Fields with no everywhere good abelian varieties

Titel: Velden zonder overal goede abelse variëteiten

Auteurs: Armand Brumer en Kenneth Kramer
Doel: Het vaststellen van criteria om te bepalen of er voor een gegeven getallichaam $K$ geen niet-triviale abelse variëteit bestaat die overal goede reductie heeft.

---

1. Probleemstelling en Context

Het centrale probleem in dit onderzoek is het bepalen van de existentie van abelse variëteiten met overal goede reductie over een getallichaam $K$.

• Definitie: Een getallichaam $K$ wordt een Fontaine-veld genoemd als er geen enkele niet-nul abelse variëteit over $K$ bestaat die overal goede reductie heeft (d.w.z. goede reductie bij alle priemidealen van $K$).
• Historische context: Fontaine en Abrashkin bewezen onafhankelijk van elkaar dat er geen dergelijke variëteiten bestaan over $\mathbb{Q}$. Schoof breidde dit uit naar specifieke cyclotomische en kwadratische velden.
• De uitdaging: Het is moeilijk om te bepalen of een willekeurig getallichaam een Fontaine-veld is. De bestaande methoden (zoals de Odlyzko-bounds) zijn vaak niet sterk genoeg om alle mogelijke extensies uit te sluiten, vooral bij hogere graden.

Het paper stelt zich tot doel de methoden van Fontaine, Abrashkin en Schoof uit te breiden om een grotere klasse van getallichamen te identificeren die Fontaine-velden zijn, onder de aanname van de Algemene Riemann-hypothese (GRH).

---

2. Methodologie

De auteurs combineren lokaal-getaltheoretische bounds, groepstheorie en computergestuurde verificatie.

A. Fundamentele Aannames (Hypothese K)

Om de analyse haalbaar te maken, beperken ze zich tot getallichamen $K$ die voldoen aan:

1. $K$ heeft een oneven discriminant.
2. De smalle klassengetal $h^+_K = 1$ is.
3. Er zijn maximaal drie priemidealen boven 2 in $K$.

B. Ramificatie en Groepschema's

De kern van de methode ligt in het bestuderen van de 2-torsie van abelse variëteiten. Als een abelse variëteit $A$ overal goede reductie heeft, dan is $A[2^n]$ een eindig plat groepschema over de ring van gehele getallen $\mathcal{O}_K$.

• Abrashkin-Fontaine Bound: Ze gebruiken een bound voor hogere ramificatiegroepen. Voor een eindig plat groepschema $V$ van exponent $2^n$, wordt de veld van punten $K(V)$ beperkt tot een specifieke extensie $F/K$.
• De "Witness Field" $K_p$: Voor een priem $p|2\mathcal{O}_K$ definiëren ze een veld $K_p$ als de maximale elementaire 2-extensie van $K$ met een straalclassenconductor die deelt door $\infty c^2$ (waar $c=2p-1$).
• Prosaïsche Variëteiten: Een abelse variëteit is "prosaïsch" als de veld van punten van zijn 2-torsie een 2-extensie is van $K$. Als men kan bewijzen dat de maximale oplosbare extensie $F_s$ binnen de Abrashkin-Fontaine-extensie $F$ een 2-extensie is, dan zijn alle dergelijke variëteiten prosaïsch.

C. Groepstheoretische Analyse

De auteurs analyseren de structuur van de Galois-groep van de relevante extensies:

• Ze gebruiken stellingen over wreath products en dihedrale groepen om te bewijzen dat onder bepaalde voorwaarden (zoals de trivialiteit van bepaalde uitbreidingsklassen van groepschema's) de Galois-groep een 2-groep moet zijn.
• Ze tonen aan dat als er geen kwadratische extensies bestaan met specifieke conductors (bepaald door de ramificatie bij 2), dan verdwijnen bepaalde uitbreidingsklassen in $\text{Ext}^1$. Dit leidt tot een filtratie van het groepschema waarbij de quotiënten beperkt zijn tot specifieke vormen ($\mu_2$, $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$, of specifieke $G_\rho$).

D. Berekeningen en GRH

Om de resultaten te verifiëren, gebruiken ze de Odlyzko-bounds (onder GRH) voor de worteldiscriminant.

• Als de berekende maximale graad van de extensie $F$ (bepaald door de Odlyzko-bounds) kleiner is dan de graad van een potentiële niet-2-extensie, dan volgt dat $F$ een 2-extensie moet zijn.
• Ze gebruiken databases (LMFDB) en software (Magma) om velden te testen op de vereiste voorwaarden (triviale smalle klassengetal, gedrag van priemidealen boven 2, en de structuur van straalclassengroepen).

---

3. Belangrijkste Bijdragen

1. Verfijning van de Criteria: De auteurs introduceren een nieuwe aanpak die niet alleen afhankelijk is van discriminant-bounds, maar ook groepstheoretische implicaties van de ramificatie-bounds gebruikt. Dit stelt hen in staat om de maximale oplosbare extensie $F_s$ nauwkeuriger te controleren.
2. Filtratie van Groepschema's: Ze bewijzen dat onder hun voorwaarden elke prosaïsche abelse variëteit een filtratie heeft met quotiënten die volledig worden gevormd door kopieën van specifieke groepschema's. Ze bewijzen dat de exponent van deze quotiënten begrensd is, wat leidt tot een contradictie (de variëteit moet nul zijn).
3. Systematische Verificatie: Ze hebben een algoritme ontwikkeld om velden te screenen op basis van hun "witness fields" ($K_p$) en straalclassengroepen.

---

4. Resultaten

Onder de aanname van de GRH hebben de auteurs 24.744 getallichamen geïdentificeerd die Fontaine-velden zijn.

• Graden: Deze velden hebben graden $n$ variërend van 2 tot en met 16.
• Verdeling: De resultaten zijn samengevat in Tabel 2 van het paper, onderverdeeld op basis van het aantal priemidealen boven 2 (1, 2 of 3) en de type condities ($D1$ of $D2$).
  • Bijvoorbeeld: Voor graad 2 vonden ze 12 velden, voor graad 8 vonden ze 1023 velden.
• Vergelijking: Ze vergelijken hun resultaten met een recente preprint van Tchamitchian. Hoewel Tchamitchian andere methoden gebruikt (L-functies en expliciete formules), overlappen hun lijsten sterk, wat de robuustheid van beide methoden ondersteunt.

---

5. Betekenis en Conclusie

• Uitbreiding van de Bekende Lijst: Voorheen waren slechts 16 Fontaine-velden bekend (onder GRH). Dit paper vergroot deze lijst exponentieel naar bijna 25.000 velden.
• Methodologische Vooruitgang: De paper toont aan dat de combinatie van lokale ramificatie-bounds, groepstheorie en globale discriminant-bounds (onder GRH) een krachtig instrument is om de existentie van arithmetische objecten uit te sluiten.
• Beperkingen: De auteurs erkennen dat hun methode afhankelijk is van de GRH en dat de berekeningen voor graden $>6$ tijdrovend zijn en beperkt worden door de beschikbaarheid van tabellen van getallichamen.
• Toekomst: De resultaten suggereren dat Fontaine-velden veel algemener voorkomen dan eerder gedacht, en dat de vraag of alle (K, S)-paren Schoof-paren zijn (Question B in de introductie) waarschijnlijk bevestigend moet worden beantwoord voor een grote klasse van velden.

Kortom, dit werk biedt een diepgaand theoretisch raamwerk en een uitgebreide empirische lijst die de grenzen van de theorie van abelse variëteiten met goede reductie aanzienlijk verlegt.