Generalizations of Backup Control Barrier Functions: Expansion and Adaptation for Input-Bounded Safety-Critical Control

Titel

Generalisaties van Backup Control Barrier Functions: Uitbreiding en Adaptatie voor Veiligheidskritische Regeling met Beperkte Ingangen

1. Probleemstelling

Het garanderen van de veiligheid van niet-lineaire systemen met beperkte ingangen (input-bounded) blijft een grote uitdaging in de autonome systemen. Traditionele Control Barrier Functions (CBFs) vereisen dat er voor elke toestand in de veilige set een haalbare veilige regelaar bestaat. Dit is echter moeilijk te verifiëren voor complexe systemen met strakke beperkingen op de ingangen.

Een veelbelovende aanpak zijn Backup Control Barrier Functions (bCBFs). Deze methode creëert een gecontroleerd invariante veilige set door de evolutie van het systeem te analyseren onder een vooraf geverifieerde "backup-regelaar" die een kleinere "backup-set" ($C_B$) invariante maakt. Door deze set te "uitbreiden" (expansion) via de dynamica van de backup-regelaar, wordt een grotere, impliciete veilige set ($C_I$) verkregen.

Het kernprobleem: In de standaard bCBF-methode wordt dezelfde backup-regelaar gebruikt voor zowel het garanderen van de invarantie van de backup-set als voor het uitbreiden van deze set. Dit beperkt de mogelijke uitbreidingsstrategieën aanzienlijk en leidt vaak tot een te conservatieve veilige set, wat de prestaties van het systeem (bijv. snelheid of bereikbaarheid) onnodig beperkt.

2. Methodologie

De auteurs stellen een gegeneraliseerd bCBF-framework voor dat de regelaar die de set uitbreidt, ontkoppelt van de regelaar die de invarantie garandeert.

• Ontkoppeling van Regelaars:

  • Backup-regelaar ($k_b$): Een vooraf geverifieerde regelaar die de backup-set $C_B$ invariante maakt.
  • Uitbreidingsregelaar ($k_e$): Een (mogelijk andere) regelaar die wordt gebruikt om de set te vergroten. Deze hoeft $C_B$ niet invariante te maken, maar moet wel binnen de toegestane ingangsgrenzen ($U$) blijven.
  • Schakelregelaar ($k_s$): Om de invarantie te behouden, wordt een schakelregelaar gebruikt die overgaat van $k_e$ naar $k_b$ wanneer het systeem de backup-set nadert. Dit wordt geregeld door een schakelfunctie $\eta(x)$ die continu differentieerbaar is en gelijk is aan 1 binnen $C_B$.

• Vorming van de Uitgebreide Set ($C_I^*$):
  De nieuwe veilige set wordt gedefinieerd als de verzameling toestanden waaruit het systeem, onder de schakelregelaar $k_s$, binnen een tijdsinterval $[0, T]$ veilig de backup-set bereikt en gedurende de hele horizon binnen de veiligheidsset $C_S$ blijft.

• Veiligheidsvoorwaarden:
  De auteurs leiden voorwaardelijke ongelijkheden af (gebaseerd op de gevoeligheidsmatrix van de stroming) die moeten worden opgelost via een Quadratisch Program (QP). Dit QP minimaliseert de afwijking van een nominale regelaar ($k_p$) terwijl het de veiligheidsgaranties respecteert.

• Adaptieve Uitbreiding:
  Het framework wordt verder uitgebreid naar geparametrizeerde regelaars. De parameters van de uitbreidingsregelaar ($\theta$) worden behandeld als extra toestanden. Een aanpassingswet (gradient-based) wordt ontworpen om deze parameters online aan te passen, zodat de terminal-toestand van de stroming zo diep mogelijk in de backup-set wordt geduwd. Dit maximaliseert de grootte van de veilige set dynamisch.

3. Belangrijkste Bijdragen

1. Generalisatie van de bCBF-methode: Het ontkoppelen van de uitbreidingsregelaar en de backup-regelaar, wat leidt tot een bredere klasse van uitbreidingsstrategieën zonder de formele veiligheidsgaranties te verliezen.
2. Afwijzing van Voorwaarde voor Invarantie: Het bewijzen dat de resulterende impliciete veilige set ($C_I^*$) gecontroleerd invariante is, zelfs als de uitbreidingsregelaar de backup-set niet invariante maakt.
3. Formulering van het QP: Het afleiden van de voorwaarde voor voorwaartse invarantie voor de gegeneraliseerde set en het formuleren van het bijbehorende QP dat werkt met beperkte ingangen.
4. Online Adaptatie: Het uitbreiden van het framework naar parametrische regelaars, waardoor de uitbreidingsregelaar online kan worden aangepast om de prestaties te optimaliseren terwijl de veiligheid gewaarborgd blijft.

4. Resultaten

De methode is getest in twee casestudies:

• Casestudy 1: Dubbele Integrator:

  • Vergelijking tussen de standaard bCBF (met één regelaar), de gegeneraliseerde bCBF (GB-QP) en verschillende uitbreidingsregelaars.
  • Resultaat: De gegeneraliseerde methode produceert een aanzienlijk grotere gecontroleerd invariante set ($C_I^*$) dan de standaard methode. Dit toont aan dat het gebruik van een sterkere uitbreidingsregelaar (bijv. een tijd-optimale regelaar) de beperkingen van de backup-regelaar omzeilt.

• Casestudy 2: Kwantrocopter Landing:

  • Een planaire kwatrocopter moet veilig landen in een smal gebied met obstakels, onderworpen aan beperkingen op stuwkracht en moment.
  • Vergelijking:
    • Standaard bCBF: Kan het doel niet bereiken vanwege de restrictieve setgrootte.
    • Gegeneraliseerd bCBF (GB-QP): Bereikt een grotere uitbreiding en komt dichter bij het doel, maar bereikt het nog niet volledig.
    • Adaptief bCBF (aGB-QP): Door de gains van de regelaar online aan te passen, bereikt de kwatrocopter het doel veilig. De adaptatie laat de regelaar "leren" hoe de set het beste kan worden uitgebreid voor de specifieke situatie.
  • Conclusie: Alle methoden garanderen veiligheid en respecteren de ingangslimieten, maar de adaptieve gegeneraliseerde methode levert de beste prestaties op.

5. Betekenis en Impact

Dit werk is significant omdat het een fundamentele beperking van bestaande veiligheidskritieke regeling oplost. Door de strikte koppeling tussen de "backup" en de "uitbreiding" te doorbreken, kunnen ingenieurs:

• Minder conservatieve systemen ontwerpen die meer ruimte hebben voor manoeuvres.
• Complexere uitbreidingsstrategieën gebruiken (zoals tijd-optimale regelaars) die anders niet veilig zouden zijn om direct te gebruiken.
• Online adaptatie toepassen om systemen robuuster te maken tegen veranderingen in de omgeving of dynamiek, zonder de formele veiligheidsgaranties te verliezen.

De methode biedt een brug tussen de wiskundige zekerheid van reachability-analyse en de praktische flexibiliteit die nodig is voor hoogwaardige autonome systemen in de echte wereld.