Riemannian Geometry of Optimal Rebalancing in Dynamic Weight Automated Market Makers

Dit artikel toont aan dat de optimale rebalancing in dynamische AMM-pools kan worden gemodelleerd als een geodeet op het gewichtsimplex volgens de Fisher-Rao-metriek, waarbij de SLERP-interpolatie in Hellinger-coördinaten een minimale arbitragekost realiseert die nauw samenhangt met de recursieve AM-GM-bisectiemethode.

De kern

Stel je voor dat je een reistip hebt voor een reis van punt A naar punt B, maar je moet onderweg een paar keer stoppen om je geld om te wisselen.

In de wereld van crypto en "Automated Market Makers" (AMM's) – die als onzichtbare beurzen fungeren – gebeurt er iets vergelijkbaars. Deze systemen moeten hun "gewicht" (hoeveel van welke munt ze in bezit hebben) veranderen om een nieuwe strategie te volgen. Als ze dit in één grote sprong doen, kost het hen veel geld door arbitrageurs (snelle handelaren die profiteren van de prijsverschillen).

Deze paper, geschreven door Matthew Willetts, legt uit hoe je die reis zo goedkoop mogelijk kunt maken. Het klinkt als wiskunde op universitair niveau, maar de kern is eigenlijk een mooi verhaal over de kortste weg door een landschap.

Hier is de uitleg in gewone taal, met een paar creatieve vergelijkingen:

1. Het Probleem: De "Grote Sprong" is Dure

Stel je voor dat je een bak met appels en peren hebt. Je wilt de verhouding veranderen van 50/50 naar 90/10.

• De oude manier: Je gooit direct alle appels weg en koopt peren. Maar omdat je dit in één keer doet, schuift de prijs enorm op. Handelaars zien dit en pikken het verschil op. Jij verliest geld.
• De slimme manier: Je doet het in kleine stapjes. Eerst 51/49, dan 52/48, enzovoort. Omdat elke stapje klein is, is de "schok" voor de markt klein, en verlies je minder geld.

De vraag is: Hoe groot moeten die stapjes zijn en welke route moet je nemen?

2. De Wiskundige Oplossing: Een Kaart van de "Pijn"

De auteur ontdekt iets fascinerends: de kosten van elke stap zijn niet lineair (zoals een rechte lijn), maar lijken op een bolvormig landschap.

• De Analogie: Stel je voor dat je op een bol loopt. Als je een rechte lijn trekt op een platte kaart (een gewone lijn), kom je niet op het kortste pad uit op de bol. Je moet een kromme lijn (een "geodetische lijn") lopen, zoals vliegtuigen dat doen op aarde.
• In dit geval is de "bol" een wiskundige ruimte die de verhoudingen van de munten voorstelt. De kortste weg (en dus de goedkoopste) is een geodetische lijn op deze bol.

De paper noemt deze weg SLERP (Spherical Linear Interpolation). In het Nederlands zou je het kunnen zien als het "perfect gebogen pad" dat je moet volgen om de minste "pijn" (geldverlies) te ondervinden.

3. De Magische Formule: Het "Gemiddelde van Gemiddelden"

Voorheen hadden experts een handige vuistregel bedacht: neem het rekenkundig gemiddelde (AM) en het meetkundig gemiddelde (GM) en tel ze bij elkaar op.

• Rekenkundig: (Appels + Peren) / 2
• Meetkundig: Wortel uit (Appels × Peren)

De paper toont aan dat deze oude, handige regel exact hetzelfde punt raakt als de perfecte, wiskundig ideale route (SLERP) precies halverwege de reis.

• De Metafoor: Het is alsof je een schatkaart hebt. De wiskundigen dachten dat ze een ingewikkelde route moesten tekenen, maar bleek dat de oude, simpele schets van de schat (de AM+GM-formule) precies op de schat landt. Het werkt dus al jaren, maar niemand wist waarom het zo perfect werkte. Nu weten we: het volgt de natuurlijke kromming van de ruimte.

4. De "Truc" voor Computers: Geen Rekenmachines Nodig

Computers in blockchains (zoals Ethereum) zijn erg traag en duur als je complexe wiskunde (zoals sinussen en cosinussen) moet doen. De perfecte route (SLERP) vereist normaal gesproken deze moeilijke berekeningen.

Maar de auteur ontdekt een magische truc:
Als je de reis in exact de helft deelt (eerst 1 stap, dan 2, dan 4, dan 8, enz.), kun je de perfecte route berekenen door alleen maar optellen, vermenigvuldigen en worteltrekken. Je hoeft geen ingewikkelde goniometrie te gebruiken!

• De Analogie: Het is alsof je een taart wilt snijden in perfecte stukken. In plaats van een laser te gebruiken, kun je gewoon telkens de taart in tweeën vouwen. Op die manier krijg je precies de juiste vorm, zonder dure apparatuur.

5. Waarom is dit belangrijk?

• Besparing: Door deze route te volgen, verlies je minder geld aan arbitrageurs. Bij grote veranderingen kan dit verschil oplopen tot 20% minder kosten vergeleken met de simpele "rechte lijn" methode.
• Veiligheid: Het werkt zelfs als je dicht bij de rand van de "kaart" komt (waar een munt bijna 0% of 100% is), wat vaak het lastigste is.
• Toekomst: Dit helpt ontwikkelaars om betere, goedkopere beurzen te bouwen die automatisch hun strategie aanpassen zonder dat de gebruikers (liquidity providers) veel geld kwijtraken.

Samenvatting in één zin

De paper zegt: "Als je de verhouding van munten in een pool wilt veranderen, loop dan niet in een rechte lijn, maar volg de natuurlijke kromme van de ruimte (SLERP); gelukkig kun je dit halverwege berekenen met een simpele formule en in kleine stapjes met een slimme 'vouw-truc' zonder dure wiskunde."

Het is een mooi voorbeeld van hoe diepe wiskunde (Riemanniaanse meetkunde) een heel praktisch probleem oplost: hoe we geld sparen door slimmer te reizen.

Technische samenvatting

Hier is een gedetailleerde technische samenvatting van het paper "Riemannian Geometry of Optimal Rebalancing in Dynamic Weight Automated Market Makers" van Matthew Willetts, geschreven in het Nederlands.

Titel: Riemanniaanse Geometrie van Optimale Herbeweging in Dynamische Gewogen Automated Market Makers (AMM's)

Auteur: Matthew Willetts (QuantAMM.fi)
Datum: Maart 2026

---

1. Het Probleem

In Temporal Function Market Making (TFMM) worden dynamische AMM-pools (zoals G3M-pools) hergewogen van een startgewicht naar een doelgewicht. Wanneer de gewichten veranderen terwijl de marktprijzen constant blijven, ontstaan er arbitragemogelijkheden. Arbitrageurs exploiteren deze kansen, wat leidt tot een verlies aan waarde voor de pool (de "arbitrage cost" of "impermanent loss" gerelateerd aan herbeweging).

Het probleem is dat het direct overschakelen van start- naar doelgewichten in één stap een disproportioneel hoge kost veroorzaakt. Het verspreiden van deze gewichtsverandering over meerdere tussenstappen (interpolatie) verlaagt de totale kosten. Echter, de vraag blijft: wat is de optimale pad (traject) van gewichten tussen start en doel om de totale arbitragekost te minimaliseren?

Eerdere werken [1] stelden een heuristiek voor: het gemiddelde van de rekenkundige en meetkundige middelpunten, genormaliseerd: $(AM + GM) / \text{normalise}$. Deze methode presteerde goed (~95% van de theoretische optimum), maar de onderliggende wiskundige reden voor deze effectiviteit was onbekend.

2. Methodologie en Theoretisch Kader

De auteur gebruikt Informatiegeometrie om het probleem te herformuleren:

• KL-Divergentie als Kost: Het paper bewijst dat de logaritmische verliesratio van een gewichtsupdate exact gelijk is aan de Kullback-Leibler (KL) divergentie tussen het nieuwe en het oude gewichtsvectoren.
  $$-\log(r) = D_{KL}(w_{end} \parallel w_{start})$$
• Fisher-Rao Metriek: Voor kleine veranderingen is de leidende orde van deze KL-divergentie een kwadratische vorm die de Fisher-Rao metriek definieert op het gewichtsimpliciet. Dit maakt het simpliciet een Riemanniaanse variëteit.
• Hellinger Inbedding: Door een coördinatentransformatie $\eta_i = \sqrt{w_i}$ (de Hellinger-inbedding), wordt het gewichtsimpliciet isometrisch afgebeeld op de positieve orthant van de eenheidsbol $S^{N-1}_+$. In deze ruimte wordt de Fisher-Rao metriek een veelvoud van de standaard bolmetriek.
• Geodeten: Op een bol zijn de kortste paden (geodeten) grote cirkels. De optimale interpolatie die de kwadratische kost minimaliseert, is dus een pad langs een grote cirkel, geparametriseerd met constante snelheid. Dit staat bekend als SLERP (Spherical Linear Interpolation).

3. Belangrijkste Bijdragen

1. Geometrische Identificatie: Het paper toont aan dat de arbitragekost fundamenteel een KL-divergentie is en dat de Fisher-Rao metriek de natuurlijke Riemanniaanse structuur voor dynamische AMM's is.
2. Optimaliteit van SLERP: Het bewijst dat SLERP in Hellinger-coördinaten ($\eta_i = \sqrt{w_i}$) de pad is die de totale kwadratische verlieskost minimaliseert. Dit pad wordt afgelegd met constante snelheid op de bol.
3. Verklaring van de Heuristiek: Een cruciale ontdekking is dat het SLERP-middelpunt exact overeenkomt met de $(AM+GM)/\text{normalise}$ heuristiek uit eerdere werken.
   • Wiskundig volgt dit uit de binomiale identiteit: $(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2 = a + b + 2\sqrt{ab} = 2(AM + GM)$.
   • Dit geldt voor elk aantal tokens en elke grootte van gewichtsverandering.
4. Trig-vrij Algoritme: Omdat het middelpunt exact overeenkomt, kan een volledig SLERP-traject worden berekend voor $f = 2^d$ stappen door recursieve bisection (halveren).
   • Men begint met start en eindpunt.
   • Men berekent het middelpunt met de $(AM+GM)/\text{normalise}$ formule.
   • Men herhaalt dit voor de nieuwe segmenten.
   • Voordeel: Dit vereist geen trigonometrische functies (zoals arccos of sin), wat het zeer efficiënt maakt voor implementatie op de blockchain (on-chain).
5. Sub-optimaliteitsgrens: Het paper levert een bovengrens voor de sub-optimaliteit van SLERP ten opzichte van de exacte KL-kost (niet alleen de kwadratische benadering). De relatieve sub-optimaliteit is $O(\Omega^2 / f^2)$, waarbij $\Omega$ de totale hoekverandering is en $f$ het aantal stappen.

4. Resultaten en Experimenten

• Uniformiteit van Verlies: Numerieke simulaties (met $N=3$ tokens en 1000 stappen) tonen aan dat SLERP een bijna perfecte uniformiteit in per-stap verlies bereikt (standaardafwijking/mean ratio van 0.0002), vergeleken met lineaire interpolatie (0.32) of de $(AM+GM)$ methode (0.086).
• Vergelijking met Brute-Force Optimalisatie: Bij vergelijking met een numerieke optimizer (L-BFGS-B) die de exacte KL-kost minimaliseert, blijkt SLERP extreem dicht bij de globale optimum te liggen. Voor $f=1000$ is het verschil verwaarloosbaar.
• Gedrag bij Randen: Bij gewichten dicht bij de rand van het simpliciet (bijv. 1% minimumgewicht), presteert SLERP aanzienlijk beter dan lineaire interpolatie (die tot 20% extra kosten kan veroorzaken). De $(AM+GM)$ methode presteert iets slechter dan SLERP, maar veel beter dan lineair.
• Lambert W vs. SLERP: Voor zeer grote stappen (bijv. $f=2$) dicht bij de rand kan de Lambert W-methode (die de exacte behoudsratio maximaliseert) iets beter presteren dan SLERP. Echter, voor multi-stap scenario's ($f \ge 10$) convergeren alle methoden en is SLERP de meest praktische keuze.

5. Betekenis en Conclusie

Dit paper legt de fundamentele wiskundige basis voor het rebalanceren van dynamische AMM's:

• Theoretisch: Het verbindt de praktijk van AMM's met de geavanceerde wiskunde van Riemanniaanse meetkunde en informatiegeometrie. Het toont aan dat de "natuurlijke" weg voor gewichtsverandering een geodeet op een bol is, niet een rechte lijn in het gewichtsspace.
• Praktisch: Het valideert de reeds gebruikte $(AM+GM)/\text{normalise}$ heuristiek als een exacte oplossing voor het middelpunt van de optimale geodeet.
• Implementatie: Het introduceert een recursief bisection-algoritme dat het volledige optimale traject kan genereren zonder dure trigonometrische berekeningen. Dit maakt het direct toepasbaar in smart contracts, waar rekenkracht en kosten (gas) kritiek zijn.

Conclusie: Voor de meeste praktische toepassingen in TFMM is de $(AM+GM)/\text{normalise}$ methode (via recursieve bisection) de aanbevolen strategie. Het biedt een perfecte balans tussen wiskundige optimaliteit (geodetisch pad) en computerefficiëntie (geen transcedente functies nodig), en garandeert minimale arbitragekosten voor de pool.