The completion of the set of Lagrangians and applications to dynamics -- Based on lectures by C. Viterbo

Deze lezingen van C. Viterbo introduceren de voltooiing van de verzameling Lagrangiaanse deelvariëteiten ten opzichte van de spectrale metriek, ontwikkelen het concept van $\gamma$-ondersteuning als verfijning, en passen deze theorie toe op conform symplectische dynamica om het begrip van Birkhoff-attractoren te generaliseren.

De kern

Stel je voor dat je een enorme, oneindige bibliotheek hebt. In deze bibliotheek staan niet boeken, maar vormen of oppervlakken die zweven in een speciaal soort ruimte die wiskundigen een "symplectische ruimte" noemen. Laten we deze ruimte zien als een heel groot, glanzend, elastisch laken dat nooit uit elkaar kan worden gescheurd, maar wel kan worden uitgerekt en gedraaid.

De vormen in deze bibliotheek heten Lagrangiaanse subvariëteiten. Dat klinkt eng, maar denk er gewoon aan als speciale, gladde oppervlakken die een soort "perfecte balans" houden in dit elastische laken. Ze zijn als dansers die precies op de maat bewegen zonder ooit de vloer te raken.

Het Probleem: De Gaten in de Bibliotheek

In de wiskunde willen we vaak alle mogelijke dansers (deze oppervlakken) op een rijtje zetten en meten hoe ver ze van elkaar verwijderd zijn. Wiskundigen hebben een manier bedacht om deze afstand te meten, gebaseerd op een soort "energie" of "spectrale waarde" (een getal dat vertelt hoe complex de vorm is).

Het probleem is echter dat deze bibliotheek gaten heeft.
Stel je voor dat je een danser hebt die steeds sneller en sneller draait, of die steeds dunner wordt tot hij bijna verdwijnt. Als je probeert deze danser te benaderen met andere, stabiele dansers, kom je op een punt waar er geen "echte" danser meer is die precies op die plek staat. De danser is verdwenen in een gat. De verzameling van alle bekende dansers is niet "volledig". Er ontbreken stukken.

De Oplossing: De "Humilière-Vollediging"

De auteurs van dit artikel (gebaseerd op lezingen van C. Viterbo) hebben een manier gevonden om deze gaten te dichten. Ze hebben een nieuwe verzameling bedacht, de compleetgemaakte verzameling.

Stel je voor dat je een puzzel hebt waarbij sommige stukjes ontbreken. In plaats van te zeggen "de puzzel is kapot", zeggen deze wiskundigen: "Laten we de schaduwen van de ontbrekende stukken tekenen."

• De nieuwe "dansers" in deze voltooide bibliotheek zijn niet altijd gladde oppervlakken meer. Ze kunnen ruw, gebroken of zelfs wazig zijn.
• Ze noemen deze nieuwe objecten γ-ondersteuningen (gamma-supports). Denk hierbij aan de "schaduw" of de "contour" die een danser achterlaat, zelfs als de danser zelf niet meer als een glad oppervlak bestaat.

Het mooie is: zelfs als de danser verdwenen is, blijft zijn "schaduw" bestaan. Deze schaduw heeft nog steeds eigenschappen die ons vertellen waar hij was en hoe hij bewoog.

De "Birkhoff Attractor": De Magneet in het Chaos

Een groot deel van het artikel gaat over een specifiek type beweging: dissipatieve systemen.
Stel je een slinger voor die niet eeuwig blijft zwaaien, maar door wrijving langzaam stopt. Of een balletje dat in een kom rolt en uiteindelijk stilvalt op de bodem. In de wiskunde noemen we dit een "attractor": een punt of vorm waar alles naartoe trekt.

In de oude wereld (alleen met gladde oppervlakken) was het lastig om te zeggen waar precies deze "stopplek" is als de beweging heel complex wordt. Maar met hun nieuwe "voltooide bibliotheek" kunnen ze nu een Generalized Birkhoff Attractor definiëren.

• De Analogie: Stel je voor dat je een heel drukke dansvloer hebt waar mensen (de oppervlakken) rondlopen. Iedereen wordt langzaam naar één specifiek punt getrokken door een onzichtbare magneet.
• In de oude wereld zagen we misschien alleen de mensen die nog net op de vloer stonden.
• In de nieuwe wereld zien we ook de "sporen" die de mensen hebben achtergelaten en de "ruis" die ontstaat als ze heel snel bewegen. De Birkhoff Attractor is nu niet meer alleen een punt, maar een complex, misschien zelfs een beetje "ruig" gebied dat precies aangeeft waar de chaos uiteindelijk neerstrijkt.

Dit helpt wetenschappers om te begrijpen hoe systemen (zoals weerpatronen of de beweging van planeten met wrijving) zich gedragen op de lange termijn, zelfs als ze erg chaotisch zijn.

Waarom is dit belangrijk?

1. Het vullen van gaten: Het geeft wiskundigen een manier om over "grensgevallen" te praken. Als iets bijna verdwijnt, kunnen ze nu nog steeds zeggen: "Kijk, daar is de schaduw van dat iets."
2. Nieuwe inzichten in dynamica: Het helpt om te zien dat zelfs in systemen die lijken te stoppen (dissipatief), er een heel rijke, complexe structuur verborgen zit die we eerder niet konden zien.
3. Verbindingen: Het laat zien dat verschillende soorten wiskundige problemen (zoals het zoeken naar de "beste" route of het begrijpen van wrijving) eigenlijk met dezelfde gereedschapskist opgelost kunnen worden.

Samenvattend

Deze tekst is als een verhaal over het vinden van de ontbrekende puzzelstukjes in de wereld van beweging en vorm.

• De Lagrangiaanse oppervlakken zijn de dansers.
• De γ-ondersteuning is hun schaduw die blijft bestaan als ze verdwijnen.
• De Birkhoff Attractor is de magneet die alles naar één plek trekt.

Door deze nieuwe manier van kijken, kunnen wiskundigen nu zien wat er gebeurt in de "gaten" van de realiteit, en ontdekken ze dat zelfs de meest chaotische systemen een verborgen orde hebben die ze nu kunnen beschrijven. Het is alsof ze een bril hebben opgezet waarmee ze de onzichtbare contouren van de wereld kunnen zien.

Technische samenvatting

Hier is een gedetailleerde technische samenvatting van het paper "The completion of the set of Lagrangians and applications to dynamics" van Olga Bernardi en Francesco Morabito, gebaseerd op de lezingen van C. Viterbo.

1. Probleemstelling en Context

De kern van dit onderzoek ligt in de symplectische meetkunde en dynamische systemen. De auteurs willen de ruimte van exacte Lagrangiaanse deelvariëteiten van een symplectische variëteit $(M, -d\lambda)$ completeren met betrekking tot de spectrale metriek (geïntroduceerd door V. Humilière).

• Het probleem: De ruimte van exacte Lagrangiaanse deelvariëteiten (isotoop aan de nul-sectie van een cotangentiebundel $T^*N$) is niet compleet onder de spectrale metriek. Dit betekent dat Cauchy-rijen in deze ruimte niet noodzakelijk convergeren naar een element binnen de oorspronkelijke ruimte van gladde Lagrangiaanse deelvariëteiten.
• De uitdaging: Hoe kunnen we de elementen in deze "completie" (de limieten van dergelijke rijen) geometrisch interpreteren? Wat is de structuur van deze nieuwe objecten en hoe kunnen we ze gebruiken om dynamische systemen te analyseren, met name in hogere dimensies waar klassieke methoden tekortschieten?

2. Methodologie

De auteurs hanteren een combinatie van variatierekening, spectrale invarianten en theorie van genererende functies.

• Genererende Functies (GFQI): Ze maken gebruik van genererende functies die kwadratisch zijn in het oneindige (GFQI - Generating Functions Quadratic at Infinity). Deze functies stellen een 1-op-1 correspondentie tussen kritieke punten en snijpunten van Lagrangiaanse deelvariëteiten met de nul-sectie.
• Spectrale Invarianten: Door de Lusternik-Schnirelmann-theorie toe te passen op GFQI's, definiëren de auteurs spectrale invarianten $c(\alpha, L)$ voor cohomologieklassen $\alpha$. Deze invarianten leiden tot de definitie van twee afstanden:
  • $\gamma(L_1, L_2)$: Een afstand op de ruimte van Lagrangiaanse deelvariëteiten.
  • $c(\tilde{L}_1, \tilde{L}_2)$: Een afstand op de ruimte van Lagrangiaanse "branes" (Lagrangiaanse deelvariëteiten met een gekozen primitieve functie).
• Completie: De auteurs construeren de metrische completies $\overline{\mathcal{L}}_0(T^*N)$ en $\overline{\mathcal{L}}_0(T^*N)$ van de respectievelijke ruimten.
• $\gamma$-ondersteuning ($\gamma$-support): Om de elementen in de completie te begrijpen, introduceren ze het concept van $\gamma$-ondersteuning. Een punt $z$ behoort tot de $\gamma$-ondersteuning van een element $L$ in de completie als er voor elke $\epsilon > 0$ een Hamiltoniaanse diffeomorfisme $\phi$ met draag in een $\epsilon$-bol rond $z$ bestaat zodanig dat $\gamma(L, \phi(L)) > 0$.
• $\gamma$-coisotropie: Ze definiëren een nieuwe klasse van subsets, genaamd $\gamma$-coisotrope verzamelingen, die een generalisatie vormen van klassieke coisotrope subvariëteiten. Een verzameling is $\gamma$-coisotroop als het "energiekosten" (gemeten via de $\gamma$-norm) vereist zijn om de verzameling lokaal te verplaatsen.

3. Belangrijkste Bijdragen en Resultaten

A. Eigenschappen van de Completie en $\gamma$-ondersteuning

• Bestaan en Uniekheid: De auteurs bewijzen dat de spectrale invarianten goed gedefinieerd zijn op de completie.
• $\gamma$-ondersteuning als $\gamma$-coisotrope verzameling: Een fundamenteel resultaat is dat de $\gamma$-ondersteuning van elk element in de completie een $\gamma$-coisotrope verzameling is. Dit generaliseert het bekende feit dat gladde Lagrangiaanse deelvariëteiten coisotroop zijn.
• Niet-leegheid en Dimensie: Voor elementen met compacte ondersteuning is de $\gamma$-ondersteuning nooit leeg. De auteurs tonen aan dat de Hausdorff-dimensie van deze ondersteuning minimaal $n$ is (waar $2n$ de dimensie van de cotangentiebundel is).
• Peano-Lagrangiaanse deelvariëteiten: Er worden voorbeelden gegeven van elementen in de completie waarvan de $\gamma$-ondersteuning een "Peano-curve" is (een ruimtevullende kromme), wat aantoont dat deze objecten topologisch zeer complex kunnen zijn.

B. Generalisatie van Birkhoff-attractoren

De paper past de theorie toe op conform symplectische dynamica (dissipatieve systemen).

• Definitie: Voor een conform exact symplectische diffeomorfisme $\psi$ met een conformal ratio $a \in (0,1)$, bestaat er een unieke vaste punt $L_\infty$ in de gecompleteerde ruimte $\overline{\mathcal{L}}_0(T^*N)$.
• Generalized Birkhoff Attractor: De auteurs definiëren de generalized Birkhoff attractor $B_\infty$ als de $\gamma$-ondersteuning van dit vaste punt $L_\infty$.
• Vergelijking met Klassiek: In het geval van de cilinder ($T^*S$), bewijzen ze dat deze nieuwe definitie exact overeenkomt met de klassieke Birkhoff-attractor (zoals gedefinieerd door G.D. Birkhoff en later bestudeerd door Charpentier en LeCalvez).
• Topologische Eigenschappen: Ze bewijzen dat $B_\infty$ een gesloten, invariant en $\gamma$-coisotrope verzameling is. Bovendien is de projectie van $B_\infty$ op de basisvariëteit $N$ cohomologisch niet-triviaal (de injectiviteit van de cohomologie van $N$ in de cohomologie van de attractor).

C. Toepassingen en Open Vragen

• Transitiviteit: De auteurs tonen aan dat de actie van de gecompleteerde groep van Hamiltoniaanse diffeomorfismen transitief is op de ruimte van gesloten exacte Lagrangiaanse deelvariëteiten. Dit is een zwakke versie van de "Nearby Lagrangian Conjecture" van Arnold.
• Dynamische Complexiteit: De theorie biedt een raamwerk om de dynamische complexiteit van attractoren in hogere dimensies te bestuderen, iets wat met klassieke methoden moeilijk is.
• Open Vragen: De paper identificeert open vragen, zoals de exacte topologische structuur van $B_\infty$ in hogere dimensies en de relatie tussen de Hausdorff-dimensie van de ondersteuning en de uniciteit van het Lagrangiaanse element.

4. Significatie

Deze paper is van groot belang voor de symplectische meetkunde en dynamische systemen om de volgende redenen:

1. Brug tussen Analyse en Meetkunde: Het verbindt de analytische concepten van spectrale invarianten en variatierekening met de meetkundige structuur van Lagrangiaanse deelvariëteiten in hun completie.
2. Verrijking van Dynamische Systemen: Het introduceert een robuust concept van attractoren voor dissipatieve systemen in hogere dimensies. De "generalized Birkhoff attractor" biedt een manier om complexe, mogelijk fractale of niet-gladde invarianten sets te karakteriseren die eerder onzichtbaar waren.
3. Nieuwe Invarianten: Het concept van $\gamma$-coisotropie biedt een nieuw instrument om de rigiditeit van subsets in symplectische variëteiten te bestuderen, verder dan de klassieke coisotropie.
4. Toekomstgericht: De resultaten leggen de basis voor verdere studies naar de "skeleton" van Liouville-variëteiten en de Floer-Fukaya-equivalentie, wat centraal staat in de moderne symplectische topologie.

Kortom, het paper transformeert een abstracte analytische completie in een krachtig instrument voor het begrijpen van de geometrie en dynamica van complexe systemen, en breidt de klassieke theorie van Birkhoff-attractoren succesvol uit naar hogere dimensies.