Abelian-normal decimal expansions

Dit artikel introduceert het concept van abeliaan-normale getallen door analogie met normale getallen en abelische complexiteit, en bewijst dat een specifiek niet-normaal getal $D_{10}$, dat is afgeleid van de constante van Champernowne, wel abeliaan-normaal is met betrekking tot een gegeven wegingsfunctie.

De kern

De "Abel-Geordende" Getallen: Een Verhaal over Chaos, Orden en een Nieuw Type Wiskunde

Stel je voor dat je een oneindig lange rij cijfers hebt, zoals een getal dat na de komma doorgaat met 1, 2, 3, 4, 5... tot in het oneindige. Wiskundigen noemen zo'n getal een normaal getal. Wat betekent dat? Het betekent dat elk cijfer (0 tot 9) even vaak voorkomt, en dat elke combinatie van cijfers (zoals "12" of "999") ook precies zo vaak voorkomt als je zou verwachten bij een perfecte, willekeurige worp met een dobbelsteen met 10 zijden.

Het beroemdste voorbeeld hiervan is het Champernowne-getal ($C_{10}$). Dit is simpelweg het getal dat je krijgt als je alle natuurlijke getallen achter elkaar plakt:
0,123456789101112131415...

Dit getal is "normaal": het is een perfecte, chaotische mix van cijfers. Maar wat als we dit getal een beetje "op de schop" nemen? Wat als we bepaalde stukjes van de rij herschikken?

Het Nieuwe Concept: "Abel-Normaal"

De auteur van dit artikel, John Campbell, stelt een nieuwe vraag: Wat als we de volgorde van cijfers binnen een klein blokje veranderen, maar wel zorgen dat de "inhoud" van dat blokje hetzelfde blijft?

In de wiskunde heet dit abelische eigenschappen. Denk aan een tas met fruit. Als je een tas hebt met 2 appels en 1 peer, maakt het niet uit of je de appels eerst pakt of de peer. De inhoud (de "abelische" eigenschap) is hetzelfde: 2 appels, 1 peer. Als je de volgorde in de tas verwisselt, is het nog steeds dezelfde tas.

Campbell introduceert een nieuw type getal: het abel-normaal getal.

• Een normaal getal moet elke specifieke volgorde (bijv. "12") even vaak hebben.
• Een abel-normaal getal moet elke inhoud even vaak hebben. Dus als "12" en "21" beide bestaan, telt het getal ze samen als één soort "inhoud" (één 1 en één 2).

Het Experiment: Het Getal $D_{10}$

Campbell bouwt een nieuw getal, genaamd $D_{10}$, door te spelen met het bekende Champernowne-getal. Hij doet het volgende:

1. Hij kijkt naar het getal 0,123456789101112...
2. Hij zoekt naar stukjes die alleen uit de cijfers 0 en 1 bestaan (zoals "110100").
3. Hij sorteert die stukjes alfabetisch (of numeriek). Dus "110100" wordt "000111".
4. Hij plakt deze gesorteerde stukjes weer terug in het getal.

Het resultaat is een getal $D_{10}$ dat er heel anders uitziet dan het origineel. Bijvoorbeeld, het getal "10" komt er nooit voor, omdat hij alle 0's en 1's altijd in de volgorde 000...111... heeft gezet.

• Is het normaal? Nee! Omdat "10" nooit voorkomt, is het niet willekeurig genoeg om een "normaal" getal te zijn.
• Is het abel-normaal? Ja! En hier komt de magie. Hoewel de volgorde veranderd is, is de verdeling van de cijfers binnen die blokjes perfect behouden. Als je kijkt naar hoeveel 0's en 1's er in totaal zijn, en hoe vaak combinaties van 0's en 1's voorkomen (ongeacht de volgorde), dan klopt het precies zoals het hoort.

De Weegschaal (De Gewichtsfunctie)

Om dit te bewijzen, moet Campbell een nieuwe manier van tellen uitvinden. Stel je voor dat je een weegschaal hebt.

• Bij een normaal getal weeg je elke specifieke rijtje (bijv. "12") apart.
• Bij een abel-normaal getal moet je "12" en "21" samen wegen, alsof het één soort vracht is.

Campbell heeft een complexe formule (een "gewichtsfunctie") bedacht die precies berekent hoe zwaar elke combinatie moet wegen. Met deze formule kan hij bewijzen dat $D_{10}$ weliswaar niet normaal is (want de volgorde is vastgelegd), maar wel abel-normaal is (want de inhoud is perfect verdeeld).

Waarom is dit interessant?

Dit is als het bouwen van een huis dat er heel anders uitziet dan een standaardhuis, maar dat precies evenveel bakstenen, ramen en deuren heeft.

• Het laat zien dat je de "orde" van een getal kunt verstoren zonder de "statistiek" van de inhoud te breken.
• Het verbindt twee verschillende gebieden van de wiskunde: de theorie van getallen (hoe getallen zich gedragen) en de combinatoriek op woorden (hoe je letters of cijfers kunt herschikken).

De Open Vragen

Aan het einde van het artikel stelt Campbell twee spannende vragen voor de toekomst:

1. Is $D_{10}$ een "transcendent" getal? (Dit is een heel ingewikkeld type getal dat niet de oplossing is van een simpele vergelijking. Het originele Champernowne-getal is dit, maar is het nieuwe getal dat ook?)
2. Bestaat er een getal dat "puur abel-normaal" is, maar helemaal niet normaal? (Dit zou betekenen dat je een getal kunt maken dat perfect verdeeld is in inhoud, maar zo chaotisch of juist zo geordend is dat het nooit als een normaal getal zou worden beschouwd.)

Kortom: Campbell heeft een nieuw soort wiskundig "speelgoed" ontdekt. Hij heeft een getal gemaakt dat op het oog niet willekeurig is, maar als je door de lens van "inhoud" (in plaats van "volgorde") kijkt, is het juist het meest willekeurige getal dat je je kunt voorstellen.

Technische samenvatting

Hier is een gedetailleerde technische samenvatting van het artikel "Abelian-normal decimal expansions" van John M. Campbell, geschreven in het Nederlands.

Titel: Abeliaan-normale decimale expansies

Auteur: John M. Campbell (Dalhousie University)
Vakgebied: Getaltheorie, Combinatoriek op woorden, Wiskundige Analyse

---

1. Probleemstelling en Achtergrond

Het artikel behandelt de theorie van normale getallen. Een getal $\alpha$ wordt normaal genoemd in basis $B$ als elke blok van $k$ cijfers (subwoord) met gelijke frequentie voorkomt in de decimale expansie van $\alpha$, specifiek met een limietwaarde van $1/B^k$. Hoewel dit concept sinds 1909 (Borel) bekend is, richt de huidige onderzoekstrend zich op operaties die de normaliteit behouden of schenden, zoals het selecteren van cijfers langs een rekenkundige rij of het verwijderen van specifieke cijfers.

De auteur introduceert een nieuw concept: abeliaans-normaliteit. Dit concept is gebaseerd op de abeliaanse complexiteit uit de combinatoriek op woorden. Waar normale getallen kijken naar de exacte volgorde van cijfers in een blok, kijkt abeliaans-normaliteit naar blokken die equivalent zijn onder permutatie (het herschikken van de cijfers binnen het blok). De kernvraag is of er getallen bestaan die niet normaal zijn in de strikte zin, maar wel abeliaans-normaal zijn onder een specifieke wegingsfunctie.

2. Methodologie

Definitie van Abeliaans-Normaalheid

De auteur definieert een getal $\alpha$ als abeliaans-normaal in basis $B$ ten opzichte van een wegingsfunctie $W$, als voor elke blok $E$:
$$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{W(E)} \frac{B_E(\alpha, n)}{n} = \frac{1}{B^{\ell(E)}}$$
Hierbij is:

• $B_E(\alpha, n)$ het aantal voorkomens van $E$ en alle permutaties van $E$ in de eerste $n$ cijfers.
• $W(E)$ een wegingsfunctie die normaliseert op basis van de grootte van de equivalentieklasse van permutaties (bijvoorbeeld $W(E) = \ell(E)! / (c_0! c_1! \dots)$).
• $\ell(E)$ de lengte van het blok.

Constructie van het Constante $D_{10}$

Om een voorbeeld te construeren van een getal dat abeliaans-normaal is maar niet normaal, past de auteur een transformatie toe op het bekende Champernowne-getal $C_{10}$ (0.123456789101112...).

• De Transformatie: De auteur identificeert in de decimale expansie van $C_{10}$ alle "maximale binaire subwoorden" (contiguie reeksen van alleen de cijfers 0 en 1).
• De Operatie: Elke dergelijke binaire reeks wordt lexicografisch gesorteerd (alle nullen komen voor alle enen). Bijvoorbeeld, een reeks 110100 wordt omgezet in 000111.
• Het Resultaat: Dit creëert een nieuw getal $D_{10}$. Door deze sortering is $D_{10}$ niet normaal in de strikte zin, omdat specifieke patronen (zoals 10 binnen een binaire context) nooit meer voorkomen op de manier waarop ze in $C_{10}$ voorkwamen.

Analyse van Subwoorden

Om te bewijzen dat $D_{10}$ wel abeliaans-normaal is, analyseert de auteur de verschillen in het tellen van permutaties tussen $C_{10}$ en $D_{10}$. Hij onderscheidt twee gevallen:

1. Geval 1 ($\uparrow C$): Permutaties die in $C_{10}$ voorkomen maar niet in $D_{10}$ (door de sortering).
2. Geval 2 ($\uparrow D$): Woorden die in $D_{10}$ voorkomen als gevolg van de sortering, maar die in $C_{10}$ niet als de oorspronkelijke permutatie voorkwamen.

De auteur definieert tellers $C_w(C_{10}, n)$ en $D_w(C_{10}, n)$ voor het aantal dergelijke afwijkingen.

3. Belangrijkste Bijdragen en Resultaten

De Wegingsfunctie $W$

De centrale bijdrage is de constructie van een specifieke wegingsfunctie $W(w)$ die de afwijkingen tussen $C_{10}$ en $D_{10}$ compenseert.

• Voor woorden zonder binaire cijfers is $W(w)$ de standaard permutatiefactor.
• Voor woorden met binaire cijfers wordt $W(w)$ aangepast met een correctieterm die de limieten van de verhoudingen van de afwijkingen ($D_w/n$ en $C_w/n$) bevat.
• De formule voor $W(w)$ (voor woorden met minstens één niet-binair en één binair cijfer) is:
  $$W(w) = \frac{\ell(w)!}{\prod c_i!} + 10^{\ell(w)} \left( \lim_{n \to \infty} \frac{D_w(C_{10}, n)}{n} - \lim_{n \to \infty} \frac{C_w(C_{10}, n)}{n} \right)$$

Hoofdstelling (Theorem 1)

Het artikel bewijst dat het geconstrueerde getal $D_{10}$ abeliaans-normaal is met betrekking tot de hierboven gedefinieerde wegingsfunctie $W$.

• Bewijsstrategie: Het bewijs toont aan dat de limiet van de frequentie van permutaties in $D_{10}$, gecorrigeerd door $W$, exact overeenkomt met de theoretische verwachting voor een normaal getal. De correctietermen in $W$ compenseren precies het verlies of de winst aan permutaties door de sortering van binaire reeksen.

Voorbeeld

Het artikel illustreert dit met voorbeelden waar een blok zoals 4501140 in $C_{10}$ voorkomt, maar door de sortering van binaire delen in $D_{10}$ verandert. De teller $B_E$ telt nu alle permutaties, en de gewogen limiet blijft behouden.

4. Significantie en Toekomstperspectief

• Nieuw Concept: De introductie van "abeliaans-normale getallen" opent een nieuwe richting in de studie van normale getallen, waarbij de focus verschuift van exacte volgorde naar de samenstelling van cijfers (combinatorische equivalentie).
• Tegenvoorbeeld: Het artikel levert het eerste bekende voorbeeld van een getal dat abeliaans-normaal is maar strikt genomen niet normaal. Dit illustreert dat normaliteit en abeliaans-normaliteit verschillende concepten zijn die niet noodzakelijk samenvallen zonder de juiste weging.
• Verband met Combinatoriek: Het werk verbindt de theorie van normale getallen met de recente ontwikkelingen in de combinatoriek op woorden, specifiek abeliaanse complexiteit (zoals bij het Tribonacci-woord en de Rudin-Shapiro-sequentie).
• Open Problemen:
  1. Kan een vergelijkbare methode als Mahler's bewijs voor de transcendentie van $C_{10}$ worden gebruikt om te bewijzen dat $D_{10}$ transcendent is?
  2. Bestaat er een "puur" abeliaans-normaal getal (waarbij de wegingsfunctie puur gebaseerd is op de grootte van de permutatieklasse, zonder extra correctietermen) dat niet normaal is?

Conclusie

John M. Campbell presenteert een innovatieve constructie die de grenzen van de definitie van normale getallen verlegt. Door de permutatie-invariantie van subwoorden te benutten en een geavanceerde wegingsfunctie te definiëren, toont hij aan dat men getallen kan construeren die "chaotisch" zijn in hun exacte volgorde (niet normaal), maar "statistisch evenwichtig" zijn in hun samenstelling (abeliaans-normaal). Dit biedt nieuwe inzichten in de relatie tussen willekeur, normaliteit en de structuur van getallen.