Cores and localizations of $(\infty,\infty)$-categories

Dit artikel vergelijkt twee benaderingen van $(\infty,\infty)$-categorieën via core- en localisatiefunctoren, waarbij het laat zien dat de localisatie-limiet een reflectieve localisatie is van de core-limiet, en bestudeert daarbij ook tussentijdse localisaties die voortkomen uit op co-inductie gebaseerde omkeerbaarheidsconcepten.

De kern

Stel je voor dat wiskunde een enorme, oneindige bibliotheek is. In deze bibliotheek staan boeken die beschrijven hoe dingen met elkaar verbonden kunnen zijn. De auteurs van dit artikel, Viktoria, Martina en Tashi, kijken naar een heel speciaal type boek: de $(\infty, \infty)$-categorie.

Klinkt eng? Laten we het simpel houden.

1. Wat is een $(\infty, \infty)$-categorie?

Stel je een wereld voor waar je niet alleen van punt A naar punt B kunt lopen (dat is een simpele lijn), maar waar je ook kunt:

• Van lijn A naar lijn B springen (een "2-pijl").
• Van die sprong naar een andere sprong bewegen (een "3-pijl").
• En zo verder, tot in het oneindige.

In de echte wereld zijn lijnen vaak vast: als je van A naar B loopt, ben je daar. In deze wiskundige wereld is alles een beetje "wazig" of "flexibel". Je kunt van A naar B gaan, maar misschien is dat pad niet precies hetzelfde als een ander pad; je hebt een "brug" nodig om ze met elkaar te verbinden. En voor die brug heb je weer een brug nodig, enzovoort.

Een $(\infty, \infty)$-categorie is gewoon de verzameling van alle mogelijke manieren om deze oneindige lagen van verbindingen en bruggen te organiseren.

2. Het Dilemma: Twee Manieren om te Kijken

Het probleem is dat als je naar deze oneindige wereld kijkt, je twee heel verschillende manieren hebt om te beslissen wat "echt" is en wat "niet echt" is. De auteurs noemen dit Core (Kern) en Localization (Lokalisatie).

Stel je voor dat je een grote, rommelige kamer hebt vol met speelgoed (de pijlen en bruggen). Je wilt de kamer opruimen, maar je hebt twee verschillende regels:

• De "Kern"-methode (Core): Je gooit alles weg wat niet perfect vastzit. Alleen de dingen die echt onomkeerbaar zijn, blijven staan. Alles wat een beetje losjes is, wordt verwijderd.

  • Analogie: Je hebt een fotoalbum. Je gooit alle foto's weg waar mensen niet perfect in het frame staan. Alleen de strakke, perfecte portretten blijven over. De rest is "niet belangrijk".
  • In wiskundetaal: Je houdt alleen de "inverteerbare" pijlen (pijlen die je terug kunt draaien zonder problemen) over.

• De "Lokalisatie"-methode (Localization): Je doet alsof alles wat een beetje losjes is, perfect vastzit. Je maakt alle bruggen "onbreekbaar" door ze te vervangen door magische lijm.

  • Analogie: Je hebt dezelfde fotoalbum. Nu plak je alle foto's die scheef hangen, recht. Je doet alsof ze altijd perfect zaten. Alles wat een beetje rommelig was, wordt nu "gelijk" gemaakt.
  • In wiskundetaal: Je maakt alle pijlen "inverteerbaar" door ze formeel omkeerbaar te maken, zelfs als ze dat van nature niet waren.

3. Het Grote Ontdekking

De auteurs ontdekken iets verrassends over deze twee methoden. Je zou denken dat ze totaal verschillend zijn, maar ze hangen nauw met elkaar samen.

Stel je voor dat je twee verschillende filters hebt op je camera:

1. Filter A (Kern): Laat alleen de scherpe, perfecte foto's zien.
2. Filter B (Lokalisatie): Maakt alles perfect scherp, zelfs de onscherpe foto's.

De auteurs bewijzen dat Filter B eigenlijk een speciale versie is van Filter A.

• Als je Filter A gebruikt, krijg je een wereld van perfecte, strakke objecten.
• Als je Filter B gebruikt, krijg je een wereld die nog strakker is.
• Het mooie is: je kunt Filter B zien als een "verbeterde" versie van Filter A. Alles wat je in Filter B ziet, zat al in Filter A, maar Filter A had nog wat "ruis" die Filter B weggooit.

In de taal van de auteurs: De wereld van Lokalisatie is een reflectieve lokalisatie van de wereld van Kern. Dat klinkt ingewikkeld, maar betekent simpelweg: "Je kunt de Lokalisatie-wereld krijgen door de Kern-wereld nog een keer te 'schoonmaken'."

4. De "Co-inductieve" Magie

Er is nog een heel speciaal soort "ruis" in deze wereld. Soms lijkt een pijl omkeerbaar, maar is het dat niet helemaal. Het is alsof je een spiegelbeeld hebt dat oneindig doorgaat.

• Co-inductieve omkeerbaarheid: Stel je een spiegel voor die in een andere spiegel kijkt, die weer in een andere kijkt, tot in het oneindige. Als je in die spiegelkijker kijkt, lijkt het alsof je terug kunt keren, maar je komt nooit echt uit de spiegel.
• De auteurs laten zien dat de "Kern-methode" (Core) deze oneindige spiegelkijkers niet weggooit. Ze blijven bestaan als "schijnbare" omkeerbaarheid.
• Maar de "Lokalisatie-methode" (Lokalisatie) is streng: die zegt "Nee, als het niet echt omkeerbaar is, is het het niet."

5. Waarom is dit belangrijk?

Dit artikel is als het vinden van de blauwdruk voor een universum van oneindige complexiteit.

• Het laat zien dat er niet één "juiste" manier is om naar deze oneindige wereld te kijken.
• Het laat zien dat de twee meest natuurlijke manieren (Kern en Lokalisatie) eigenlijk twee kanten van dezelfde medaille zijn.
• Het helpt wiskundigen om te begrijpen waar de grenzen liggen tussen "echt" en "schijnbaar" in een wereld waar alles oneindig flexibel is.

Samenvattend in één zin:
De auteurs hebben ontdekt dat als je probeert om een oneindig complexe wereld van verbindingen te begrijpen, je twee hoofdmanieren hebt om te kijken (alles perfect maken of alleen de perfecte dingen houden), en dat deze twee manieren op een verrassende manier met elkaar verbonden zijn, waarbij de ene eigenlijk een "gezuiverde" versie is van de andere.

Technische samenvatting

Hier is een gedetailleerde technische samenvatting van het artikel "Cores and Localizations of (∞, ∞)-Categories" van Ozornova, Rovelli en Walde, geschreven in het Nederlands.

Titel: Kernen en Localisaties van (∞, ∞)-Categorieën

Auteurs: Viktoria Ozornova, Martina Rovelli, Tashi Walde

---

1. Het Probleem: Wat is een (∞, ∞)-Categorie?

De fundamentele vraag die dit artikel behandelt, is hoe men een (∞, ∞)-categorie formeel moet definiëren. Een (∞, d)-categorie voor een eindig $d$ bestaat uit objecten, 1-pijlen, 2-pijlen, ..., tot $d$-pijlen, waarbij alle pijlen boven dimensie $d$ inverteerbaar zijn.

Het probleem bij $d \to \infty$ is dat er geen "bovenste" dimensie is waar inverteerbaarheid begint. Dit leidt tot een zelfreferentieel dilemma:

• Een isomorfisme wordt gedefinieerd als een pijl met een inverse, maar omdat compositie slechts "tot op hogere isomorfismen" gedefinieerd is, moeten de gelijkheden $f'f = id$ en $ff' = id$ zelf weer isomorfismen zijn.
• Dit creëert een oneindige trap van isomorfismen. De vraag is hoe men deze oneindige coherentie systematisch kan vastleggen en welke verschillende concepten van "inverteerbaarheid" en "compleetheid" hieruit voortvloeien.

Er zijn twee natuurlijke manieren om de limiet $d \to \infty$ te nemen via een sequentie van categorieën $\text{Cat}_{(\infty, d)}$:

1. Via Localisatie (Links): Men inverteert formeel alle pijlen van dimensie $d+1$ om een $(\infty, d)$-categorie te krijgen. De limiet hiervan wordt de linker $(\infty, \infty)$-categorie ($\text{Cat}^L_{\infty}$) genoemd.
2. Via Kernen (Rechts): Men verwijdert alle niet-inverteerbare pijlen van dimensie $d+1$ (de "core"). De limiet hiervan wordt de rechter $(\infty, \infty)$-categorie ($\text{Cat}^R_{\infty}$) genoemd.

De auteurs willen de relatie tussen deze twee limieten begrijpen: zijn ze equivalent? Zo niet, hoe verhouden ze zich tot elkaar?

---

2. Methodologie

De auteurs gebruiken een combinatie van abstracte categorietheorie en specifieke constructies binnen de theorie van $(\infty, 1)$-categorieën.

• Bi-inductieve Systemen: Ze modelleren de sequentie van categorieën $\text{Cat}_{(\infty, d)}$ als een "bi-inductief systeem" met volledige inbeddingen $I_d$, linksadjuncten $L_d$ (localisatie) en rechtsadjuncten $R_d$ (kern).
• Abstrahering: Ze definiëren een abstract raamwerk genaamd een "biased bi-inductief systeem". Dit systeem bevat axioma's voor de interactie tussen inbeddingen, adjuncten en een specifieke klasse van "surjectieve" kaarten (de bias). Hiermee kunnen ze hun hoofdresultaat bewijzen zonder afhankelijk te zijn van specifieke modellen (zoals simpliciale verzamelingen of compliciale verzamelingen), hoewel ze wel specifieke modellen gebruiken voor voorbeelden.
• n-Surjectiviteit: Een centraal concept is $n$-surjectiviteit. Een functor is $n$-surjectief als deze surjectief is op objecten en op hom-animae tot op dimensie $n$. Dit generaliseert het concept van $n$-geconnecteerde afbeeldingen in de algebraïsche topologie.
• Co-inductieve Isomorfismen: Ze introduceren een nieuw concept van inverteerbaarheid dat specifiek is voor de oneindige dimensie: een pijl is co-inductief inverteerbaar als er een oneindige toren van "kandidaat-inversen" bestaat, waarbij elke stap weer inverteerbaar is tot op een nog hogere dimensie. Dit staat in contrast met eindige inverteerbaarheid.

---

3. Belangrijkste Bijdragen en Resultaten

A. De Hoofdstelling: Reflecterende Localisatie

Het centrale resultaat is dat er een reflecterende localisatie bestaat tussen de twee limieten:
$$L: \text{Cat}^R_{\infty} \rightleftarrows \text{Cat}^L_{\infty} : R$$

• De rechter adjunct $R$ is volledig getrouw (fully faithful).
• De linker adjunct $L$ is niet volledig getrouw.
• Dit betekent dat $\text{Cat}^L_{\infty}$ een reflectieve localisatie is van $\text{Cat}^R_{\infty}$.
• De kaarten die door $L$ worden omgekeerd (inverteerd) zijn precies de zwak $\infty$-surjectieve kaarten.

Interpretatie: De "rechter" $(\infty, \infty)$-categorie ($\text{Cat}^R_{\infty}$) is de "rijkste" of meest fundamentele versie. De "linker" versie ($\text{Cat}^L_{\infty}$) is een vereenvoudiging waarbij bepaalde structuren (zoals spannen of cobordismen) triviaal worden gemaakt omdat ze als "zwak surjectief" worden beschouwd.

B. Co-inductieve Compleetheid

De auteurs bestuderen subcategorieën van $\text{Cat}^R_{\infty}$ gebaseerd op interne concepten van inverteerbaarheid:

• Co-inductief compleet: Een $(\infty, \infty)$-categorie is co-inductief compleet als elke co-inductief inverteerbare pijl ook daadwerkelijk een isomorfisme is.
• Ze bewijzen dat de localisatie van $\text{Cat}^R_{\infty}$ naar de subcategorie van co-inductief complete categorieën overeenkomt met localisatie op $\infty$-surjectieve kaarten (tot op co-inductieve isomorfismen).
• Dit lost een conjecture van Loubaton op: de localisatie op $\infty$-surjectieve kaarten geeft precies de co-inductief complete objecten.

C. $\omega$-Compleetheid en de Grenzen van de Localisatie

Ze introduceren een zwakkere vorm van compleetheid: $\omega$-compleetheid. Een categorie is $\omega$-compleet als elke $\omega$-isomorfisme (een pijl die een toren van inversen heeft van elke eindige hoogte, maar niet noodzakelijk oneindig) een isomorfisme is.

• Ze tonen aan dat $\text{Cat}^L_{\infty}$ (de linker limiet) een volledige subcategorie is van de $\omega$-complete categorieën.
• Er bestaat echter een strikt grotere subcategorie: de co-inductief complete categorieën zijn niet noodzakelijk $\omega$-compleet.
• Een specifiek tegenvoorbeeld (gebaseerd op werk van Henry en Loubaton) toont een co-inductief complete categorie die niet in het beeld van $R$ ligt (dus niet isomorf is aan een object in $\text{Cat}^L_{\infty}$). Dit betekent dat de localisatie $L$ niet triviaal is en dat er een echte hiërarchie bestaat:
  $$\text{Cat}^L_{\infty} \subsetneq \text{Cat}^{\omega}_{\infty} \subsetneq \text{Cat}^{\text{coind}}_{\infty} \subsetneq \text{Cat}^R_{\infty}$$

D. Specifieke Voorbeelden

• Spannen (Spans): De categorie van spannen van animae is een niet-triviale object in $\text{Cat}^R_{\infty}$, maar wordt triviaal (isomorf met de punt) in $\text{Cat}^L_{\infty}$. Dit illustreert dat $L$ structuren "platst" die in de linker limiet als inverteerbaar worden beschouwd.
• Cobordismen: De cobordisme-categorie, die volledig dualiseerbaar is, wordt gereduceerd tot zijn $(\infty, 0)$-localisatie (een groep) onder de localisatie $L$.

---

4. Significatie en Impact

1. Klaring van de Definitie van $(\infty, \infty)$-Categorieën: Het artikel biedt de eerste systematische vergelijking van de twee meest natuurlijke benaderingen van $(\infty, \infty)$-categorieën (via localisatie vs. via kern). Het toont aan dat ze niet equivalent zijn, maar dat de ene een reflectieve localisatie is van de andere.
2. Nieuwe Concepten van Inverteerbaarheid: De introductie en analyse van co-inductieve isomorfismen en $\omega$-isomorfismen biedt nieuwe inzichten in de structuur van oneindig-dimensionale categorieën. Het laat zien dat er een fundamenteel verschil is tussen "inverteerbaar tot op een eindige hoogte" en "inverteerbaar via een co-inductief proces".
3. Oplossen van Conjectures: Het artikel lost een conjecture van Loubaton op door te bewijzen dat de localisatie op $\infty$-surjectieve kaarten exact de co-inductief complete categorieën oplevert.
4. Open Vragen: Het artikel identificeert belangrijke open vragen, zoals of de inbedding van $\text{Cat}^L_{\infty}$ in de $\omega$-complete categorieën strikt is (wat vermoedelijk het geval is) en of er een "walking co-inductieve isomorfisme" bestaat waarbij de data uniek is (een epimorfe eigenschap).

Conclusie:
Dit werk vestigt een hiërarchie van $(\infty, \infty)$-categorieën. De "rechter" versie ($\text{Cat}^R_{\infty}$) is de meest fundamentele, waarin alle oneindige coherentiebewijzen bestaan. De "linker" versie ($\text{Cat}^L_{\infty}$) is een vereenvoudigde versie die alleen die structuren behoudt die voldoen aan een strengere vorm van compleetheid ($\omega$-compleetheid). De relatie tussen beide wordt beheerst door een reflecterende localisatie die specifieke "zwak surjectieve" kaarten inverteert. Dit heeft implicaties voor de theorie van spectra, cobordismen en de algemene structuur van hoge categorietheorie.