Unfolding Bloch States in Disordered Systems

Titel: Ontvouwen van Bloch-toestanden in ongeregelde systemen

Auteurs: T. Thuy Hoang et al.

1. Het Probleem

In kristallijne vaste stoffen is de elektronische structuur doorgaans beschreven door $k$-opgeloste Bloch-toestanden binnen de Brillouin-zone (BZ) van de primitieve cel (PC). Echter, in reële materialen zijn defecten en onzuiverheden onvermijdelijk. Deze breken de translationele symmetrie van het kristal, wat leidt tot de volgende uitdagingen:

• Symmetriebreking: Defecten maken de $k$-opgeloste bandstructuur onduidelijk.
• Super-cel beperkingen: In ab initio berekeningen worden defecten vaak gemodelleerd met super-cellen (SC). Dit verkleint de BZ en "vouwt" de oorspronkelijke PC-banden in, wat resulteert in dichte, overlappende dispersies. Dit verbergt de onderliggende fysica van de primitieve cel.
• Beperkingen van bestaande methoden: Bestaande "band-unfolding"-techniek kunnen wel de effectieve bandstructuren en spectrale gewichten (energieën) terugbrengen naar de PC-BZ, maar ze leveren geen de bijbehorende ontvouwen Bloch-eigen toestanden (golffuncties) op.
• Gevolg: Veel fysisch belangrijke observabelen die afhankelijk zijn van de golffunctie (zoals optische overgangsmatrix-elementen, orbitale magnetische momenten, en niet-lineaire optische coëfficiënten) en geometrische/topologische grootheden (zoals Berry-kromming en Berry-fase) kunnen niet direct worden berekend voor ongeregelde systemen met de huidige methoden.

2. Methodologie

De auteurs ontwikkelen een theoretisch raamwerk dat een omgekeerde route inslaat ten opzichte van conventionele unfolding-methoden. In plaats van eerst de SC-Hamiltoniaan te diagonaliseren en vervolgens te projecteren, doen zij het volgende:

1. Decompositie van de Hamiltoniaan:
   De totale Hamiltoniaan wordt geschreven als $\hat{H} = \hat{H}_0 + \hat{H}_{dis}$, waarbij $\hat{H}_0$ de zuivere kristal-Hamiltoniaan is en $\hat{H}_{dis}$ de verstoring door defecten.
   De auteurs ontleden $\hat{H}_{dis}$ in twee delen in de basis van de Bloch-toestanden van de primitieve cel ($|k, n\rangle$):

   • Intra-$k$ blokken ($\hat{H}^k_{dis}$): Koppelt toestanden binnen dezelfde $k$. Deze blokken zijn dominant.
   • Inter-$k$ blokken ($\hat{H}^{k',k}_{dis}$): Koppelt verschillende kristalimpulsen ($k \neq k'$). Voor willekeurig verdeelde defecten worden deze termen parametrisch klein (ze verdwijnen bij ensemble-gemiddelde) en worden ze behandeld als een perturbatie.

2. Diagonalisatie per $k$-blok:
   In plaats van één grote matrix (de volledige SC) te diagonaliseren, diagonaliseren de auteurs voor elke $k$-punt in de primitieve cel de kleine blokmatrix $(\hat{H}_0 + \hat{H}^k_{dis})$.

   • Dit levert direct de "dressed Bloch states" (geklede Bloch-toestanden) $|\tilde{k}, n\rangle$ en de bijbehorende energieën $\tilde{\varepsilon}_{k,n}$ op.
   • Deze toestanden behouden een goed gedefinieerde $k$-symbool, zelfs in aanwezigheid van wanorde.

3. Bepaling van Spectrale Gewicht (Verbreeding):
   De spectrale verbreiding (levensduur) van deze toestanden wordt bepaald door de inter-$k$ koppelingen (de perturbatie $\hat{H}^{k',k}_{dis}$).

   • Met behulp van de Fermi's Gouden Regel wordt de verstrooiingsrate $\bar{\Gamma}_{k,n}$ berekend.
   • Deze rate fungeert als het spectrale gewicht (breedte van de piek) in de ontvouwen representatie.

4. Berekening van Golffunctie-afhankelijke Grootheden:
   Omdat de auteurs nu expliciete, goed gedefinieerde Bloch-toestanden $|\tilde{k}, n\rangle$ hebben in de PC-BZ, kunnen ze direct geometrische grootheden zoals de Berry-kromming berekenen zonder de artefacten van de super-cel-BZ.

3. Toepassing en Resultaten

De methode wordt getoetst aan ongeregelde grafiet (defect-grafiet) met twee types wanorde:

• Symmetrie-brekende (SB) wanorde: Positieve en negatieve potentiaal worden exclusief op respectievelijk het A- en B-subrooster geplaatst.
• Symmetrie-bewarende (SP) wanorde: Elk subrooster bevat een gelijke verdeling van positieve en negatieve potentiaal.

Belangrijkste bevindingen:

• Bandstructuur:
  • Bij SB-wanorde opent er een bandkloof van ongeveer 0,05 eV, wat overeenkomt met een uniforme subrooster-gestaggerde potentiaal.
  • Bij SP-wanorde blijft het systeem gaploos en volgt het de zuivere dispersie.
• Spectrale Verbreiding:
  • De berekende verstrooiingsrate ($\Gamma$) toont zowel intra-valley als inter-valley verstrooiing.
  • De verbreiding neemt toe met de defectconcentratie ($\rho$) en is het grootst bij punten met een hoge toestandsdichtheid (bijv. nabij het M-punt).
• Berry-kromming (Berry Curvature - BC):
  • SB-geval: De BC is niet langer scherp gelokaliseerd rond de K-valleis, maar wordt ruimtelijk verbreed. Dit correleert met het openen van de bandkloof en het breken van inversiesymmetrie.
  • SP-geval: De BC blijft sterk gelokaliseerd rond de K-valleis, wat de robuustheid van de niet-triviale $\pi$ Berry-fase in grafiet bevestigt, zelfs bij wanorde.
  • Voordeel: In tegenstelling tot eerdere methoden waarbij BC in de SC-BZ werd berekend en later gemapt (wat de geometrische interpretatie verloor), berekent deze methode de BC direct in de juiste primitieve cel $k$-ruimte.

4. Belangrijkste Bijdragen

1. Ontvouwen van Golffuncties: Voor het eerst wordt een methode gepresenteerd die niet alleen de bandstructuur, maar ook de bijbehorende Bloch-eigen toestanden ontvouwt voor ongeregelde systemen.
2. Efficiëntie: Door de Hamiltoniaan per $k$-blok te diagonaliseren in plaats van de volledige super-cel, wordt de computationele kost aanzienlijk verlaagd.
3. Toegang tot Topologische Observabelen: De methode maakt directe berekening van golffunctie-afhankelijke grootheden (zoals Berry-kromming, optische respons en shift current) mogelijk in disperse systemen, wat voorheen niet mogelijk was met standaard unfolding.
4. Unificatie: Het biedt een verenigde beschrijving van bandverbreiding, bandopening en geometrische responsen.

5. Significance (Betekenis)

Deze studie opent de deur tot een nauwkeuriger begrip van de elektronische en topologische eigenschappen van realistische materialen (zoals halfgeleiders met onzuiverheden of legeringen). Het stelt onderzoekers in staat om experimenten die gebaseerd zijn op $k$-opgeloste metingen (zoals ARPES) direct te vergelijken met theorie, en stelt berekeningen van complexe optische en topologische responsen in onzuivere materialen mogelijk, wat essentieel is voor de ontwikkeling van nieuwe elektronische en fotonische materialen.