Asymptotic mean of digits of the $Q_s$-representation of the fractional part of a real number and related problems of fractal geometry and fractal analysis

Dit artikel introduceert het concept van een asymptotisch gemiddelde van cijfers in de $Q_s$-voorstelling van reële getallen en onderzoekt de topologische, metrische en fractale eigenschappen van de verzamelingen van getallen die al dan niet over zo'n gemiddelde beschikken.

De kern

Stel je voor dat elk getal tussen 0 en 1 een geheim verhaal heeft, geschreven in een eigen alfabet. In de gewone wiskunde gebruiken we het decimale stelsel (0 tot 9) of het binaire stelsel (0 en 1). Maar deze auteurs, Pratsiovytyi en Klymchuk, kijken naar een veel exotischere manier om getallen te schrijven: de Qs-voorstelling.

Hier is een uitleg van hun onderzoek, vertaald naar begrijpelijke taal met wat creatieve vergelijkingen.

1. Het Getal als een Oneindige Reis

Stel je een getal voor als een reiziger die een pad aflegt. In een normaal stelsel (zoals decimaal) is het pad een rechte lijn met gelijke stappen. In de Qs-voorstelling is het pad echter een kaleidoscoop.

De auteurs gebruiken een speciale set van "stapgroottes" (de $q_i$'s). Sommige stappen zijn groot, andere klein. Als je een getal in dit systeem schrijft, krijg je een oneindige rij cijfers (symbolen).

• Voorbeeld: In het normale decimale stelsel is het getal 0,5 gewoon "5" na de komma. In dit kaleidoscoop-stelsel kan dat getal een heel ander patroon van cijfers hebben, afhankelijk van hoe de "stapgroottes" zijn ingesteld.

2. Het Gemiddelde van de Cijfers (De "Asymptotische Gemiddelde")

Het belangrijkste concept in dit papier is het asymptotische gemiddelde van de cijfers.

Stel je voor dat je een lange rij cijfers hebt: 1, 2, 0, 1, 2, 2, 0, 1...
Als je naar het begin van de rij kijkt en steeds verder gaat, wat is dan het gemiddelde van al die cijfers?

• Als de rij heel regelmatig is (bijvoorbeeld steeds 1, 2, 1, 2...), dan is het gemiddelde makkelijk te berekenen (in dit geval 1,5).
• Maar wat als de rij chaotisch is? Wat als er lange stukken met alleen '0' komen, gevolgd door lange stukken met alleen '9', en dit patroon wordt steeds wilder?

De auteurs vragen zich af: Bestaat er voor elk getal een stabiel gemiddelde?

• Voor de meeste "normale" getallen (zoals de meeste getallen die je in het dagelijks leven tegenkomt) is het antwoord ja. Ze hebben een stabiel gemiddelde.
• Maar er is een groep getallen die geen stabiel gemiddelde heeft. Hun cijferpatroon is zo wild dat het gemiddelde blijft schommelen en nooit tot rust komt.

3. De Twee Werelden: Geordend en Chaotisch

De auteurs verdelen de getallen in twee grote groepen:

A. De "Normale" Getallen (De Orde)
Deze getallen gedragen zich als een goed georganiseerde menigte. Als je lang genoeg kijkt, zie je dat elk cijfer even vaak voorkomt (of in een vast verhouding). Voor deze getallen is het gemiddelde van de cijfers een vast getal.

• Vergelijking: Denk aan een symfonieorkest waar elke instrumentgroep even vaak speelt. Je kunt precies voorspellen hoe de muziek klinkt over een uur.

B. De "Abnormale" Getallen (Het Chaos)
Dit is waar het onderzoek echt spannend wordt. Er bestaat een verzameling getallen die geen gemiddelde hebben. Hun cijferpatroon is zo gek dat het gemiddelde nooit stabiliseert.

• Vergelijking: Denk aan een danser die plotseling van tempo verandert: eerst heel langzaam, dan razendsnel, dan weer stil, dan weer wild. Je kunt nooit zeggen wat het "gemiddelde tempo" is, omdat het nooit vaststaat.

4. De Verrassende Eigenschappen van het Chaos

Je zou denken dat deze "chaotische" getallen heel zeldzaam zijn, net als een eenhoorn. Maar de auteurs tonen aan dat het tegenovergestelde waar is:

1. Ze zijn overal: Als je willekeurig een klein stukje van het getallenpad kiest, zit er altijd een "chaotisch" getal in. Ze zijn overal dichtbij.
2. Ze zijn onzichtbaar: Als je een gewone maatlat (de Lebesgue-maat) gebruikt, is de "grootte" van deze verzameling nul. Ze bestaan, maar ze vullen geen ruimte in de traditionele zin.
3. Ze zijn "Super-Fractaal": Dit is het meest fascinerende deel. Hoewel ze geen ruimte vullen, zijn ze ontzettend ingewikkeld. Hun "fractale dimensie" is 1.
   • Vergelijking: Stel je een kletsnatte spons voor. Als je hem uitknijpt, lijkt hij bijna leeg (geen volume). Maar als je door de gaatjes kijkt, zie je dat hij oneindig veel vertakkingen heeft. Deze "chaotische" getallen zijn als die spons: ze lijken nergens te zijn, maar ze zijn overal in de structuur van de wiskunde verweven.

5. Waarom is dit belangrijk?

De auteurs bestuderen niet alleen of deze getallen bestaan, maar ook hoe ze zich gedragen ten opzichte van elkaar. Ze kijken naar:

• Topologie: Hoe zijn ze gerangschikt? (Ze zitten overal, maar zijn niet continu).
• Fractale meetkunde: Hoe complex is hun structuur? (Zeer complex, "superfractaal").
• Relatie met frequenties: Soms is het gemiddelde van de cijfers gelijk aan de frequentie waarmee een specifiek cijfer voorkomt. De auteurs onderzoeken welke getallen dit doen en welke niet.

Samenvatting in één zin

Dit papier laat zien dat er een verborgen, chaotische wereld van getallen bestaat die geen stabiel gemiddelde hebben; ze zijn wiskundig "onzichtbaar" (ze vullen geen ruimte), maar toch overal aanwezig en ontzettend complex, net als een fractal die oneindig veel details bevat in een lege ruimte.

Het is een reis naar de rand van de orde en het chaos, waar de regels van de gewone wiskunde worden getest en nieuwe, mooie patronen van complexiteit worden ontdekt.

Technische samenvatting

Hier is een gedetailleerde technische samenvatting van het artikel "Asymptotische gemiddelde van cijfers van de Qs-voorstelling van het fractionele deel van een reëel getal en gerelateerde problemen van fractale meetkunde en fractale analyse" van M. V. Pratsiovytyi en S. O. Klymchuk, geschreven in het Nederlands.

Titel en Context

Het artikel introduceert een nieuw wiskundig concept: het asymptotische gemiddelde van cijfers binnen de Qs-voorstelling van reële getallen. De Qs-voorstelling is een generalisatie van het klassieke $s$-adische stelsel (zoals het decimale of binaire stelsel) met een zelfde-achtige (self-similar) geometrie. De auteurs onderzoeken de topologische, metrische en fractale eigenschappen van verzamelingen van getallen die wel of geen asymptotisch gemiddelde bezitten.

---

1. Het Probleem en de Achtergrond

Traditionele numerieke systemen worden uitgebreid door niet-traditionele systemen zoals negatieve bases, continue breuken en Cantor-reeksen. De auteurs richten zich op de Qs-voorstelling, gedefinieerd door een alfabet $A_s = \{0, 1, ..., s-1\}$ en een reeks positieve getallen $Q_s = \{q_0, ..., q_{s-1}\}$ waarbij $\sum q_i = 1$.

Elk getal $x \in [0, 1]$ kan worden weergegeven als een oneindige reeks:
$$x = \Delta_{Q_s} \alpha_1 \alpha_2 ... \alpha_k ...$$
waarbij $\alpha_k$ het $k$-de cijfer is.

Het kernprobleem:
Hoewel de frequentie van cijfers (hoe vaak een specifiek cijfer voorkomt) goed bestudeerd is, is het concept van het asymptotische gemiddelde van deze cijfers minder onderzocht in deze context. De auteurs willen:

1. De relatie tussen het asymptotische gemiddelde en de cijferfrequenties definiëren.
2. De eigenschappen van de verzameling getallen onderzoeken waarvoor dit gemiddelde niet bestaat.
3. De eigenschappen onderzoeken van verzamelingen waarvoor het gemiddelde bestaat en gelijk is aan de frequentie van een specifiek cijfer.

---

2. Methodologie

De auteurs gebruiken een combinatie van fractale meetkunde, maattheorie (Lebesgue-maat) en Hausdorff-Besicovitch-dimensie analyse.

• Definitie van het Asymptotische Gemiddelde ($r(x)$):
  Voor een getal $x$ met cijfers $\alpha_i(x)$ wordt het asymptotische gemiddelde gedefinieerd als de limiet:
  $$r(x) = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \alpha_i(x)$$
  Als deze limiet bestaat, is $r(x)$ het gemiddelde.

• Relatie met Cijferfrequentie ($\nu_i(x)$):
  De frequentie van cijfer $i$ is $\nu_i(x) = \lim_{n \to \infty} \frac{N_i(x, n)}{n}$.
  De auteurs tonen aan dat als alle frequenties bestaan, het asymptotische gemiddelde ook bestaat en voldoet aan:
  $$r(x) = \sum_{i=0}^{s-1} i \cdot \nu_i(x)$$
  In het binaire stelsel ($s=2$) valt het gemiddelde samen met de frequentie van het cijfer 1.

• Analyse van Verzamelingen:
  De auteurs definiëren specifieke verzamelingen:

  • $S$: De verzameling van getallen waarvoor $r(x)$ niet bestaat.
  • $M_i$: De verzameling van getallen waarvoor $r(x) = \nu_i(x)$ (het gemiddelde is gelijk aan de frequentie van cijfer $i$).
  • Ze analyseren deze verzamelingen op dichtheid, continuïteit, Lebesgue-maat en fractale dimensie.

---

3. Belangrijkste Resultaten en Bijdragen

A. Eigenschappen van de verzameling $S$ (Geen asymptotisch gemiddelde)

De verzameling $S$ bevat alle getallen waarvoor de limiet van het gemiddelde niet bestaat.

• Topologie: $S$ is een continue verzameling (bevat een continuüm van punten), dicht in het interval $[0, 1]$, maar overal discontinu.
• Maat: De Lebesgue-maat van $S$ is nul ($\lambda(S) = 0$). Dit betekent dat "bijna alle" reële getallen een asymptotisch gemiddelde hebben (in de zin van Lebesgue-maat).
• Fractale Dimensie: De verzameling $S$ is superfractaal. De Hausdorff-Besicovitch-dimensie is gelijk aan 1 ($\alpha_0(S) = 1$). Dit is opmerkelijk omdat de verzameling een maat van nul heeft, maar toch de volledige fractale dimensie van het interval bezit.

B. Eigenschappen van de verzamelingen $M_i$ (Gemiddelde = Frequentie)

De auteurs analyseren specifieke gevallen voor $s=3$ (trinaire voorstelling):

1. Verzameling $M_0$ ($r(x) = \nu_0(x)$):
   • Dit leidt tot de lineaire relatie $2\nu_1 + 3\nu_2 = 1$.
   • De verzameling is continu, dicht en heeft Lebesgue-maat nul.
   • De fractale dimensie is berekend als minimaal 0,8733.
2. Verzameling $M_1$ ($r(x) = \nu_1(x)$):
   • Dit impliceert $\nu_2(x) = 0$.
   • De fractale dimensie is $\log_2 3 \approx 1,58$ (in de context van de basis 3, wat neerkomt op $\frac{\ln 2}{\ln 3}$ voor de dimensie van de onderliggende Cantor-achtige structuur, maar de tekst geeft $\log_2 3$ als waarde voor de dimensieberekening in hun specifieke formulecontext, wat impliceert een dimensie groter dan 1 in hun schaal, of specifiek $\frac{\ln 2}{\ln 3}$ als de dimensie van de verzameling zelf. Correctie op basis van de tekst: De tekst stelt $\alpha_0(M_1) \ge \log_2 3$. Gezien de basis 3, is dit waarschijnlijk een typefout in de tekst of een specifieke notatie, maar de berekening leidt tot een dimensie die afhangt van de entropie. De tekst concludeert expliciet $\log_2 3$).
3. Verzameling $M_2$ ($r(x) = \nu_2(x)$):
   • Dit impliceert $\nu_1 = \nu_2 = 0$ en $\nu_0 = 1$.
   • Dit is een anomalistisch fractale verzameling met een fractale dimensie van 0. Het is een zeer dunne verzameling (alleen getallen met alleen cijfer 0).

C. Verband met Normale Getallen

Het artikel benadrukt dat getallen zonder asymptotisch gemiddelde "abnormaal" zijn. Volgens Borel's stelling hebben bijna alle getallen een normaal gedrag (gelijke frequenties). De verzameling $S$ is een subset van de abnormale getallen, wat verklaart waarom de Lebesgue-maat nul is, maar de fractale dimensie maximaal is.

---

4. Betekenis en Toepassing

• Generalisatie: Het werk breidt de theorie van normale getallen en cijferfrequenties uit naar het concept van het asymptotische gemiddelde in een breed scala aan numerieke systemen (Qs-voorstelling).
• Fractale Analyse: Het biedt nieuwe voorbeelden van verzamelingen met "superfractale" eigenschappen (dimensie 1 maar maat 0), wat belangrijk is voor het begrijpen van de structuur van singulariteiten in maattheorie.
• Nieuwe Objecten: De auteurs definiëren een nieuwe klasse van wiskundige objecten die kunnen worden gebruikt om singuliere distributies en fractale functies te construeren.
• Toepassingsgebied: De resultaten zijn relevant voor de meetkunde van fractale lineaire verzamelingen, de theorie van singuliere functies en de probabilistische theorie van getallen.

Conclusie

Pratsiovytyi en Klymchuk tonen aan dat de verzameling van getallen zonder asymptotisch gemiddelde van hun Qs-cijfers, hoewel verwaarloosbaar klein qua maat (nul), extreem groot is qua fractale complexiteit (dimensie 1). Ze leveren een grondige analyse van de relatie tussen cijfergemiddelden en frequenties, en karakteriseren de topologische en fractale aard van de resulterende verzamelingen, waarmee ze een nieuwe brug slaan tussen getaltheorie en fractale meetkunde.