Bayesian Model Comparison of $R_h=ct$ versus $\Lambda$CDM using HII galaxy Hubble diagram

Probleemstelling

Het artikel adresseert een recente analyse uitgevoerd door Wei en Melia (WM25), die de kosmologische modellen $R_h = ct$ (een lineaire expansiegeschiedenis) en het standaard $\Lambda$CDM-model (en het uitgebreide $w$CDM-model) vergeleek met behulp van HII-galaxieën en gigantische extragalactische HII-regio's (GEHR) als standaardkaarsen. WM25 gebruikte de Bayesian Information Criterion (BIC) om de modellen te rangschikken en concludeerde dat $R_h = ct$ sterk de voorkeur verdient boven $\Lambda$CDM en $w$CDM, vooral wanneer er geen intrinsieke spreiding in de data wordt meegenomen.

De auteurs van dit artikel wijzen echter op beperkingen van de BIC-methode: deze is gebaseerd op het maximaliseren van de waarschijnlijkheid (best-fit waarden) en maakt aannames over onafhankelijke en identiek verdeelde datasets. Ze stellen dat Bayesiaanse modelvergelijking robuuster is omdat deze de volledige parameterverdeling (de "evidence" of bewijskracht) integreert en minder gevoelig is voor de keuze van de best-fit parameters. Het doel van deze studie is om de conclusies van WM25 te verifiëren en te complementeren door een strikte Bayesiaanse modelvergelijking toe te passen op dezelfde dataset.

Methodologie

De auteurs gebruiken een dataset van 231 bronnen (36 GEHRs en 195 HII-galaxieën) over een roodverschuivingsbereik van $z \approx 0$ tot $z \approx 7.5$.

1. Likelihood-functie:
   Ze construeren een totale likelihood ($L_{tot}$) als de som van de likelihoods voor de HII-galaxieën en de "anchor"-stalen (lokalen met bekende afstand). De theoretische afstand modulus ($\mu_{th}$) wordt berekend voor drie modellen:

   • Flat $\Lambda$CDM: Met parameters $H_0$ en $\Omega_m$.
   • Flat $w$CDM: Met parameters $H_0$, $\Omega_m$ en de toestandsvergelijking $w_{de}$.
   • $R_h = ct$: Een model zonder vrije parameters voor de expansiegeschiedenis (behalve $H_0$).

2. Behandeling van Intrinsieke Spreiding:
   De analyse wordt tweemaal uitgevoerd:

   • Zonder rekening te houden met onbekende intrinsieke spreiding ($\sigma_{int}$) in de $L-\sigma$ relatie.
   • Met toevoeging van een vrije parameter voor intrinsieke spreiding ($\sigma_{int}$), wat de onzekerheid in de likelihood verhoogt.

3. Priors (A-priori verdelingen):
   Twee sets van priors worden getest om de robuustheid te evalueren:

   • Uniforme Priors: Brede intervallen voor $H_0 \in [60, 110]$, $\Omega_m \in [0, 1]$, en $w_{de} \in [-3, 0]$.
   • Normale (Gaussische) Priors: Gebaseerd op de Planck 2020 resultaten ($H_0 \approx 67.4$, $\Omega_m \approx 0.315$). De auteurs benadrukken dat dit niet volledig "model-neutraal" is, maar dient als test voor de levensvatbaarheid van $R_h = ct$ tegenover de huidige kosmologische consensus.

4. Bayesiaanse Berekening:
   De Bayesiaanse evidence ($Z$) wordt berekend met de Dynesty nested sampler. De Bayes-factor ($B_{21}$) wordt bepaald als de verhouding van de evidences tussen twee modellen. De significantie wordt geïnterpreteerd volgens de schaal van Jeffreys.

Belangrijkste Resultaten

De resultaten worden samengevat in de Bayes-factoren ($B_{R_h=ct / Model}$) in Tabel I en II:

1. Geval met Uniforme Priors:

• Zonder intrinsieke spreiding: De Bayes-factoren voor $R_h = ct$ ten opzichte van $\Lambda$CDM en $w$CDM zijn dicht bij 1 (respectievelijk $0.27$ en $0.32$).
  • Conclusie: Er is geen voorkeur; beide modellen worden even sterk ondersteund door de data. Dit weerspreekt de conclusie van WM25 (die een $\Delta$BIC van ~5 vond).
• Met intrinsieke spreiding: De factoren blijven dicht bij 1 ($0.48$ en $0.58$).
  • Conclusie: De modellen zijn wederom even waarschijnlijk.

2. Geval met Normale (Planck) Priors:

• Zonder intrinsieke spreiding: De Bayes-factoren stijgen drastisch.
  • Tegenover $\Lambda$CDM: $B \approx 50$ ("zeer sterk" bewijs).
  • Tegenover $w$CDM: $B \approx 4.8$ ("substantieel" bewijs).
• Met intrinsieke spreiding:
  • Tegenover $\Lambda$CDM: $B \approx 18.6$ ("sterk" bewijs).
  • Tegenover $w$CDM: $B \approx 2.5$ ("moeilijk te noemen" bewijs).

3. Analyse van de Oorzaak van het Verschil:
De auteurs stellen vast dat de sterke voorkeur voor $R_h = ct$ onder normale priors voornamelijk wordt gedreven door de spanning (tension) tussen de kosmologische parameters die uit de HII-galaxieën worden afgeleid en de Planck-parameters. De HII-galaxie-data leiden tot andere best-fit waarden voor $H_0$ en $\Omega_m$ dan Planck. Omdat de $R_h = ct$-modelstructuur minder flexibel is, past het beter bij de HII-data wanneer deze data wordt geforceerd om dicht bij de Planck-priors te liggen, terwijl $\Lambda$CDM onder deze voorwaarden slechter presteert. Het is dus niet de Hubble-diagram-data op zich die $R_h = ct$ "wint", maar de interactie met de externe priors.

4. BIC Vergelijking (Appendix A):
De auteurs reproduceerden de BIC-berekeningen van WM25. Ze vonden dat bij uniforme priors de $\Delta$BIC tussen $\Lambda$CDM en $R_h = ct$ slechts ongeveer 1 is (in tegenstelling tot de 5 die WM25 rapporteerde), wat aangeeft dat de eerdere conclusie van WM25 mogelijk voortkwam uit verschillen in de gebruikte best-fit parameters of numerieke implementatie.

Bijdragen en Significantie

• Methodologische Robuustheid: Het artikel demonstreert dat de keuze van priors cruciaal is bij het vergelijken van kosmologische modellen. De conclusie dat $R_h = ct$ de beste beschrijving is, is niet robuust en hangt sterk af van of men uitgaat van een neutrale (uniforme) prior of een prior gebaseerd op het $\Lambda$CDM-Paradigma (Planck).
• Correctie van Eerdere Conclusies: Het werk corrigeert de interpretatie van de WM25-studie. De claim dat $R_h = ct$ sterk de voorkeur verdient boven $\Lambda$CDM op basis van HII-galaxieën, geldt niet wanneer een onbevooroordeelde (uniforme) prior wordt gebruikt.
• Open Science: De auteurs hebben hun code en dataset openbaar gemaakt op GitHub om reproduceerbaarheid te garanderen.
• Kosmologische Implicatie: De studie benadrukt dat HII-galaxieën op zichzelf niet voldoende zijn om $\Lambda$CDM definitief te weerleggen ten gunste van $R_h = ct$. De schijnbare superioriteit van $R_h = ct$ in eerdere analyses bleek een artefact te zijn van de gebruikte informatiecriteria en de specifieke parameterwaarden die werden gevonden.

Conclusie:
De Bayesiaanse modelvergelijking toont aan dat $R_h = ct$ en $\Lambda$CDM even goed worden ondersteund door HII-galaxie-data wanneer neutrale priors worden gebruikt. De sterke voorkeur voor $R_h = ct$ die in eerdere werken werd gerapporteerd, is voornamelijk een gevolg van de gebruikte priors en de spanning tussen de HII-data en de Planck-cosmologie, en niet van een inherente superioriteit van het $R_h = ct$-model in het verklaren van de expansiegeschiedenis.