Reducing Quantum Error Mitigation Bias Using Verifiable Benchmark Circuits

Titel: Vermindering van Bias bij Quantum Error Mitigation met Gebruik van Verifieerbare Benchmark Circuits

Auteurs: Joseph Harris, Kevin Lively en Peter K. Schuhmacher (DLR, Duitsland)
Datum: Maart 2026

---

1. Het Probleem

Quantum Error Mitigation (QEM) is essentieel voor het uitvoeren van nuttige berekeningen op Noisy Intermediate-Scale Quantum (NISQ) computers, waar foutcorrectie nog niet haalbaar is. Bestaande methoden, zoals Zero-Noise Extrapolation (ZNE), verlagen de ruis door het circuit bij verschillende ruisniveaus te draaien en de resultaten naar een ruisvrij punt (nul ruis) te extrapoleren.

Echter, deze methoden lijden vaak aan bias (systematische afwijking). Hoewel ze de variantie kunnen verminderen, blijven de verwachte waarden ($\langle O \rangle$) vaak afwijken van de exacte waarde. De huidige uitdaging is om deze resterende bias te kwantificeren en te corrigeren zonder de rekenkosten exponentieel te laten stijgen, wat vaak het geval is bij geavanceerde methoden zoals probabilistische foutcorrectie.

2. Methodologie

De auteurs stellen een modulaire aanpak voor om de bias van elke bestaande QEM-methode te verminderen door het gebruik van verifieerbare benchmark circuits.

A. Het Concept van Benchmark Circuits

Voor een gegeven applicatie-circuit $A$ wordt een corresponderend benchmark-circuit $B$ geconstrueerd dat voldoet aan drie voorwaarden:

1. Gestructureerde gelijkheid: $A$ en $B$ moeten op de doelhardware worden getranspileerd tot een identieke volgorde van native gates en metingen (met uitzondering van vervangingen door equivalente gates).
2. Verifieerbaarheid: De uitkomst van $B$ moet klassiek efficiënt bepaalbaar zijn (bijvoorbeeld een Clifford-circuit).
3. Bekende verwachtingswaarde: De exacte verwachtingswaarde van de observabele $O$ voor $B$ is bekend en gelijk aan 1 (of -1).

B. Bias-Mitigatie Protocol

Als een QEM-methode de bias van het applicatie-circuit $A$ schat als $b_A$ en die van het benchmark-circuit $B$ als $b_B$, kan de gecorrigeerde (bias-gemineerde) waarde worden berekend als:
$$\langle O \rangle_{b-mit} = \frac{\langle O \rangle_{QEM}^A}{\langle O \rangle_{QEM}^B}$$
Omdat $\langle O \rangle_{exact}^B = 1$, benadert deze verhouding de exacte waarde van $A$ nauwkeuriger, mits $|b_A - b_B| < |b_A|$. De auteurs tonen analytisch aan dat dit werkt onder uniforme depolariserende ruis.

C. Genereermethodes voor Benchmark Circuits

Het artikel presenteert twee methoden om deze circuits te genereren:

1. Hardware-agnostisch: Gebaseerd op Pauli-rotaties. Het applicatie-circuit wordt herschreven als een reeks Pauli-rotaties. Het benchmark-circuit gebruikt dezelfde structuur maar met willekeurige hoeken en Pauli-operators die zorgen dat de eindtoestand een producttoestand is met een bekende uitkomst. Dit vereist een kleine overhead aan single-qubit gates voor consistente transpilatie.
2. Hardware-tailored (IBM-specifiek): Voor IBM's 'Heron' architectuur (basis-gates: CZ, RZ, X, $\sqrt{X}$). Hierbij worden $\sqrt{X}$-gates in het applicatie-circuit vervangen door $X$-gates. Omdat deze gates op deze hardware vergelijkbare fouten hebben, ontstaat er een circuit zonder entanglement dat klassiek verifieerbaar is en geen gate-overhead introduceert.

D. Benchmarked-Noise ZNE (bnZNE)

De auteurs introduceren een verbeterde versie van ZNE. In plaats van de ruis te extrapoleren op basis van het aantal gates (factor $r$), wordt de ruis geschaald op basis van de gemeten foutkans van het benchmark-circuit.

• Men draait zowel $A$ als $B$ bij verschillende ruisniveaus.
• De foutkans $\varepsilon(r)$ wordt berekend uit de meetuitkomsten van $B$.
• De resultaten van $A$ worden geëxtrapoleerd naar $\varepsilon = 0$.
  Dit levert een nauwkeurigere schatting van het ruisniveau op dan het theoretische aantal gates.

3. Belangrijkste Resultaten

A. Numerieke Simulaties (Classical)

• Schaal: 10-qubit circuits (Kick-Ising en Heisenberg modellen).
• Resultaat: De bias-mitigatie leidt tot een bijna volledige eliminatie van de bias in Zero-Noise Extrapolatie onder depolariserende ruis. De "bias-gemineerde" resultaten (diamanten in Figuur 2) liggen extreem dicht bij de exacte waarde (fideliteit $\approx 1$), terwijl standaard ZNE (cirkels) nog steeds een duidelijke bias vertoont.

B. Experimentele Resultaten (Hardware)

• Schaal: 100-qubit experimenten op de IBM ibm_fez supergeleidende processor.
• Toepassingen: Simulatie van een 100-qubit 1D Kick-Ising keten.
• Observables: Single-site magnetisatie ($\langle Z \rangle$) en twee-qubit correlaties ($\langle Z_i Z_j \rangle$).
• Vergelijking: Standaard ZNE vs. Bias-mitigated ZNE, bnZNE, en Bias-mitigated bnZNE.
• Kernbevindingen:
  • bnZNE presteert beter dan standaard ZNE in zowel gemiddelde fideliteit als Root Mean Squared Error (RMSE).
  • Bias-mitigatie verlaagt de variantie aanzienlijk, wat de betrouwbaarheid verhoogt, zelfs als de exacte waarde onbekend is.
  • De methoden kunnen langeafstands-correlaties beter herstellen dan standaard ZNE.
  • De auteurs tonen aan dat hun benchmark-circuits ook kunnen worden gebruikt om hardware-ongewenstheden (zoals defecte qubits) te detecteren door afwijkingen in de benchmark-metingen te analyseren.

4. Bijdragen en Innovatie

1. Modulaire Bias-Correctie: Een generieke methode om de bias van elke bestaande QEM-methode te verminderen zonder de methode zelf fundamenteel te veranderen.
2. bnZNE: Een nieuwe variant van Zero-Noise Extrapolation die gebruikmaakt van experimenteel gemeten ruisniveaus via benchmark circuits in plaats van theoretische gate-tellingen.
3. Efficiënte Benchmark Generatie: Methodes om benchmark circuits te maken die de ruisprofielen van applicaties nabootsen, variërend van hardware-agnostisch tot volledig hardware-geoptimaliseerd (zonder overhead).
4. Software: Open source softwarepakket beschikbaar gesteld voor implementatie van deze technieken.

5. Betekenis en Toekomstperspectief

Dit werk biedt een praktische en schaalbare oplossing voor een van de grootste beperkingen van huidige quantum computers: de systematische fout (bias) in error mitigation.

• Kostenefficiëntie: De methode vereist slechts een verdubbeling van het aantal circuitruns (één voor applicatie, één voor benchmark), wat veel goedkoper is dan exponentiële overhead-methoden zoals probabilistische foutcorrectie.
• Betrouwbaarheid: Het maakt het mogelijk om resultaten op utility-scale (100+ qubits) te vertrouwen, zelfs zonder toegang tot de exacte oplossing.
• Hardware Diagnose: De techniek biedt een nieuw middel om hardware-problemen in real-time te detecteren.

De auteurs concluderen dat hoewel hun huidige benchmark-circuits geen entanglement bevatten (wat de cross-talk ruis niet volledig simuleert), de methode al aanzienlijke verbeteringen oplevert. Toekomstig werk richt zich op het ontwikkelen van entangling benchmark circuits voor nog nauwkeurigere ruismodellering.