Is the existence of unbounded operators a problem for quantum mechanics? In response to Carcassi, Calderon, and Aidala

In dit paper betoogt de auteur dat de aanwezigheid van onbegrensde operatoren en oneindige verwachtingswaarden geen probleem vormt voor de kwantummechanica, en dat het vervangen van Hilbertruimten door Schwartz-ruimten juist meer problemen zou veroorzaken, terwijl het concept van "fysikaliteit" als vaag wordt beschouwd.

De kern

De Onzichtbare Muur in de Quantumwereld: Een Verdediging van de "Onvolmaakte" Wiskunde

Stel je voor dat je een enorme bibliotheek hebt die alle mogelijke toestanden van een quantumdeeltje bevat. In de standaard theorie van de quantummechanica is deze bibliotheek een Hilbert-ruimte. Het is een perfecte, wiskundige verzameling waar elke mogelijke "rol" (een golf funktie) in past.

Maar recent hebben drie onderzoekers (Carcassi, Calderón en Aidala) gezegd: "Wacht even, deze bibliotheek is te groot! Hij bevat boeken die onmogelijk zijn in het echte leven. We moeten de bibliotheek kleiner maken en alleen de 'fysieke' boeken houden."

Ze willen de Hilbert-ruimte vervangen door iets kleiners, de Schwartz-ruimte. Hun reden? In de grote bibliotheek staan boeken waarin bepaalde getallen (zoals de gemiddelde positie van een deeltje) oneindig groot worden. Ze zeggen: "Een deeltje met een oneindige gemiddelde positie bestaat niet in de natuur, dus die boeken horen niet thuis."

Zhonghao Lu, de auteur van dit artikel, is het daar niet mee eens. Hij zegt: "Nee, die bibliotheek is prima zoals hij is. Als we hem kleiner maken, creëren we meer problemen dan we oplossen."

Hier is wat Lu te zeggen heeft, vertaald naar alledaagse taal met een paar creatieve vergelijkingen:

1. Het probleem met de "Oneindige" Getallen

De critici zeggen: "Als je een deeltje hebt waarvan de gemiddelde positie oneindig ver weg is, is dat onzin. Dat deeltje is 'onfysiek'."

Lu zegt: "Wacht, dat is niet per se onzin."
Stel je voor dat je een enorme menigte mensen meetelt. Als je de gemiddelde lengte van iedereen berekent, krijg je een normaal getal. Maar stel je voor dat je een experiment doet waarbij de meeste mensen normaal zijn, maar er één persoon is die 10 kilometer lang is. De gemiddelde lengte van de hele groep wordt dan gigantisch (of oneindig).
Lu stelt dat in de quantumwereld het gemiddelde (de verwachtingswaarde) zelden direct wordt gemeten. Wat we meten, zijn individuele resultaten. Zelfs als het gemiddelde oneindig is, kunnen we nog steeds de kans berekenen dat we een bepaald resultaat meten. Het feit dat het gemiddelde "uit de hand loopt", betekent niet dat de toestand zelf onmogelijk is. Het is alsof je zegt: "Omdat de gemiddelde temperatuur van de aarde in de toekomst oneindig hoog zou kunnen worden, is de aarde nu onfysiek." Dat klopt niet.

2. Het probleem met de "Gestopte" Film

De critici willen de bibliotheek kleiner maken (de Schwartz-ruimte) zodat alleen de "nette" boeken overblijven. Lu waarschuwt: "Als je de bibliotheek te klein maakt, kun je geen films meer draaien."

In de quantumwereld bewegen deeltjes en veranderen ze in de tijd. Dit wordt beschreven door een vergelijking (de Schrödinger-vergelijking).

• De grote bibliotheek (Hilbert): Hier kunnen alle films draaien, zelfs als het scenario heel raar is (zoals een deeltje dat door een heel sterke kracht wordt weggeblazen).
• De kleine bibliotheek (Schwartz): Als je alleen de "nette" boeken houdt, blijf je niet zitten met een complete bibliotheek. Als je een deeltje in een "nette" toestand start en je laat het bewegen onder invloed van een echte, fysieke kracht (zoals de zwaartekracht van een atoomkern), dan "ontsnapt" het deeltje vaak uit die kleine bibliotheek. Het belandt in een toestand die niet meer in de kleine verzameling past.

Lu vergelijkt dit met een dansschool. Als je alleen dansers toelaat die perfect in een vierkant passen, en je vraagt hen om een danspas te maken waarbij ze naar de rand van de zaal rennen, vallen ze eruit. Je kunt dan zeggen: "Oké, we sluiten de randen van de zaal af." Maar dan kun je geen echte danspas meer maken die de natuur soms vereist. Je sluit dus belangrijke, echte bewegingen uit.

3. Het "Onmogelijke" Dilemma

Lu stelt een lastige vraag: "Welke boeken mogen er nou precies in?"
Als we zeggen: "Alles met een oneindig getal is verboden," dan moeten we beslissen welke getallen oneindig mogen zijn en welke niet.

• Mag de gemiddelde positie oneindig zijn?
• Mag de gemiddelde energie oneindig zijn?
• Maar wat als je de positie meet en daaruit de energie berekent? Als je het ene verbiedt, moet je het andere ook verbieden.

Het wordt een willekeurige keuze. Lu zegt dat de natuur geen voorkeur heeft voor "nette" wiskundige grenzen. De natuur is wat ze is, en soms zijn die grenzen vaag.

4. De Vage Lijn tussen "Fysiek" en "Niet-Fysiek"

Lu maakt een interessant punt over wat we "echt" noemen.

• Niveau 1: Alles wat wiskundig mogelijk is, is fysiek. (Te groot).
• Niveau 2: Alleen wat in onze echte wereld gebeurt, is fysiek. (Te klein).
• Niveau 3 (Het midden): We proberen een lijst te maken van "realistische" eisen.

Lu zegt dat deze lijst (Niveau 3) vaag is. Het is moeilijk om te zeggen waar de lijn precies ligt. In de quantumveldtheorie (een geavanceerdere versie van quantummechanica) is er een soortgelijke discussie over de "Hadamard-voorwaarde". Daar is het nodig om oneindigheden te vermijden om de vergelijkingen van Einstein (zwaartekracht) niet te laten exploderen. Maar in de gewone quantummechanica is dat niet nodig.

Conclusie: Laat de Bibliotheek Groeien

Lu's boodschap is simpel: Laat de wiskunde zijn wat hij is.
De "oneindige" toestanden in de Hilbert-ruimte zijn geen fouten; ze zijn een noodzakelijk onderdeel van een complete theorie. Als we proberen de theorie te "saneren" door alleen de "nette" toestanden toe te staan, verliezen we de mogelijkheid om echte, complexe natuurverschijnselen te beschrijven.

Het is alsof je zegt: "Omdat er in de oceaan soms golven zijn die te hoog zijn om te tellen, moeten we de oceaan vervangen door een klein badje." Dat lost het probleem van de hoge golven op, maar dan heb je geen oceaan meer.

Kort samengevat:
De quantumwereld is groot, soms raar, en bevat "oneindigheden". Dat is geen reden om de theorie te veranderen. Het is juist de kracht van de theorie dat hij al die rare toestanden kan omarmen, zelfs als ze in ons dagelijks leven niet voorkomen.

Technische samenvatting

Hier is een gedetailleerde technische samenvatting van het artikel "Is the existence of unbounded operators a problem for quantum mechanics?" van Zhonghao Lu, in het Nederlands.

Titel: Is het bestaan van onbegrensde operatoren een probleem voor de kwantummechanica?

Auteur: Zhonghao Lu (University of Pittsburgh)
Context: Een reactie op het artikel "The unphysicality of Hilbert spaces" van Carcassi, Calderón en Aidala.

---

1. Het Probleem

Het artikel reageert op de recente bewering van Carcassi, Calderón en Aidala dat de standaardformulering van de kwantummechanica, gebaseerd op Hilbertruimtes, "onfysisch" is. Hun argumentatie is als volgt:

• Onbegrensde operatoren: Veel fysische observabelen (zoals positie $X$ en impuls $P$) worden gerepresenteerd door onbegrensde zelfgeadjungeerde operatoren. Deze operatoren zijn niet gedefinieerd op de volledige Hilbertruimte, maar slechts op een dicht deelgebied ($Dom(X)$).
• Oneindige verwachtingswaarden: Er bestaan Cauchy-rijen van toestanden in de Hilbertruimte met eindige verwachtingswaarden die convergeren naar een limiettoestand waarvoor de verwachtingswaarde van een onbegrensde operator (bijv. $\langle X \rangle$) oneindig is.
• Conclusie van de tegenstanders: Omdat een oneindige verwachtingswaarde voor een fysische grootheid (zoals positie) geen fysische betekenis heeft, zou de Hilbertruimte te groot zijn. Zij stellen voor om de Hilbertruimte te vervangen door de Schwartz-ruimte ($\mathcal{S}(\mathbb{R})$), een deelruimte waarin alle polynomen van positie en impuls eindige verwachtingswaarden hebben.

Lu betoogt dat dit probleem niet leidt tot conceptuele of fysische inconsistenties en dat het voorstel om naar de Schwartz-ruimte te migreren nieuwe, ernstige problemen creëert.

---

2. Methodologie

Lu hanteert een analytische en filosofische benadering binnen de wiskundige fysica:

• Formele Analyse: Hij gebruikt de wiskundige structuur van de kwantummechanica (spectrale theorie, Stone's stelling, zelfgeadjungeerdheid) om de gevolgen van het beperken van de toestandsruimte te onderzoeken.
• Historische Context: Hij betrekt eerdere discussies, specifiek het werk van Adrian Heathcote (1990) en Streater & Wightman (axiomatische kwantumveldentheorie), om te tonen dat deze problemen al lang bekend zijn en op verschillende manieren zijn benaderd.
• Modale Hiërarchie: Hij introduceert een hiërarchie van "fysieke mogelijkheidswerelden" om de vaagheid van het concept "fysisch" te analyseren.
• Vergelijking met QFT: Hij trekt een parallel met de Hadamard-voorwaarde in de kwantumveldentheorie (QFT) en semiclassical quantum gravity om de context van "fysische toestanden" te verrijken.

---

3. Belangrijkste Bijdragen en Argumenten

A. Het bestaan van onbegrensde operatoren is geen probleem

Lu weerlegt twee specifieke zorgen:

1. Toepassing van de Schrödingervergelijking:
   • Hoewel de Hamilton-operator $H$ onbegrensd is en niet op de hele Hilbertruimte gedefinieerd, genereert hij via de spectrale decompositie een een-parameter unitaire groep $U(t) = e^{-iHt}$.
   • Deze unitaire evolutie is goed gedefinieerd voor elke toestand in de Hilbertruimte en volledig deterministisch.
   • De Schrödingervergelijking ($i\hbar \dot{\psi} = H\psi$) is slechts een speciaal geval voor toestanden in het domein van $H$. Het is niet nodig om toestanden buiten dit domein te verwijderen; de unitaire evolutie dekt hen allemaal af.
2. Oneindige verwachtingswaarden:
   • Verwachtingswaarden zijn geen direct meetbare grootheden voor een enkele meting, maar statistische gemiddelden over een ensemble.
   • Zelfs als $\langle X \rangle_\psi$ oneindig is, blijft de waarschijnlijkheidsverdeling voor individuele metingen (via de spectrale maat $dP_\lambda$) perfect gedefinieerd en convergent.
   • Er is geen dwingende fysische reden om toestanden met oneindige gemiddelden als "onfysisch" te bestempelen, zolang de waarschijnlijkheidsverdeling zelf goed gedragen is.

B. De problemen met de Schwartz-ruimte ($\mathcal{S}(\mathbb{R})$)

Lu toont aan dat het beperken van de fysieke toestanden tot de Schwartz-ruimte meer schade aanricht dan goed:

• Verlies van dynamische consistentie: De Schwartz-ruimte is niet gesloten onder vrije evolutie voor alle potentiële interacties.
  • Als de potentiaal $V(x)$ geen polynoom is (bijvoorbeeld de Coulomb-potentiaal $1/x$of$-1/x$), kan de unitaire evolutie$e^{-iHt}$ een toestand uit de Schwartz-ruimte halen.
  • Dit betekent dat het voorstellen van de Schwartz-ruimte als de enige "fysische" ruimte zou betekenen dat veel fundamentele, fysisch betekenisvolle Hamiltonianen (zoals die voor het waterstofatoom) niet meer toegestaan zijn of dat toestanden die fysiek mogelijk zijn, plotseling "onfysisch" worden na evolutie.
• Willekeurige selectie van operatoren: Het criterium dat alleen polynomen van $x$ en $p$ eindige verwachtingswaarden moeten hebben, is arbitrair. Er is geen fundamenteel verschil tussen het meten van $x$ en het meten van $e^x$; als de ene convergentie vereist, waarom niet de andere?
• Zelfgeadjungeerdheid en domeinen:
  • Het beperken van operatoren tot de Schwartz-ruimte maakt het moeilijk om de eigenschap van "essentiële zelfgeadjungeerdheid" te definiëren zonder terug te grijpen naar de grotere Hilbertruimte.
  • Dit ondermijnt de axiomatische basis van de kwantummechanica, waar observabelen corresponderen met zelfgeadjungeerde operatoren op de volledige ruimte.

C. De vaagheid van "Fysikaliteit"

Lu analyseert het concept "fysiek" via een hiërarchie van mogelijke werelden:

1. Hiërarchie I: Strikt determinisme (slechts één mogelijke wereld).
2. Hiërarchie II: Modellen die voldoen aan de wiskundige structuur van de theorie (bijv. Einstein-veldvergelijkingen). Geen vaagheid.
3. Hiërarchie III: Modellen die voldoen aan de structuur én extra "realistische" eisen (zoals eindige energie of specifieke randvoorwaarden).
   • Lu betoogt dat eisen als "eindige verwachtingswaarden" vallen onder Hiërarchie III.2.
   • Het probleem is dat er geen eenduidige, wiskundig rigoureuze manier is om te bepalen welke eisen hierbij horen zonder willekeur.
   • Wat als een "extra realistische eis" wordt gezien in de Hilbertruimte-formulering, kan in een strengere wiskundige formulering (zoals op de Schwartz-ruimte) een intrinsieke eigenschap van de theorie worden. De grens tussen "fysisch" en "onfysisch" is dus inherent vaag.

---

4. Resultaten

• Het bestaan van toestanden met oneindige verwachtingswaarden in de Hilbertruimte is geen conceptueel of fysisch probleem. De unitaire evolutie en de spectrale theorie garanderen dat de theorie consistent blijft.
• Het vervangen van de Hilbertruimte door de Schwartz-ruimte is onwenselijk en problematisch. Het sluit betekenisvolle Hamiltonianen uit (zoals die met inverse krachten) en breekt de consistentie van de dynamische evolutie.
• De discussie over "fysieke toestanden" onthult dat het concept "fysikaliteit" vaak een vaag, context-afhankelijk criterium is dat afhankelijk is van de gekozen wiskundige formulering van de theorie.

---

5. Significantie

• Verdediging van de Standaardformulering: Het artikel versterkt de positie van de standaard Hilbertruimte-formulering van de kwantummechanica tegenover recente kritiek die stelt dat deze te "groot" is.
• Filosofische Nuancering: Het biedt een diepgaande analyse van de relatie tussen wiskundige structuur en fysieke interpretatie. Het laat zien dat het streven naar "fysische zuiverheid" door het uitsluiten van bepaalde wiskundige objecten vaak leidt tot het verliezen van fysische relevantie (zoals de Coulomb-interactie).
• Brug naar Kwantumveldentheorie (QFT): De auteur verbindt het probleem met de Hadamard-voorwaarde in QFT en semiclassical quantum gravity. In die context zijn beperkingen op toestanden (zoals het voorkomen van singulariteiten in de Einstein-vergelijking) noodzakelijk voor de wiskundige consistentie van de theorie zelf, en niet slechts een keuze voor "realisme". Dit suggereert dat de discussie over Hilbertruimtes in de kwantummechanica moet worden gezien in het licht van bredere problemen in fundamentele fysica.

Kortom, Lu concludeert dat de onbegrensde operatoren en de bijbehorende "pathologische" toestanden in de Hilbertruimte geen reden zijn om de theorie te herformuleren, maar eerder een inherent en beheersbaar kenmerk van de kwantummechanica.