📊 statistics

Randomstrasse101: Open Problems of 2025

Dit manuscript fungeert als een stabiel archief van de open wiskundige problemen die in 2025 op de blog Randomstrasse101 zijn gepubliceerd, met als doel het academisch citeren te vergemakkelijken.

Oorspronkelijke auteurs: Afonso S. Bandeira, Daniil Dmitriev, Kevin Lucca, Petar Nizić-Nikolac, Almut Rödder

Gepubliceerd 2026-04-01

📖 7 min leestijd🧠 Diepgaand

CC BY 4.0

Oorspronkelijke auteurs: Afonso S. Bandeira, Daniil Dmitriev, Kevin Lucca, Petar Nizić-Nikolac, Almut Rödder

Oorspronkelijk artikel gelicentieerd onder CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/). ✨ Dit is een AI-gegenereerde uitleg van het onderstaande artikel. Het is niet geschreven of goedgekeurd door de auteurs. Raadpleeg het oorspronkelijke artikel voor technische nauwkeurigheid. Lees de volledige disclaimer

🌍 De Reis naar de Onbekende Wiskunde: Een Reisgids voor 2025

Stel je voor dat wiskunde een enorme, onontdekte jungle is. De meeste mensen lopen rond in de veilige, geplaveide paden waar alles al bekend is. Maar er is een groepje avontuurlijke onderzoekers (van de ETH Zürich in Zwitserland) die zich verdiept in de dichte bossen van onopgeloste problemen.

Dit document is hun dagboek uit 2025. Het is geen droge, saaie tekst voor experts, maar een verzameling van 16 spannende raadsels die ze tegenkwamen. Ze noemen hun blog "Randomstrasse101" (Willekeurige Straat 101), een knipoog naar hun adres en hun liefde voor kansrekening (willekeur).

Hier zijn de belangrijkste avonturen uit hun dagboek, vertaald in alledaagse taal:

1. De Grote Wiskundige Puzzels (De Inleiding)

De schrijvers zeggen: "We zijn niet op zoek naar de allerbelangrijkste vraag van de wereld, maar naar de vragen die ons intrigeren." Het is alsof ze een lijstje maken van de lastigste Sudoku's die ze hebben gevonden, met de hoop dat iemand anders ze oplost.

2. De Tensoren: De Legoblokken van de Toekomst

Het probleem: Stel je voor dat je niet alleen met getallen (1D) of matrices (2D, zoals een Excel-tabel) werkt, maar met Tensoren. Dat zijn als het ware 3D-, 4D- of nog hogere dimensies van Legoblokken.
De uitdaging: Als je deze blokken willekeurig mengt (met een beetje "ruis" of toeval), hoe groot kan de uitkomst dan worden?
De analogie: Denk aan een enorme stapel Legoblokken die je laat vallen. Soms vallen ze netjes, soms vormen ze een chaotische toren. De onderzoekers willen weten: wat is de maximale hoogte van die toren als je duizenden blokken gooit? Ze vermoeden dat er een simpele regel is die dit voorspelt, maar het is nog niet bewezen.

3. De Willekeurige Netwerken: Het Schuifpuzzel

Het probleem: Kijk naar een netwerk van punten (zoals mensen op Facebook). Soms zijn ze willekeurig verbonden, soms heel gestructureerd (zoals een cirkel).
De uitdaging: Er is een getal, de "Lovász-getal", dat je kunt berekenen om te zeggen: "Hoe moeilijk is het om dit netwerk in kleuren te verdelen zonder dat buren dezelfde kleur krijgen?"
De analogie: Stel je een grote stad voor. Je wilt weten hoeveel brandweerstations je minimaal nodig hebt om elke straat te bereiken. Voor een willekeurige stad is dit lastig te voorspellen. De onderzoekers denken dat voor een heel willekeurige stad, dit getal precies even groot is als de wortel van het aantal inwoners. Maar ze hebben het nog niet hard bewezen.

4. De Spookfoto's (Faseherstel)

Het probleem: Stel je voor dat je een foto maakt, maar je camera slaat alleen de helderheid van de pixels op, niet de kleur of de richting (de fase). Je hebt alleen een zwart-wit silhouet van een foto.
De uitdaging: Kun je de originele, kleurrijke foto terugrekenen uit alleen dat silhouet?
De analogie: Het is alsof je een gebroken vaas hebt en alleen de schaduwen op de muur ziet. Kun je de vorm van de vaas reconstrueren? De onderzoekers vragen zich af: hoeveel schaduwen (metingen) heb je precies nodig om de vaas perfect te reconstrueren? Ze vermoeden dat er een magisch getal is (4 keer het aantal stukken minus 5), maar ze weten niet zeker of dat altijd werkt.

5. De Muzikale Bases (Mutually Unbiased Bases)

Het probleem: In de kwantumwereld (de wereld van atomen) zijn er speciale sets van richtingen (bases). Als je twee sets hebt die "onbevooroordeeld" zijn, betekent dat dat als je in de ene richting kijkt, je in de andere richting volledig "verward" bent.
De uitdaging: Hoeveel van deze sets kun je maximaal hebben in een ruimte van 6 dimensies?
De analogie: Stel je voor dat je 6 verschillende muziekstijlen hebt. Je wilt weten hoeveel orkesten je kunt vormen die zo verschillend zijn dat als je naar het ene orkest luistert, je het andere helemaal niet kunt voorspellen. Voor de dimensie 6 is dit een mysterie. De onderzoekers vermoeden dat het maximum 6 is, en niet 7. Ze proberen dit te bewijzen met een wiskundige methode die lijkt op het oplossen van een vergelijking met kwadraten.

6. De Paley-Graph: Het Geheim van de Kwartalen

Het probleem: Er is een heel specifieke manier om een netwerk te bouwen op basis van getallen (kwadratische resten). Dit netwerk ziet eruit als een willekeurig netwerk, maar is eigenlijk heel gestructureerd.
De uitdaging: Hoe groot is de grootste groep vrienden (clique) die allemaal met elkaar verbonden zijn in dit netwerk?
De analogie: Stel je een feestje voor waar iedereen elkaar kent, maar alleen als hun geboortedatum een speciaal getal is. Hoe groot kan die groep zijn? De onderzoekers denken dat deze groep heel klein is (zoals het aantal letters in een woord), terwijl willekeurige netwerken veel grotere groepen hebben. Ze proberen dit te bewijzen met geavanceerde wiskundige gereedschappen.

7. De Dumbbell en de KLS-vermoeden (De Isoperimetrische Probleem)

Het probleem: Stel je voor dat je een vorm hebt (zoals een bal of een dumbbell) en je wilt weten hoe makkelijk je er doorheen kunt lopen. Als de vorm een "dumbbell" is (twee zware gewichten verbonden door een dunne steel), is het lastig om van het ene gewicht naar het andere te komen.
De uitdaging: Voor een bepaalde klasse van vormen (die "log-concaaf" heten, wat betekent dat ze geen dunne stelen hebben), is het altijd makkelijk om er doorheen te komen?
De analogie: De onderzoekers vermoeden dat als je een vorm hebt die geen "dunne stelen" heeft (geen bottlenecks), je altijd snel van A naar B kunt komen, ongeacht hoe groot de vorm is. Dit is cruciaal voor het begrijpen van hoe snel computers complexe berekeningen kunnen doen. Recentelijk is er veel vooruitgang geboekt, maar het is nog niet helemaal opgelost.

8. De Grafische Matrices: De Kracht van de SoS

Het probleem: Wiskundigen gebruiken een krachtige methode genaamd "Sum-of-Squares" (Som van Kwadraten) om moeilijke problemen op te lossen. Het is alsof je een ladder hebt met steeds hogere sporten; elke sport lost een moeilijker probleem op.
De uitdaging: Hoe goed werkt deze ladder precies? Soms werkt hij perfect, soms faalt hij.
De analogie: Stel je voor dat je een sleutelbos hebt (de "Graph Matrices"). De onderzoekers willen weten hoe groot de sleutels precies zijn. Als ze de exacte grootte weten, kunnen ze zeggen: "Deze ladder (SoS) werkt tot hier, maar niet daarboven." Ze vermoeden dat er een heel strakke formule is die de grootte van deze sleutels voorspelt, zonder onnodige extra factoren.

🎯 Waarom is dit belangrijk?

Deze problemen lijken misschien abstract, maar ze zijn als de fundamenten van een huis. Als je de fundamenten niet begrijpt, kan het dak (de technologie van morgen) instorten.

Cryptografie: Het oplossen van deze problemen kan helpen om veiligere codes te maken (of om ze te kraken).
Kunstmatige Intelligentie: Het helpt bij het begrijpen van hoe neurale netwerken werken.
Quantumcomputers: Het is essentieel voor het bouwen van toekomstige computers.

🚀 Conclusie

Dit document is een uitnodiging. De onderzoekers zeggen: "Hier zijn 16 raadsels. Ze zijn moeilijk, ze zijn grappig, en ze zijn misschien wel onoplosbaar. Maar als jij ze oplost, verandert je de wereld."

Het is een feestje van de nieuwsgierigheid, waar de enige prijs het genoegen is om de waarheid te ontdekken. "Veel succes met oplossen!"

Titel: Randomstrasse101: Open Problems of 2025

Auteurs: Afonso S. Bandeira, Daniil Dmitriev, Kevin Lucca, Petar Nizić-Nikolac, Almut Rödder.
Context: Dit manuscript is een stabiel archief van zeventien open problemen (in de tekst vermeld als 16, maar de inhoud beslaat de nummers 8 t/m 14, plus de introductie) gepost op de blog Randomstrasse101 in 2025. De blog, gelokaliseerd aan de ETH Zürich, richt zich op open vragen in waarschijnlijkheidstheorie, computation, combinatoriek en statistiek.

1. Het Kernprobleem

Het document presenteert geen enkel monolithisch probleem, maar een collectie van zeven specifieke open problemen (genummerd 16 t/m 31 in de context van de blogreeks) die de grenzen van onze huidige wiskundige kennis in de bovenstaande domeinen uitdagen. De problemen variëren van het begrijpen van de normen van toevallige tensoren tot de geometrie van log-concave maatstaven en de complexiteit van semidefinite programmering (SDP).

De centrale thema's zijn:

Toevallige Tensoren en Matrixconcentratie: Het vinden van scherpe bovengrenzen voor de verwachte injectieve $L_p$ -normen van sommen van toevallige tensoren.
Graph Theory & Combinatoriek: Het karakteriseren van het Lovász-getal ( $\vartheta$ ) voor toevallige circulant grafen en de clique-grootte van Paley-grafen.
Phase Retrieval & Frame Theory: De injectiviteit en stabiliteit van faseherstelproblemen en het bestaan van Mutually Unbiased Bases (MUB) en Equiangular Tight Frames (ETF).
Isoperimetrie in Hoog-Dimensionale Ruimtes: De KLS-conjectuur (Kannan-Lovász-Simonovits) over de isoperimetrische constanten van log-concave verdelingen.
Sum-of-Squares (SoS) Hiërarchie: Het afleiden van scherpe ondergrenzen voor de spectrale normen van "graph matrices" die gebruikt worden om de kracht van SDP-relaxaties te analyseren.

2. Methodologie

De auteurs gebruiken een mix van theoretische analyse, numerieke observaties en het benutten van recente doorbraken in de wiskunde. De methodologische benaderingen per probleem zijn als volgt:

Probabilistische Analyse & Entropie-integralen: Voor tensorconcentratie (Probleem 16) wordt gebruik gemaakt van de theorie van Gaussische processen en Dudley's entropie-integraal om de verwachte supremum te schatten via overdekkingsgetallen (covering numbers) van de $L_p$ -bol.
Semidefinite Programmering (SDP) & Linear Programming: Voor het Lovász-getal van circulant grafen (Probleem 17/18) wordt de SDP-relaxatie omgezet naar lineaire programmering (LP) door gebruik te maken van de diagonaalisatie van circulant matrices via de Discrete Fourier Transform (DFT).
Stochastische Localisatie & Geometrische Analyse: Voor de KLS-conjectuur (Probleem 30) wordt de methode van stochastische localisatie (geïntroduceerd door Eldan) gebruikt, waarbij een maatstaf wordt omgezet in een mengsel van Gaussische verdelingen om de isoperimetrische constant te begrenzen.
Matrix Chaos & Pseudo-expectatie: Voor de scherpe grenzen van graf-matrices (Probleem 31) wordt de theorie van "matrix chaoses" (willekeurige matrices met ingangen die polynomen zijn van onafhankelijke variabelen) gebruikt. De auteurs analyseren de moment-matrix en gebruiken geïtereerde matrixconcentratie-ongelijkheden.
Numerieke Experimenten & Conjecturele Formulering: Veel conjectures (zoals voor Paley-grafen en MUB) worden geïnitieerd op basis van numerieke simulaties en empirische observaties, die dan worden vertaald naar formele wiskundige hypothesen.

3. Belangrijkste Bijdragen en Resultaten

Het document biedt geen nieuwe bewijzen voor alle problemen, maar formuleert scherp gestelde conjectures en vat recente voortgang samen:

Tensor Concentratie (Probleem 16):
- De auteurs formuleren een conjecture voor de verwachte norm van een som van toevallige tensoren ( $E \|\sum g_i T_i\|_{I_p}$ ).
- Er is al bewezen voor $p \ge 2r$ , maar het geval $p < 2r$ (inclusief het fundamentele geval $r=p=2$ ) blijft open en wordt beperkt door een "volumetrische barrière".
- Recent werk (Aden-Ali, Boedihardjo) heeft logaritmische factoren verwijderd voor specifieke gevallen, maar een algemene schatting zonder log-factoren ontbreekt nog.
Lovász-getal van Circulant Grafen (Probleem 17 & 18):
- Er wordt geconjectureerd dat voor toevallige dichte circulant grafen geldt: $E[\vartheta(G)] = (1+o(1))\sqrt{n}$ .
- Dit zou een brug slaan tussen volledig willekeurige grafen ( $G(n, 1/2)$ ) en deterministische grafen (zoals Paley-grafen).
- Een gedeeltelijk resultaat levert een ondergrens en een bovengrens van $O(\sqrt{n} \log \log n)$ op.
Phase Retrieval & Stabiliteit (Probleem 19-21):
- Discussie over de injectiviteit van faseherstel. Het is bewezen dat $4M-4$ metingen niet altijd nodig zijn, maar de exacte drempel voor $N=4M-5$ blijft open.
- Er wordt een conjecture gesteld over de stabiliteit (via de parameter $\omega(A)$ ) en de relatie met de rij-normen van de meetmatrix.
MUB en Zauner's Conjecture (Probleem 22-24):
- Focus op het open probleem of er 7 Mutually Unbiased Bases bestaan in $\mathbb{C}^6$ (MUB(6) < 7).
- Er wordt gekeken naar Sum-of-Squares (SoS) bewijzen van graad 4 om dit te ontkrachten.
- Zauner's Conjecture (het bestaan van SIC-POVMs voor elke dimensie) wordt besproken in het licht van recente vooruitgang die deze conjecture koppelt aan Stark-conjectures in getaltheorie.
Paley Graph Clique Number (Probleem 25-29):
- De conjecture dat de clique-grootte van Paley-grafen polylogaritmisch is ( $O(\text{polylog}(p))$ ), in tegenstelling tot de $\sqrt{p}$ -grens die momenteel het beste bewezen is.
- Er wordt onderzocht of hogere orde SoS-relaxaties (graad 4) deze bovengrens kunnen verbeteren.
KLS Conjecture (Probleem 30):
- Samenvatting van de recente doorbraak: De "Thin Shell Conjecture" is bewezen (Klartag & Lehec, 2025), wat impliceert dat de huidige beste ondergrens voor de KLS-conjectuur geldt: $\psi_n \ge C (\log n)^{-1/2}$ .
- Dit is een enorme verbetering ten opzichte van de eerdere polynoom-grenzen ( $n^{-1/4}$ ).
Scherpe Grenzen voor Graph Matrices (Probleem 31):
- De auteurs conjectureren dat de verwachte spectrale norm van een graph matrix $M_\alpha$ precies schaal als $\Theta(n^{f(\alpha)} (\log n)^{g(\alpha)})$ .
- Het doel is om de polylogaritmische factoren ( $g(\alpha)$ ) te elimineren of exact te karakteriseren, wat essentieel is voor het bewijzen van scherpe ondergrenzen voor de kracht van SoS-algoritmen.

4. Significantie en Impact

Dit manuscript is significant voor de volgende redenen:

Stabilisatie van Referenties: Het biedt een stabiel, citeerbaar document voor open problemen die normaal gesproken op een blog staan, wat essentieel is voor academische referenties in een snel evoluerend veld.
Interdisciplinaire Connecties: Het benadrukt diepe verbindingen tussen ogenschijnlijk verschillende gebieden:
- Combinatoriek (grafentheorie) en Geometrie (isoperimetrie).
- Quantum-informatie (MUB, ETF) en Computationele complexiteit (SoS-hiërarchie).
- Toevalstheorie (matrix chaoses) en Optimalisatie (SDP).
Sturing van Onderzoek: Door specifieke conjectures te formuleren (bijv. over de exacte vorm van de normgroei van graph matrices of de stabiliteit van phase retrieval), biedt het een blauwdruk voor toekomstig onderzoek. Het identificeert waar de huidige wiskundige hulpmiddelen (zoals geïtereerde ongelijkheden) tekortschieten.
Reflectie op Huidige Grenzen: Het document markeert de staat van de kunst in 2025/2026, waarbij het erkent dat recente doorbraken (zoals het bewijs van de Thin Shell Conjecture) de grenzen hebben verschoven, maar dat fundamentele vragen (zoals de exacte clique-grootte van Paley-grafen) nog steeds onopgelost zijn.

Kortom, het paper fungeert als een kompas voor onderzoekers in waarschijnlijkheidstheorie en geoptimaliseerde wiskunde, met een focus op het vinden van scherpe, dimensionale onafhankelijke grenzen en het begrijpen van de structurele eigenschappen van toevallige objecten.