On superspecial hyperelliptic curves of genus 5 whose automorphism groups contain $(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^3$

1. Probleemstelling en Context

Het artikel richt zich op het tellen en construeren van superspeciale hyperelliptische krommen van genus 5 in karakteristiek $p > 0$.

• Achtergrond: Het aantal superspeciale krommen is voor genus $g \le 3$ volledig gekarakteriseerd. Voor genus 4 zijn er diverse computationele methoden ontwikkeld, maar voor genus 5 is er tot nu toe zeer weinig bekend, behalve voor specifieke gevallen (zoals trigonale krommen in lage karakteristiek).
• Doel: De auteurs willen een haalbaar algoritme ontwikkelen om superspeciale hyperelliptische krommen van genus 5 te enumereren, met name die waarvan de automorfismegroep de groep $(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^3$ bevat.
• Motivatie: Superspeciale krommen zijn cruciaal voor de theorie van abelse variëteiten en hebben praktische toepassingen in isogenie-gebaseerde cryptografie (een kandidaat voor post-kwantum cryptografie). Het bepalen van het aantal zulke krommen voor een gegeven paar $(g, p)$ is een fundamenteel probleem.

2. Methodologie

De auteurs hanteren een gestructureerde aanpak die gebaseerd is op de decompositie van Jacobiaanse variëteiten en de classificatie van automorfismegroepen.

A. Classificatie en Restrictie

De studie focust op hyperelliptische krommen $H$ gedefinieerd door de vergelijking:
$$H_{a,b,c}: y^2 = (x^4 + ax^2 + 1)(x^4 + bx^2 + 1)(x^4 + cx^2 + 1)$$
waarbij $a, b, c \in \mathbb{F}_{p^2}$ en voldoen aan bepaalde voorwaarden om singulariteit te voorkomen. Deze krommen hebben automorfismen die een ondergroep isomorf met $(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^3$ genereren. De auteurs onderscheiden een generieke case (waar de automorfismegroep exact $(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^3$ is, Type 4-1) en speciale cases (waar de groep groter is, zoals Type 7, 9, 10, 11, 12, 15).

B. Theoretische Kernen

1. Decompositie van de Jacobiaan:
   Een cruciale bevinding (Stelling 3.2) is dat de Jacobiaan van $H_{a,b,c}$ isogeen is met een product van elliptische krommen en een kromme van genus 2:
   $$Jac(H_{a,b,c}) \sim E_1 \times E_2 \times E_3 \times Jac(C)$$
   Hierbij zijn $E_1, E_2, E_3$ elliptische krommen en $C$ een kromme van genus 2.

   • Corollary 3.3: $H_{a,b,c}$ is superspeciaal dan en slechts dan als $E_1, E_2, E_3$ allemaal supersingulier zijn en $C$ superspeciaal is.
   • Dit reduceert het probleem van genus 5 naar het vinden van superspeciale krommen van genus 2 en supersinguliere elliptische krommen.

2. Isomorfisme-Testen:
   Voor de generieke case (Type 4-1) bewijzen de auteurs (Stelling 4.5) een volledige classificatie van wanneer twee krommen $H_{a,b,c}$ en $H_{a',b',c'}$ isomorf zijn. Dit wordt gedaan via een groep van zes transformaties op de parameters $\{a, b, c\}$, gebaseerd op de werking van de automorfismen. Dit maakt het mogelijk om dubbelingen in de enumeratie efficiënt te verwijderen.

3. Speciale Cases:
   Voor de speciale gevallen (waar de automorfismegroep groter is, bijv. $C_2^2 \rtimes C_4$ of $C_2 \times D_{12}$) tonen de auteurs aan dat de Jacobiaan volledig ontbindt in een product van vijf elliptische krommen. Voor deze gevallen worden criteria afgeleid die vaak leiden tot vergelijkingen met hypergeometrische reeksen of specifieke $j$-invarianten.

C. Algoritmen

De auteurs ontwikkelen vier algoritmen (Algorithm 1 t/m 4) voor de verschillende typen:

• Algorithm 1 (Generiek): Genereert alle superspeciale krommen van genus 2 in Rosenhain-vorm. Voor elke combinatie wordt gecontroleerd of de bijbehorende elliptische krommen supersingulier zijn. Vervolgens worden de parameters $a, b, c$ berekend en isomorfismen uitgesloten.
  • Complexiteit: $\tilde{O}(p^3)$ arithmetische operaties over $\mathbb{F}_{p^2}$.
• Algoritmen 2, 3, 4 (Speciaal): Deze gebruiken de specifieke decomposities van de Jacobiaan voor de speciale typen. Ze zoeken naar parameters (zoals $\delta$ of $A$) die voldoen aan voorwaarden voor supersingulariteit van de resulterende elliptische krommen. De verwachte complexiteit voor deze gevallen is $\tilde{O}(p)$.

3. Belangrijkste Resultaten

De auteurs hebben hun algoritmen geïmplementeerd in het Magma computationele algebra-systeem en uitgevoerd voor alle priemgetallen $p$ in het interval $11 < p < 1000$.

• Hoofdstelling (Theorem 1.1): Er bestaat een superspeciale hyperelliptische kromme van genus 5 met automorfismegroep die $(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^3$ bevat, voor elke karakteristiek $23 \le p < 1000$, behalve voor de volgende priemgetallen:
  $$37, 41, 43, 53, 61, 67, 73, 97, 181, 193, 197, 233, 241, 277, 313, 331, 373, 421, 541, 571, 613, 643, 673, 709, 769, 877, 977.$$
• Enumeratie: De auteurs hebben het exacte aantal isomorfieklassen voor elke $p$ in het bereik berekend (samengevat in Tabel 2 en 3 van het artikel).
• Verrassende bevinding: In tegenstelling tot genus 4 (waar zulke krommen waarschijnlijk voor elke $p \ge 19$ bestaan), blijken er veel priemgetallen te zijn waarvoor geen superspeciale krommen van deze specifieke klasse bestaan. Dit suggereert dat de existentie voor genus 5 niet gegarandeerd is voor elke $p$.

4. Significatie en Toekomstperspectief

• Technische Doorbraak: Dit is een van de eerste systematische pogingen om superspeciale krommen van genus 5 te tellen. De methode van het reduceren van het probleem naar genus 2 en elliptische krommen via Richelot-isogenieën is een krachtige techniek die ook voor andere hoogere genus-krommen kan worden toegepast.
• Cryptografische Implicatie: De resultaten bieden inzicht in de beschikbaarheid van superspeciale krommen van hoge genus, wat relevant is voor het ontwerpen van cryptosystemen die gebaseerd zijn op isogenieën tussen Jacobiaanse variëteiten.
• Toekomstig Werk: De auteurs merken op dat om de existentie voor alle $p$ te bevestigen, bredere klassen van krommen (zoals niet-hyperelliptische krommen of andere typen in de classificatie) onderzocht moeten worden. Ze plannen om algoritmen te ontwikkelen voor niet-hyperelliptische krommen van genus 5.

Samenvattend biedt dit artikel een robuust theoretisch raamwerk en een efficiënt computationeel algoritme om een complexe klasse van algebraïsche krommen te enumereren, waarbij het een belangrijk gat in de literatuur over superspeciale krommen van genus 5 opvult.