypto, ETF's, derivaten) exponentieel groeit ten opzichte van de beschikbare historische data.
Theoretische Inzicht: Het verbindt de concepten van "benign overfitting" en "double descent" uit het machine learning direct met de klassieke Markowitz-portefeuilletheorie, en laat zien dat overfitting van training data niet per se leidt tot slechte uit-sample prestaties als de juiste structuur (minimale $\ell_2$ -norm) wordt gehanteerd.

Kortom, de paper bewijst dat in het regime van extreme overparametrisatie ( $N \gg T$ ), een goed ontworpen "zero variance" portefeuille niet pathologisch is, maar juist de sleutel kan zijn tot optimale risicodiversificatie.